有限元分析理论基础.docx

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1、有限元分析理论基础有限元分析概念有限元法：把求解区域看作由很多小的在节点处互相连接的单元子域所构成，其模型给出基本方程的分片子域近似解，由于单元子域能够被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统几何和载荷工况进行模拟。并利用简单而又互相作用的元素，即单元，就能够用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。在这类

2、问题中，材料的应力与应变呈线性关系，知足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。假如采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。非线性问题与线弹性问题的区别：1非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解；2非线性问题不能采用叠加原理；3非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。有限元求解非线性问题可分为下面三类：1材料非线性问题材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能提供能普

3、遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性包括分段线弹性、弹塑性、粘塑性及蠕变等。2几何非线性问题几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。它包括大位移大应变及大位移小应变问题。如构造的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题，橡胶部件构成经过为大应变问题。3非线性边界问题在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦的作用不可忽视，接触边界属于高度

4、非线性边界。平常碰到的一些接触问题，如齿轮传动、冲压成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等，当一个构造与另一个构造或外部边界相接触时通常要考虑非线性边界条件。实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性问题。有限元理论基础有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些适宜的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。1.加权余量法：是指采用使余量的加权函数为

5、零求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。WeightedresidualmethodWRM是一种直接从所需求解的微分方程及边界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。设问题的控制微分方程为:在V域内在S边界上式中:L、B分别为微分方程和边界条件中的微分算子；f、g为与未知函数u无关的已知函数域值；u为问题待求的未知函数()0Luf-=(5.1.1)()0Bug-=(5.1.2)混合法对于试函数的选取最方便，但在一样精度条件下，工作量最大。对内部法和边界法必须使基函数事先知足一定条件，这对复杂构造分析往往有一定困难，但试函数一经建立，其工作量较小

6、。无论采用何种方法，在建立试函数时均应注意下面几点：(1)试函数应由完备函数集的子集构成。已被采用过的试函数有幂级数、三角级数、样条函数、贝赛尔函数、切比雪夫和勒让德多项式等等。(2)试函数应具有直到比消除余量的加权积分表达式中最高阶导数低一阶的导数连续性。(3)试函数应与问题的解析解或问题的特解相关联。若计算问题具有对称性，应充分利用它。显然，任何独立的完全函数集都能够作为权函数。根据对权函数的不同选择得到不同的加权余量计算方法，主要有：配点法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法。其中伽辽金法的精度最高。2、虚功原理平衡方程和几何方程的等效积分“弱形式虚功原理包含虚位移原理和虚应力原理，是

7、虚位移原理和虚应力原理的总称。他们都能够以为是与某些控制方程相等效的积分“弱形式。虚功原理：变形体中任意知足平衡的力系在任意知足协调条件的变形状态上作的虚功等于零，即体系外力的虚功与内力的虚功之和等于零。虚位移原理是平衡方程和力的边界条件的等效积分的“弱形式；虚应力原理是几何方程和位移边界条件的等效积分“弱形式。虚位移原理的力学意义：假如力系是平衡的，则它们在虚位移和虚应变上所作的功的总和为零。反之，假如力系在虚位移及虚应变上所作的功的和等于零，则它们一定知足平衡方程。所以，虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分条件。一般而言，虚位移原理不仅能够适用于线弹性问题，而且能够用于非线性弹性及弹塑性等

8、非线性问题。虚应力原理的力学意义：假如位移是协调的，则虚应力和虚边界约束反力在他们上面所作的功的总和为零。反之，假如上述虚力系在他们上面所作的功的和为零，则它们一定是知足协调的。所以，虚应力原理表述了位移协调的必要而充分条件。虚应力原理能够应用于线弹性以及非线性弹性等不同的力学问题。但是必须指出，无论是虚位移原理还是虚应力原理，他们所依靠的几何方程和平衡方程都是基于小变形理论的，他们不能直接应用于基于大变形理论的力学问题。3、最小总势能法应变能：作用在物体上的外载荷会引起物体变形，变形期间外力所做的功以弹性能的形式储存在物体中，即为应变能。由n个单元和m个节点组成的物体的总势能为总应变能和外力

9、所做功的差：()11=nmeiieiFu=-最小势能原理：对于一个稳定的系统，相对于平衡位置发生的位移总会使系统的总势能最小，即：()110nmeiieiiiiFuuuu=?=-=?，i=1,2,3,n有限元法的收敛性有限元法是一种数值分析方法，因而应考虑收敛性问题。有限元法的收敛性是指：当网格逐步加密时，有限元解答的序列收敛到准确解；或者当单元尺寸固定时，每个单元的自由度数越多，有限元的解答就越趋近于准确解。有限元的收敛条件包括如下四个方面：1单元内，位移函数必须连续。多项式是单值连续函数，因而选择多项式作为位移函数，在单元内的连续性能够保证。2在单元内，位移函数必须包括常应变项。每个单元的

10、应变状态总能够分解为不依靠于单元内各点位置的常应变和由各点位置决定的变量应变。当单元的尺寸足够小时，单元中各点的应变趋于相等，单元的变形比拟均匀，因此常应变就成为应变的主要部分。为反映单元的应变状态，单元位移函数必须包括常应变项。3在单元内，位移函数必须包括刚体位移项。一般情况下，单元内任一点的位移包括形变位移和刚体位移两部分。形变位移与物体形状及体积的改变相联络，因此产生应变；刚体位移只改变物体位置，不改变物体的形状和体积，即刚体位移是不产生变形的位移。空间一个物体包括三个平动位移和三个转动位移，共有六个刚体位移分量。由于一个单元牵连在另一些单元上，其他单元发生变形时必将带动单元做刚体位移，由此可见，为模拟一个单元的真实位移，假定的单元位移函数必须包括刚体位移项。4位移函数在相邻单元的公共边界上必须协调。对一般单元而言，协调性是指相邻单元在公共节点处有一样的位移，而且沿单元边界也有一样的位移，也就是讲，要保证不发生单元的互相脱离开裂和互相侵入