一元二次方程之韦达定理_1.docx

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1、一元二次方程之韦达定理一对一个性化辅导老师授课学案学生年级初三科目数学授课教师相教师总课时数第几次课3授课时间审核人本次课课题一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练教学目的韦达定理授课容教学容对于一元二次方程，当判别式时，其求根公式为：；若两根为，当0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。学习中，教师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还经常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求

2、出方程的两个根，进而分解因式，即。下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。例1：已知关于的方程1有两个不相等的实数根，且关于的方程2没有实数根，问取什么整数时，方程1有整数解？分析：在同时知足方程1，2条件的的取值围中挑选符合条件的的整数值。讲明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，进而挑选出，这也正是解答此题的基本技巧。二、判别一元二次方程两根的符号。例1：不解方程，判别方程两根的符号。分析：对于来讲，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为

3、已知，可据此求出根的判别式，但只能用于断定根的存在与否，若断定根的正负，则需要确定或的正负情况。因而解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。讲明：判别根的符号，需要把“根的判别式和“根与系数的关系结合起来进行确定，另外由于此题中0，所以可断定方程的根为一正一负；假使0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根

4、及的值。讲明：比拟起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。例3：已知方程有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求的值。分析：此题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21转化为关于的方程，即可求得的值。讲明：当求出后，还需注意隐含条件，应舍去不合题意的。四、运用判别式及根与系数的关系解题。例5：已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的取值围；若不能同号，请讲明理由，讲明：一元二次方程根与系数的关系深入揭示了一元二次方程中根与系数的在联络，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题

5、的重要工具。知识的运用方法灵敏多样，是设计考察创新能力试题的良好载体，在中考中与此有联络的试题出现频率很高，应是同学们重点练习的容。六、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。例：已知、是方程的两个实数根，求的值。分析：此题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题，应摒弃常规的求根后，再带入的方法，力求简解。讲明：既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法，是解题能力提高的重要标志，是努力的方向。有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将特别繁琐，这时，假如方程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用。这类问题在解法上灵敏多变，式子的变形具有创

6、造性，重在考察能力，多年来一直遭到命题教师的青睐。七、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。例8：已知两方程和至少有一个一样的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。分析：当设两方程的一样根为时，根据根的意义，能够构成关于和的二元方程组，得解后再由根与系数的关系求值。讲明：1此题的易错点为忽略对的讨论和判别式的作用，经常除了犯有默认的错误，甚至还会得出并不存在的解：当时，两方程一样，方程的另一根也一样，所以4个根的相乘积为：；2既然此题是讨论一元二次方程的实根问题，就应首先确定方程有实根的条件：且另外还应注意：求得的的值必须知足这两个不等式才有意义。当堂练习1、假如关于的方程的两根之差为2，那

7、么。2、已知关于的一元二次方程两根互为倒数，则。3、已知关于的方程的两根为，且431121-=+xx，则。4、已知是方程的两个根，那么：；。5、已知关于的一元二次方程的两根为和，且，则；。6、假如关于的一元二次方程的一个根是，那么另一个根是，的值为。7、已知是的一根，则另一根为，的值为。8、一个一元二次方程的两个根是和，那么这个一元二次方程为：。二、求值题：1、已知是方程01322=-xx的两个根，利用根与系数的关系，求的值。2、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。3、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。4、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。5、已知关于x的方程的两根知足关系式，求的值及方程的两个根。6、已知方程和有一个一样的根，求的值及这个一样的根。三、能力提升题：1、实数在什么围取值时，方程有正的实数根？2、已知关于的一元二次方程0321)2(2=-+-+mxmx1求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。2若这个方程的两个实数根、知足，求的值。3、若，关于的方程041)2(2=+-mnxnmx有两个相等的正的实数根，求nm的值。4、能否存在实数，使关于的方程的两个实根，知足2321=xx，假如存在，试求出所有知足条件的的值，假如不存在，请讲明理由。