微分中值定理的推广.docx

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1、微分中值定理的推广微分中值定理的简单推广刘威20201101904数学科学学院数学与应用数10级汉一班指导老师苏雅拉图摘要：微分中值定理是数学分析中的基本定理，包括罗尔定理拉格朗日定理柯西中值定理。在本文所做的推广是改变或减弱原定理的条件，得到与原定理类似的结论。关键词：连续;可导;可微;区间一微分中值定理1.1罗尔中值定理若函数)(xf知足:)(I在区间,ba上连续;)(II在区间),(ba内可导;)(III)()(bfaf=,则在),(ba内至少存在一点使0)(=f.1.2拉格朗日中值定理若函数)(xf知足:)(I在区间,ba上连续;)(II在区间),(ba内可导,则在),(ba内至少存在

2、一点使abafbff-=)()()(.1.3柯西中值定理若函数)(xf与)(xg知足:)(I在区间,ba上连续;)(II在区间),(ba内可导，并且在区间),(ba内0)(xg,则在),(ba内至少存在一点使)()()()()()(agbgafbfgf-=.二微分中值定理的推广2.1罗尔中值定理的推广定理1若函数)(xf知足:)(I在区间),(ba内连续;)(II在区间),(ba上可导;)(III)(lim0xfax+与)(lim0xfbx-存在且相等,则在),(ba内至少存在一点使0)(=f.证实.令?=-=+=bxbfaxafbaxxfxF)0()0(),()()()(xF知足罗尔定理条件

3、),(ba?ts.0)(=F即0)(=f定理2若函数)(xf知足:)(I在区间),+a上连续;)(II在区间),(+a上可导;)(III)()(limafxfx=+,则在),(+a内至少存在一点使0)(=f.证实.令11+-=axt，),(+ax,)1,0(t,则)(11tatx=-+=，)1,0(t，),()(+at。于是)()()(tgtfxf=，)1()1()()(lim)(lim)(lim)00(00gfafxftftggxtt=+.因)(tg在区间)1,0(内连续且可导,)1,0(?,使0)(=g.)()()(?=fg,01)11()(2-=-+=a,0)(=f,记=)(,则0)(=

4、f.定理3若函数)(xf知足)(I在区间),+a上连续)(II在区间),(+a上可导)(IIIMxfx=+)(lim则在),(+a内至少存在一点使2)1()()(aafMf-+-=.证实.令11+-=axt),(+ax)1,0(t,则)(11tatx=-+=，)1,0(t，),()(+at.于是)()()(tgtfxf=，Mxftftgxtt=+)(lim)(lim)(lim00.因)(tg在区间)1,0(内连续且可导,)1,0(?,使01)(01)0()1()(-=-=Mafggg，即Mafg-=)()(.)()()(?=fg,21)11()(tatt-=-+=,2)1()()(aafMf-

5、+-=.定理4若函数)(xf知足:)(I在区间),(+-上连续;)(II在区间),(+-内可导;)(IIIAxfxfxx=-+)(lim)(lim,则在),(+a内至少存在一点使0)(=f.证实.令txtan=,)2,2(-t,则)()(tan)(tgtfxf=.由定理1知,在)2,2(-内存在一点,使0)(=g,即0sec)(tan)(2=?=fg.在)2,2(-内0sec2,0)(tan=f.记=tan,则0)(=f.定理5若函数)(xf知足:)(I在区间,ba上连续;)(II在区间),(ba上可导;)(III-=+)(limxfax，-=)(limxfbx,则在),(ba内至少存在一点使

6、0)(=f.证实.取)(21bac+=.若0)(cf,由连续函数的介值定理知,?),(cad,使0)(=df,?),(bce,使0)(=ef.因函数)(xf在,(ed上知足罗尔定理的条件,),(ed?,使0)(=f.若0)(cf,令1)()()(+-=cfxfxF,于是有01)(=cF.由连续函数的介值定理知,?),(cam,使0)(=mF，?),(bcn，使0)(=nF.函数)(xF在区间,nm上知足罗尔定理的条件,),(ed?,使0)(=F.2.2拉格朗日中值定理的推广定理6若函数)(xf知足:)(I在区间),(ba内连续;)(II在区间),(ba内可导;)(III)(lim0xfax+与

7、)(lim0xfbx-存在,则在),(ba内至少存在一点使abafbff-+-=)0()0()(.证实.做辅助函数)()0()0()0()()(axabafbfafxfxF-?-+-+-=,则0)0()0(=-=+bFaF.由定理1知,),(ba?,使0)(=F.abafbfxfxF-+-=)0()0()()(,abafbff-+-=)0()0()(.2.3柯西中值定理的推广定理7若函数)(xf与)(xg知足:)(I在区间,ba上连续;)(II在区间),(ba上可导;)(III并且在区间),(ba内0)(xg,并且)0(+af，)0(-bf，)0(+ag，)0(-bg均存在,则在),(ba内至

8、少存在一点使)0()0()0()0()()(+-+-=agbgafbfgf.证实.),(ba?,使)0()0()(+-=-agbgabg.0)(g,0)0()0(+-agbg.令)0()0()0()0()0()()0()()(=-+-?+-+-=agbgafbfagxgafxfxF,则0)0()0(=-=+bFaF.由定理1知,),(ba?使0)(=F.abafbfxgxfxF-+-=)0()0()()()(,)0()0()0()0()()(=-+-=agbgafbfgf.定理8若函数)(xf与)(xg知足:)(I在区间,ba上连续;)(II在区间),(ba上可导;在区间),(ba内)(xf与

9、)(xg不同时为0且)()(bgag,则在),(ba内至少存在一点,使)()()()()()(agbgafbfgf-=.证实.首先证实若)(xf，)(xg在区间,ba上连续,在),(ba内上可导,则在),(ba内至少存在一点，使00)()(1)()(1)()(=gfbgbfagaf.做辅助函数=)(xF1)()(1)()(1)()(xgxfbgbfagaf则0)()(=bFaF.由罗尔定理知,),(ba?,使0)(=F,即00)()(1)()(1)()(=gfbgbfagaf,即0)()()()()()(=-bfafgbgagf.因)()(bgag,)()()()()()(agbgafbfgf-?=.)(xf与)(xg不同时为0假设0)(xg,)()()()()()(agbgafbfgf-=.以上是对微分中值定理简单推广后所得到的定理及其证实.微分中值定理还能够推广到行列式函数、向量函数、抽象函数等多个方面,对这部分内容我会在以后的学习中继续研究.参考文献：1欧阳光中,朱学炎.数学分析M.北京：高等教育出版社，2020.2刘玉琏.数学分析讲义M.北京：高等教育出版社，2020.