韦达定理推广的证实.docx

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1、韦达定理推广的证实.doc证实：当b2-4ac0时,方程ax2+bx+c=0(a0)有两个实根,设为x1,x2.由求根公式x(-b)/2a,不妨取x1(-b-)/2a,x2(-b+)/2a,则：x1+x2=(-b-)/2a+(-b+)/2a=-2b/2a=-b/a,x1*x2=(-b-)/2a(-b+)/2a=(-b)2-/4a2=4ac/4a2=c/a.综上,x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a.烽火TA000DA2021-11-04若b2-4ac=0则方程有两个相等的实数根若b2-4ac韦达定理在更高次方程中也是能够使用的。一般的，对一个一元n次方程AiXi=0它的根记作X1,X2?,

2、Xn我们有Xi=(-1)1*A(n-1)/A(n)XiXj=(-1)2*A(n-2)/A(n)?Xi=(-1)n*A(0)/A(n)其中是求和，是求积。假如一元二次方程在复数集中的根是，那么由代数基本定理可推得：任何一元n次方程在复数集中必有根。因而，该方程的左端能够在复数范围内分解成一次因式的乘积：其中是该方程的个根。两端比拟系数即得韦达定理。法国数学家韦达最早发当代数方程的根与系数之间有这种关系，因而，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证实这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个本质性的论性。(3)以x1，x2为根的

3、一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=03.二次三项式的因式分解(公式法)在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，假如可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是X1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)另外这与射影定理是初中必须射影定理图把握的.韦达定理推广的证实设x1，x2，?，xn是一元n次方程AiXi=0的n个解。则有：An(x-x1)(x-所以：An(x-x1)(x-x2)?(x-xn)=0x2)?(x-xn)=AiXi在打开(x-x1)(x-x2)?(x-xn)时最好用乘法原理通过系数比照可得：An-1=-An(xi)An-2=An

4、(xixj)?A0=(-1)n*An*Xi所以：Xi=(-1)1*A(n-1)/A(n)XiXj=(-1)2*A(n-2)/A(n)?Xi=(-1)n*A(0)/A(n)其中是求和，是求积。有关韦达定理的经典例题例1已知pq198，求方程x2pxq0的整数根(94祖冲之杯数学邀请赛试题)解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1x2由韦达定理，得x1x2p，x1x2q于是x1x2(x1x2)pq198，即x1x2x1x21199(x11)(x21)199注意到x11、x21均为整数，解得x12，x2200；x1198，x20例2已知关于x的方程x2(12m)xm10的两个根都是正整数，求m的

5、值解：设方程的两个正整数根为x1、x2，且不妨设x1x2由韦达定理得x1x212m，x1x2m1于是x1x2x1x211，即(x11)(x21)12x1、x2为正整数，解得x11，x25；x12，x23故有m6或7例3务实数k，使得方程kx2(k1)x(k1)0的根都是整数解：若k0，得x1，即k0符合要求若k0，设二次方程的两个整数根为x1、x2，由韦达定理得x1x2x1x22，由于x11、x21均为整数，所以例4已知二次函数yx2pxq的图像与x轴交于(，0)、(，0)两点，且1，求证：pq1(97四川省初中数学竞赛试题)证实：由题意，可知方程x2pxq0的两根为、由韦达定理得p，q于是pq，(1)1(1)(1)11(因1)映射定理