等差数列_课件.ppt

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1、吴蓉吴蓉 、 观察与思考 ：下面的几个数列： , 105 , 104 , 103 , 102 , 101 , 12- , 9- , 6- , 3- , 0 , 3 10, , 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 、问题： 从第2项起它们的后一项与前一项的差有什麽特点？, ,1 ,1 1 , 1 , 1 , 1分析：从第二项起，后一项与前一项的差是： 、归纳：这些数列共同特点： 是常数1是常数-3 是常数 1/10, 3- , 3- , 3- , 3- , 3- , 101 , 101 , 101 , 101 从第从第2项起它们的后一项与前项起它们的后一项与前 一项的差都是一项的差都是同

2、一个常数。同一个常数。这个常数叫等差数列的公差，通常用字母d表示。一、等差数列的定义：例 1： 观察下列数列是否是等差数列： , 16 , 11 , 7 , 4 , 2 , 1 :4 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 :3 , 7 , 5 , 3 , 1 , 2- , 3- :2 , 12 , ,10 8 , 6 , 4 , 2 , 1 : 1 一般地，如果一个数列从第一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的项起，每一项与它的前一项的差等于差等于同一个常数同一个常数，那麽这个数列就叫做，那麽这个数列就叫做等差数列等差数列。解析：(1)、该数列的第2项与第一项的差是1，

3、其余的后一 项与 前一项的差都是2。不符合等差数的定义 要求从第2项 起后项与前项的差是同一个常数。 所以, 它不是等差数列。 （2）、不是。理由同（1） （3）、是。 它符合等差数列的定义。公差是0.通常 称作常数列. （4）、不是。因为他从第2项起后项与前项的差是 ： 1，2 ， 3 ，4 ，5 ，是常数，但不是同一常数。 所以不是。 1、等差数列要求从第2项起，后一项与 前一项。 不能颠倒。 2、作差的结果要求是二、等差中项二、等差中项若a,b,c三个数成等差数列，这时我们把b叫做a与b的等差中项等差中项。因为，b-a=d,c-b=d所以，2b=a+c.即即 a与与b的等差中项是的等差中

4、项是a与与b的算术平均数的算术平均数 三个数成等差数列，可设这三个数为： a,a+d,a+2d或 a-d, a, a+d你能用你能用a与与c表示表示b吗？吗？等差中项的应用等差中项的应用例：三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积为12 ，求此三数.解：假设三个数分别为a,b,c,那么由题意可得 a+b+c=12 (1) 2b=a+c (2) ac=12 (3) 由（1）（2）（3）可得 a=2,b=4,c=6.三、等差数列的通项公式：如果等差数列 an 的首项是 a1 , 公差是d ，那麽由定义得： a2-a1=d (1) a3-a2=d (2) a4-a3=d (3) a5-a4=d

5、(4) . an-a n-1=d (n-1) 等号左边为：an-a1 , 等号右边为：(n-1)d所以： an-a1=(n-1)d ,即 an=a1+(n-1)d 当n =1时，上式两边都等于 a1 。 nN*，公式成立。 等差数列的通项公式是等差数列的通项公式是:an = a1+(n-1)dn -1 个四、通项公式的应用： 例 2：（1）、已知等差数列的首项 a1是3，公差 d 是2，求它 的通项公式。 （2）、求等差数列 10 ，8 ， 6 ，4 ，的第20项。 （3）、 -401是不是等差数列 5 ， -9 ，-13 ， 的项 ？如果是，是第几项？等差数列的通项公式 an = a1+(n

6、-1)d 中 ，an , a1 , n ，d 这四个变量 ， 知道其中三个量就可以求余下的一个 量 。 分析：知道a1 , d ，求an 。代入通项公式。 a1=3 , d=2 an=a1+(n-1)d =3+(n-1) 2 =2n-1 解：（1）、已知等差数列的首项 a1是3，公差 d 是2， 求它 的通项公式。（2）、求等差数列 8 ， 5 ，4 ，的第20项。分析： 根据a1=8，d= 5-8= -3，先求出通项公式an ，再求出a20解： 由题可得 a1=8, d=5-8= -3 ， n=20 所以这个数列的通项公式为: an=8+(n-1) (-3) =11-3n 当n=20时,有

7、a20 = 8+(20-1)(-3) = -49解： a1= -5, d= -9-(-5)= -4 an= -5+(n-1) (-4) = -4n-1 -401= -4n-1 n=100 -401是该数列的第100项。 分析：根据a1= -5，d= -4，先求出通项公式an ，再把 401代入，然后看是否存在正整数n 。 （3）、 -401是不是等差数列 5 ， -9 ，-13 ， 的项 ？如果是，是第几项？ 解： 由题意可得 a1+4d=10 (1) a1+11d=31 (2) d = 2 a1 =2 an = 2+(n-1) 2 = 2n 此题解法是利用数学的函数与方程思想，函数此题解法是

8、利用数学的函数与方程思想，函数与方程思想是数学几个重要思想方法之一，也是高与方程思想是数学几个重要思想方法之一，也是高考必考的思想方法，应熟悉并掌握。考必考的思想方法，应熟悉并掌握。 例3： 在等差数列an中 ， 已知a5=10 ，a12=31 ,求首项a1 ，公差 d 。 分析： 此题已知a5=10 ，n=5 ；a12=31 , n=12分别代入通项， 公式an = a1+(n-1)d 中 ，可得两个方程，都含a1与d两个未知 数组成方程组，可解出a1与d 。*例4：(1 )已知数列 an 的通项公式是 an =3n-1，求证：an为等差数列；(2) 已知数列an是等差数列，求证：数列an+

9、an+1也是等差数列.【小结】数列 an 为等差数列 an=kn+b k、b是常数. 证明一个数列为等差数列的方法是：证明：an+1-an为一个常数.推广后的通项公式推广后的通项公式:(n-m)d daamnmnaamn (m n)由通项公式及其变形式我们知道:(1)可以由首项和公差求出等差数列中的任一项;(2)已知等差数列任意两项,可以确定等差数列中的任一项例 ：在等差数列an中 (1) 若a59=70，a80=112，求a101； (2) 若ap=q，aq=p (pq)，求ap+q； (3) 若a12=23，a42=143， an=263，求n.答案：（1）d=2,a101=154; (2

10、) d=-1,ap+q=0; (3) d=4,n=72.五、等差数列的基本性质五、等差数列的基本性质在等差数列an中，若m+n=p+q，则 am+an=ap+aq 【说明】上面命题的逆命题是不一定成立的；上面的命题中的等式两边有相同数目的项，如a1+a2=a3？ 例：在等差数列an中(1)a6+a9+a12+a15=20，则a1+a20= (2)a3+a11=10，则a6+a7+a8=1015 1、 等差数列的概念。必须从第必须从第2项起后项减去前项起后项减去前项，并且差是项，并且差是 同同 一常数。一常数。 2、等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d 知道其中三 个（或两个）字母变

11、量，可用列方程（或方程组）的方法，求余下的一个（或两个）变量。六、小结：这节课主要讲了以下两个问题：1、（1）、求等差数列 3 ，7 ， 11 ，的第4项和第10项。 （2）、100是不是等差数列 2 ，9 ，16 ，的项？ 如果是， 是第几项？如果不是，说明理由。 （3）、 -20是不是等差数列 0 ，-3.5 ，-7 ，的项？ 如果是， 是第几项？如果不是，说明理由。2、在等差数列an中， （1）已知 a4=10 , a7=19 ，求 a1与 d 。 （2）、已知 a3=9 , a9=3 ，求 a12 。解： （1）、 a1=3 ， d=7-3= 4 an=3+4（n-1） = 4n-1

12、a4=44-1=15 ， a10=410 1=39 （2）、 a1=2 ， d=9-2=7 an=2+7（n-1) = 7n-5 100=7n-5 n =15 100是该数列的第15项。 （3）、 a1=0 ， d= -3.5 -0 = -3.5 an=0-3.5（n-1） = -3.5n+3.5 -20= -3.5n+3.5无正整数解 -20不是该数列的项。解： （1）已知 a4 =10， a7 =19 由通项公式的推广形式知 d=(19-10) (7-4)=3 a4 = a1 +3d 解得 a1 =10-33=1（2）由题意得 d= (a9 a3 ) (9-3)= -1 a3 = a1 +2d解得： d= -1 , a1=11 。 an=11-1（n-1）=12-n a12= 12-12 =0