函数单调性习题课(1).ppt

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1、判断函数单调性的方法：判断函数单调性的方法：（1）利用图象：）利用图象：在单调区间上，增函数图象从左向右在单调区间上，增函数图象从左向右是上升的，减函数图象是下降的是上升的，减函数图象是下降的. （2）利用定义：）利用定义：122121( ).0()()0( )yf xxxxxxyf xf xyf x 设设函函数数 的的定定义义域域为为 ，区区间间如如果果取取区区间间中中的的两两个个值值 ， ，改改变变量量，则则当当时时，就就称称函函数数 在在区区间间任任意意上上是是增增函函数数。122121( ).0()()0( )yf xxxxxxyf xf xyf x 设设函函数数 的的定定义义域域为为

2、 ，区区间间如如果果取取区区间间中中的的两两个个值值 ， ，改改变变量量，则则当当时时，就就称称函函数数 在在区区间间任任意意上上是是减减函函数数。判定函数在某个区间上的单调性的判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤方法步骤:1.1.任取任取 给定的区间给定的区间, ,且且 ; ; 2.2.计算计算 至最简至最简 ; ;3.3.判断上述差的符号判断上述差的符号 ; ;4.4.下结论下结论( (若若 0,0,则为增函数则为增函数; ; 若若 0,0,则为减函数则为减函数).). 21,xx21xx 21( )( )y f xf x y y 练习：判断下列命题的正误练习：判断下列命题的正误 1、函

3、数f(x)在a,b上满足f(a) f(b)，则f(x)在a,b上是增函数。 2、若存在x1,x2a,b且x1f(x2) f(x)是a,b上减函数 。 3、函数f(x)在（a,b）上是增函数，在b,c)上也是增函数，则f(x)在（a,c）上是增函数。 4、f(x)是a,b上增函数 若存x1,x2a,b且x1x2，则f(x1)f(x2)。 。正确答案：正确答案：增区间：增区间：-2，1和和3，5减区间：减区间：-5，-2和和1，3增区间：增区间：-2，1和和3，5减区间：减区间：-5，-2和和1，3增区间：增区间：-2，0和和（0，1和和 3，5减区间：减区间：-5，-2和和1，3写出单调区间：写

4、出单调区间：类型一、用单调性定义证明函数的单调性类型一、用单调性定义证明函数的单调性例例1 讨论函数讨论函数y=x24x3的单调性的单调性.例例2、判断函数、判断函数f(x)=x3+1在在(,0)上是增上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果函数还是减函数，并证明你的结论；如果x（0，），函数），函数f(x)是增函数还是减函是增函数还是减函数？数？3 y= x0 例证明 是，上的增函数。例例4 4 、讨论函数、讨论函数y=x+ y=x+ 的单调性。的单调性。 x x1 1例例1 讨论函数讨论函数y=x24x3的单调性的单调性.解：任取解：任取x x1 1xx2 2RR， f(xf(x1 1)

5、 )f(xf(x2 2)=)=（x x1 12 24x4x1 13 3）（）（x x2 22 24x4x2 23 3） = =（x x1 1+x+x2 2)(x)(x1 1x x2 2）-4(x-4(x1 1x x2 2） = (x= (x1 1x x2 2)(x)(x1 1+x+x2 24 4） 则当则当x x1 1xx2 222时，时， x x1 1+x+x2 2404f(x)f(x2 2) )， 那么那么 y=f(x)y=f(x)单调递减。单调递减。 当当2x2x1 1x040， f(xf(x1 1)f(x)0k0时时,kf(x),kf(x)与与f f（x x）单调性相同）单调性相同,

6、, 当当k0k0时时,kf(x),kf(x)与与f f（x x）单调性相反）单调性相反. .（2 2）若在区间）若在区间I I上，上，f f（x x）和）和g g（x x）均为）均为增（减）函数，则增（减）函数，则f f（x x）+g+g（x x）为）为I I上的上的增（减）函数。增（减）函数。 y f g xtg xaby gtgagbtg xy gty f g xtg xy gty f g x（3）对于复合函数 =，若在区间，上是单调函数，= （ ）在区间（ （ ）， （ ）上是单调函数；若与 = （ ）单调性相同，则=为增函数；若与 = （ ）单调性相反，则 =为减函数。练习：求函数练习

7、：求函数6)(2 xxxf的单调区间。的单调区间。答案：答案：(, 3单减区间单减区间 2,+)单增区间单增区间例5：设f(x)在定义域A上是减函数，试判断y32f(x)在A上的单调性，并说明理由。类型三：函数单调性的应用类型三：函数单调性的应用例6：判断函数xxxy4)2(22 在(1,+)上的单调性。22241,2)41(2)4424(1,yxxuxx解 ：（而 当时 ，为 正 数 且 增 函 数 ，递 减 ， 故 原 函 数（ ）在） 上 为 减 函 数 。思考题：思考题：函数函数 在在0， ） 是增函数，满足条件的实数是增函数，满足条件的实数b的值唯一的值唯一 吗？吗？cbxxy2题型

8、四：函数单调性解题应用题型四：函数单调性解题应用 -求最值和参数范围求最值和参数范围例7：已知函数y=x22axa21在(,1)上是减函数，求a的取值范围。2221,1)a,1yxaxaaa解：的减区间是（ ，显然，（ ， （ ， 即点评：解此类由二次函数单调性求参数范围的题，点评：解此类由二次函数单调性求参数范围的题，最好将二次函数的图象画出来，通过图象进行分析，最好将二次函数的图象画出来，通过图象进行分析，可以将抽象的问题形象化。可以将抽象的问题形象化。练习：如果f(x)=x2(a1)x+5在区间（0.5，1）上是增函数，那么f(2)的取值范围是什么？答案：7,）例8：已知x0,1,则函数的最大值为_ 最小值为_xxy 122minmax( )22( )1( )0,1( )0,1( )( )0,102 112f xxg xxf xg xyf xg xxyxy解：令，则是上的增函数，是上的减函数是上的增函数，当时，当时， （3 3）求函数）求函数 的值域；的值域； 练习（1）求的值域 （2）求的值域1 16 6f f( (x x) )x x, ,x x 2 2, , 4 4 x x1 16 6f f( (x x) )x x, ,x x 4 4 ， 1 10 0 x xxxy52