111正弦定理 (2).ppt

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1、1.1.1正弦定理正弦定理 .C.B.Asin,sin.abABcc初中学过锐角三角函数定义:C= 90,易证.sinsinsinabcABCBCAcba 2 2能否推广到斜三角能否推广到斜三角形？形？证明一证明一证明二（面积法）在任意斜证明二（面积法）在任意斜ABCABC当中当中： AbcBacCabSABCsin21sin21sin21两边同除以两边同除以 abc21即得即得： .sinsinsinCcBbAa 3 3用向量证明：用向量证明：证明三：过证明三：过A A作单位向量作单位向量 垂直于垂直于 同理：若过同理：若过C C作作 ,ACACCBAB 两边同乘以两边同乘以,jACCBAB

2、j j j cos 90cos(90)cos(90)ooojACjCBCjABA AcCasinsin垂直于垂直于 jCB得得jACB图图.sinsinCcBb.sinsinCcAa为钝角三角形时，为钝角三角形时， 设设 A90A90 过过A A作单位向量作单位向量 j垂直于向量垂直于向量 ,ACjACB图图则则j与与,AB的夹角为的夹角为A A- 9090 , ,j与与,BC的夹角为的夹角为9090 -C.-C.同样可证得同样可证得 这就是说，对于锐角三角形、直角三角形、钝这就是说，对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形来说，上面的关系式均成立角三角形来说，上面的关系式均成立. .因此因此.

3、 .我们我们得到下面的定理得到下面的定理. .sinsinsinCcBbAa证法四：（用几何法证明）即证 二二. .正弦定理正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即的正弦的比相等，即.sinsinsinCcBbAa1 1 正弦定理的叙述：在一个三角形中。各边和它正弦定理的叙述：在一个三角形中。各边和它所所对角的正弦比相等，即：对角的正弦比相等，即： 它适合于任何三角形它适合于任何三角形. . 2 2 灵活应用灵活应用 （R R为为ABCABC外接圆半径）外接圆半径） 3 3 每个等式可视为一个方程：知三求一每个等式可视为一个方程：知三求一. .s

4、insinsinCcBbAa.2sinsinsinRCcBbAa 三、正弦定理的应用三、正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题：从理论上正弦定理可解决两类问题： 1 1两角和任意一边，求其它两边和一角；两角和任意一边，求其它两边和一角； 2 2两边和其中一边对角，求另一边的对两边和其中一边对角，求另一边的对角，角， 进而可求其它的边和角。进而可求其它的边和角。 例例1 1 在在ABCABC中，已知中，已知10,c A=45 , C=30 , 求求b b（保留两个有效数字）（保留两个有效数字）. . .sinsin7().12710 sinsin1219.sinsin6bcBCBACcB

5、bC解：由例例2 2 在在ABCABC中，已知中，已知 b=28, b=28, A=40 , 求求B (B (精确到精确到1 1 ) )和和c c（保留两个有效数字）（保留两个有效数字）. .20,a0sin28 sin 40sin0.899920bABa解 ：001264 ,116 .BB.76)4064(180)(180,64000010101ABCB时当.3040sin76sin20sinsin0011ACac.24)40116(180)(180,116000020202ABCB时当.1340sin24sin20sinsin0022ACac例例3 3 在在ABCABC中，已知中，已知60,a b=50, A=38b=50, A=38 , 求求B (B (精确到精确到1 1 ) )和和c c（保留两个有效数字）（保留两个有效数字）. .解解：已知 b a ，所以BA，因此B也是锐角.sinsinbABa050sin38605131. 0031B00000111)3138(180)(180BAC.9138sin111sin60sinsin00ACac 已知边已知边a,b和角，求其他边和角和角，求其他边和角为锐角为锐角absinA无解无解a=bsinA一解一解bsinAab一解一解ab无解无解babaabababab