112余弦定理.ppt

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1、0,15,10,60 ,cos( )62 262 2.3333ABCabABABCD在中则 A A1.1.2 余弦定理余弦定理(1)(1)正弦定理可以解决三角形中的问题：正弦定理可以解决三角形中的问题： 已知已知两角和一边两角和一边，求其他角和，求其他角和边边 已知已知两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角，求另一边，求另一边的对角，进而可求其他的边和角的对角，进而可求其他的边和角RCcBbAa2sinsinsin 正正弦弦定定理理：1.复习回顾：复习回顾：(3) 正弦定理的变形：正弦定理的变形：CRcBRbARasin2,sin2,sin2RcCRbBRaA2sin,2sin,2sincb

2、aCBA:sin:sin:sin(2) 三角形面积公式：三角形面积公式：111sinsinsin222ABCSbcAcaBabC2sinsinsinabcRABC 如果已知一个三角形的如果已知一个三角形的两条边及其两条边及其夹角夹角，根据三角形全等的定理，该三角，根据三角形全等的定理，该三角形大小形状完全确定，那么如何解出这形大小形状完全确定，那么如何解出这个三角形呢？个三角形呢？思考：思考：CBAcab思考思考： 在在ABCABC中，已知中，已知CB=CB=a,CA,CA=b=b，CBCB与与CA CA 的夹角为的夹角为CC， 求边求边c.c.cABbCAaCB,设设)()(babaccc2

3、babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量减法的三角形法则得由向量减法的三角形法则得Cbabacos222bac2.余弦定理余弦定理（1 1）向量法）向量法CBAcabAbccbacos2222)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量减法的三角形法则得由向量减法的三角形法则得Cbabacos222bac思考思考： 若若ABCABC为任意三角形，已知角为任意三角形，已知角C C， BC=BC=a,CA,CA=b,=b,求求AB AB 边边 c.c.cABbCAaCB,设设CBAcabBaccabcos2222余弦定理余

4、弦定理Abccbacos2222)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量减法的三角形法则得由向量减法的三角形法则得Cbabacos222思考思考： 若若ABCABC为任意三角形，已知角为任意三角形，已知角C C， BC=BC=a,CA,CA=b,=b,求求AB AB 边边 c.c.cABbCAaCB,设设bacCabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222余余 弦弦 定定 理理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两的和减去这两边与它们夹角

5、的余弦的积的两倍。倍。C CB BA Ab bac cbAacCB证明：以证明：以CB所在的直线为所在的直线为x轴，过轴，过C点垂直于点垂直于CB的直线的直线为为y轴，建立如图所示的坐标轴，建立如图所示的坐标系，则系，则A、B、C三点的坐标三点的坐标分别为：分别为：( cos, sin)A bC bCxy( ,0)B a(0,0)C（2）解析法）解析法222)0sin()cos(CbaCbABCbaCabCb22222sincos2cosCabbacos2222222coscababC ABCabcD当角当角C为锐角时为锐角时（3）几何法）几何法bAacCBD当角当角C为钝角时为钝角时CBAa

6、bc 余弦定理作为勾股定理的推余弦定理作为勾股定理的推广，考虑借助勾股定理来证明广，考虑借助勾股定理来证明余弦定理。余弦定理。证明：在三角形证明：在三角形ABC中，已知中，已知AB=c,AC=b和和A, 作作CDAB，则，则CD=bsinA,BD=c-bcosAABCcba222CDBDa22( sin )(cos )bAc bA222222coscossinAAbcAcbb222cosbcAcb同理有：同理有：2222cosacBacb2222cosabCcabDCabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222bcacbA2cos222acbcaB2222cos

7、abcbaC2cos222推论：推论：（1 1）已知两边和它们的夹角，求第三边和其）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；他两个角；3.3.余弦定理的应用余弦定理的应用练习练习01.=262,135 ,ABCacB 在中，已知 ，解此三角形002 2,30 ,15bAC2222cosbcaacB解：022260cos8287cc31021362121 BacSBacSABCABCsinsin或或22 3202sin30a bxxA BA BCcABC 3 3. .锐锐角角三三角角形形中中，边边 、 是是方方程程 的的两两根根，角角 、 满满足足（），求求角角 的的度度数数，边边 的的长长

8、度度及及的的面面积积2si32n3si0nAABB解：（），（为锐角三角形为锐角三角形ABC oBA120 60oC22 320abxx边 、 是方程 的两根232 abba，Cabbaccos2222 abba32 ）（6612 2323221sin21 CabSABC6 c（2 2）已知三边，求三个角。）已知三边，求三个角。练习练习4.4.在在ABCABC中，已知中，已知a= ,b=2,= ,b=2,c= ,c= ,解三角形解三角形解：由余弦定理得解：由余弦定理得22222223 161222 23 1()()cos()bcaAbc 60A22222263122222631acbBac()

9、()cos()45B180180604755CAB 6312 21a 00060 ,45 ,75ABC（3 3）判断三角形的形状）判断三角形的形状例例、在、在ABC中，中， 那么那么是（）是（）222cba. 钝角钝角. 直角直角. 锐角锐角. 不能确定不能确定提炼：设提炼：设a是最长的边是最长的边，则，则ABC是钝角三角形是钝角三角形222cbaABC是锐角三角形是锐角三角形222cbaABC是直角三角形是直角三角形222cba7. 在在ABC中，已知中，已知a=7,b=10,c=6, 判定判定ABC的形状的形状分析：分析： ABC的形状是由大边的形状是由大边b所对的大角所对的大角 B决定的

10、。决定的。222(,)90 180cBba若已知三边的比是若已知三边的比是7:10:6，怎么求解 练习：练习：8.一钝角三角形的边长为连续自然数，则这一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三边长为（三边长为（ ） 分析：分析： 要看哪一组符合要求，只需检验要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项中的最大角是钝角，即该角哪一个选项中的最大角是钝角，即该角的余弦值的余弦值小于小于0。BA. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，69.9.在在ABCABC中，已知中，已知a=7,b=8,cosC= , =7,b=8,cosC= , 求最大角的余弦值求最大角的余弦值1314分析：求

11、最大角的余弦值，最主要的是判断分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪个角是最大角。由大哪个角是最大角。由大边对大角边对大角，已知两边，已知两边可求出第三边可求出第三边,找到最大角。找到最大角。2222cosabCbca221314278987 解：解：3c 则有：则有：b是最大边，那么是最大边，那么B 是最大角是最大角22222273822 3 71cos7acbacB 4.4.小结小结: :222co s2bcaAb c222cos2cabBca222cos2abcCabCabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222（1 1）余弦定理：）余弦定理：（2 2）推论）推论: : （3 3）余弦定理可以解决的有关三角形）余弦定理可以解决的有关三角形的问题：的问题：1)1) 已知两边及其夹角，求第三边和其他已知两边及其夹角，求第三边和其他 两个角。两个角。2) 2) 已知三边求三个角。已知三边求三个角。3) 3) 判断三角形的形状。判断三角形的形状。5.5.作业作业: :531.cos,cos135(1)sin(2)5,ABCABCBCABC 在 中，求 的值； 设求的面积2., , , ,tan3 7(1)cos5(2),9,2ABCA B Ca b cCCCB CAabc 在 中，角的对边分别为且求 设且求