121（1）任意角的三角函数.ppt

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1、 在初中我们是如何定义锐角三角函数的？在初中我们是如何定义锐角三角函数的？sincostancacbba 复习回顾OabMPcOabMP yx 1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？新课 导入22:barOPbMPaOM其中 yx 1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？raOPOMcosrbOPMPsinabOMMPtan新课 导入baP,Mo如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变吗？如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变吗？PMOPMPsinOPOMcosOMMPtanOMPPMOPO

2、PMPOOMMOPM诱思 探究MOyxP(a,b)OPMPsinOPOMcosOMMPtan，则若1 rOPbaab在直角坐标系中，我们称以原点为圆心，在直角坐标系中，我们称以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆以单位长度为半径的圆为单位圆xyoR=12.任意角的三角函数定义任意角的三角函数定义 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点),(yxP 那么:（1） 叫做 的正弦正弦，记作 ，即 ；ysinysin （2） 叫做 的余弦余弦，记作 ，即 ； cosxxcos（3） 叫做 的正切正切，记作 ，即 。 xytanxytan 所以，正弦，余弦，正切都所以，正弦，余弦，正切都是以是以角

3、为自变量角为自变量，以，以单位圆单位圆上点上点的的坐标或坐标的比值坐标或坐标的比值为函数值的为函数值的函数，我们将他们称为函数，我们将他们称为三角函数三角函数.0 , 1AOyxyxP ,)0(x使比值有意义的角的集合使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域即为三角函数的定义域.例例2 已知角已知角 的终边经过点的终边经过点 ，求，求角角 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值 .)4, 3(0P5)4()3(22OOP解解:由已知可得由已知可得设角设角 的终边与单位圆交于的终边与单位圆交于 ，),(yxP分别过点分别过点 、 作作 轴的垂线轴的垂线 、0PMPP00PMx400PM 于是

4、，于是， ;54|1sin000OPPMOPMPyyyMP30OMxOMOMP00POM;531cos00OPOMOPOMxx34cossintanxy4, 30P0MOyxMyxP ,例例1 求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.3535AOB解：在直角坐标系中，作解：在直角坐标系中，作 AOB，易知，易知 的终边与单位圆的交点坐标为的终边与单位圆的交点坐标为 )23,21(所以所以 2335sin2135cos335tan思考：若把角思考：若把角 改为改为 呢呢? 3567,2167sin， ,2367cos3367tan实例 剖析xyoAB3532OxyP（x，y）M2332s

5、in2132cos332tan32)23,21(P分析：可得点 ，故练习：求角练习：求角 的正弦、余弦和正切值。的正弦、余弦和正切值。例例2 已知角已知角 的终边经过点的终边经过点 ，求角，求角 的正弦、余的正弦、余弦和正切值弦和正切值 .)4, 3(0P5)4()3(220OP解解:由已知可得由已知可得设角设角 的终边与单位圆交于的终边与单位圆交于 ，),(yxP分别过点分别过点 、 作作 轴的垂线轴的垂线 、0PMPP00PMx400PM 于是，于是， ;54|1sin000OPPMOPMPyyyMP30OMxOMOMP00POM;531cos00OPOMOPOMxx34cossintan

6、xy4, 30P0MOyxMyxP , 设角设角 是一个任意角，是一个任意角， 是终边上的任意一点，是终边上的任意一点，点点 与原点的距离与原点的距离),( yxP022yxrP那么那么 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即ryrysin 叫做叫做 的余弦，即的余弦，即rxrxcos 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即xy0tanxxy 任意角任意角 的三角函数值仅与的三角函数值仅与 有关，而与点有关，而与点 在角的在角的终边上的位置无关终边上的位置无关.P定义推广：定义推广：OyxyxP ,r135122222yxr135sinry1312cosrx125tanxy于是于是，巩固 提高练习练习 已知角

7、已知角 的终边过点的终边过点 ， 求求 的三个三角函数值的三个三角函数值.5 ,12P解：由已知可得：解：由已知可得：特殊角的三角函数特殊角的三角函数:sincostan00101010角度角 的弧度数00101321233222213231206030459018027036006342322不存在不存在不存在不存在.( , )(,0),sinP a a a Ra例： 已知角 的终边上有一点且则2243oxy的的终终边边 ),(yxPrMxyoxy的的终终边边 ),(yxProxy的的终终边边 ),(yxProxy的的终终边边 ),(yxPr?tancossin在各象限的符号问题、xyo s

8、in tan cos xyo ry(1)sin rx(2)cos xy(3)tan xyo全为全为+sincostan一全正一全正二正弦二正弦三正切三正切四余弦四余弦三角函数值的符号三角函数值的符号: sin tan cosxyo xyo xyoxyo规律规律:（ ）（ ）（ ）xyosin（ ） （ ）（ ） （ ）xyotan（ ）（ ）（ ）（ ）xyocos探究：探究：三角函数定义域sincostanRRZkk,21.三角函数的定义域三角函数的定义域2.三角函数值在各象限的符号三角函数值在各象限的符号 例例3 求证：当且仅当下列不等式组成立时，求证：当且仅当下列不等式组成立时， 角角

9、为第三象限角为第三象限角.0tan 0sin 证明：证明： 因为因为式式 成立成立,所以所以 角的终边可能位于第三角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；轴的非正半轴上；0sin 又因为又因为式式 成立，所以角成立，所以角 的终边可能位于的终边可能位于第一或第三象限第一或第三象限. 0tan 因为因为式都成立，所以角式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限的终边只能位于第三象限.于是角于是角 为第三象限角为第三象限角.反过来请同学们自己证明反过来请同学们自己证明.如果两个角的终边相同，那么这两个角的如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值

10、有何关系？同一三角函数值有何关系？ 终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkk其中其中zk 利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求求 角的三角函数值角的三角函数值 .360020到或到 ？例例4 确定下列三角函数值的符号：确定下列三角函数值的符号： （1） （2） （3）解：解：250cos)672tan(4sin（1）因为）因为 是第三象限角，所以是第三象限角，所以 ；2500250cos（2）因为）因为 = ， 而而 是第一象限角，所

11、以是第一象限角，所以 ；)672tan(48tan)360248tan(0)672tan(48练习练习 确定下列三角函数值的符号确定下列三角函数值的符号516cos)34sin()817tan( （3）因为）因为 是第四象限角，所以是第四象限角，所以 .404sin例例5 求下列三角函数值：求下列三角函数值： （1） （2）49cos)611tan( 解：（解：（1） 224cos)24cos(49cos练习练习 求下列三角函数值求下列三角函数值319tan)431tan( 31336tan6tan)26tan()611tan(（2）3、解答下列问题：、解答下列问题：(1)若若 ，试指出，试指

12、出 所在的所在的象限；象限；(2)若若 在第三象限，判断在第三象限，判断 的符号的符号.sin(cos ) cos(sin )tan0,sin00)cos(sincossin第三象限第三象限sincossincosxxyxx2、函数、函数 的值域是的值域是( ) .2,4.2,0,2.2,0,2,4.4, 2,0,2,4ABCD1、设角、设角 属于第二象限角属于第二象限角,且且 ， 则角则角 属于第属于第 象限角？象限角？sinsin22 2.ABCD一二三四BC1. 内容总结：内容总结： 三角函数的概念三角函数的概念.三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号.诱导公式一诱导公式一.运用了定义法、公式法、数形结合法解题运用了定义法、公式法、数形结合法解题.化归的思想，数形结合的思想化归的思想，数形结合的思想.归纳 总结2 .方法总结：方法总结：3 .体现的数学思想：体现的数学思想：作业：作业：课本第20页 习题1.2A组 1、6、8(2)题.