122同角三角函数基本关系.ppt

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1、2221特殊角的三角函数值弧度角度3sin090030cossin22cossintan6cos0004502700600180043223023110123222101033111111110不存在不存在03313不存在0不存在01.2.2 同角三角函数 的基本关系M 问题问题2. 如图如图1，三角函数线是：，三角函数线是：正弦线正弦线；余弦线余弦线；正切线正切线.yxxyzkkx.2)0(MPOMAT)0 , 1 (ATcos；tansin；问题问题3. 三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的，你能从圆的几何性三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的，你能从圆的几何性质出发，讨论一下同一个角的不

2、同三角函数之间的关系吗？质出发，讨论一下同一个角的不同三角函数之间的关系吗？问题问题1. 如图如图1，设，设 是一个任意角，是一个任意角， 它的它的终边终边 与单位圆交于与单位圆交于 ，那么，那么),(yxPOxyP图1三角函数值的符号三角函数值的符号口诀：口诀：一全二正弦一全二正弦 三切四余弦三切四余弦 一、问题导学一、问题导学探究新知：探究新知：问题问题 当角当角 的终边在坐标轴上时的终边在坐标轴上时,关系式是否还成立？关系式是否还成立？对于任意角对于任意角 都有都有)(,R结论：结论：1cossin22平方关系平方关系问题问题 当角当角 的终边不在坐标轴时，正弦、的终边不在坐标轴时，正弦

3、、余弦之间的关系是什么？（余弦之间的关系是什么？（如图如图2 ）1、探究同角正弦、余弦之间的关系、探究同角正弦、余弦之间的关系OxyPM图2222OPOMMP122 xy 当角当角 的终边在的终边在 坐标轴上时坐标轴上时,x110cossin22101cossin22y当角当角 的终边在的终边在 坐标轴上时坐标轴上时,1cossin22OPOM 角角 的的正弦线正弦线 ，余弦线，余弦线 ,半经半经 三者的长构成直角三角形，而且三者的长构成直角三角形，而且 ，由勾股定理得由勾股定理得 因此因此 ，即，即 MP1OP质疑： 能写成 吗？ “同角”是什么含义？2sin2sin（不能）（一是“角相等”

4、，二是对“任意一个角”）?12cos2sin222.观察任意角观察任意角 的三角函数的定义的三角函数的定义,siny,cosx)0( ,tanxxytancossin商的关系商的关系注：注：商的关系不是对任意角都成立商的关系不是对任意角都成立 ,是在等式两边都有意是在等式两边都有意义的情况下，等式才成立义的情况下，等式才成立),2(Zkk有什么样的关系呢？、tancossin思考：思考：问题：问题：tancossin 你们能否结合正切线，利用相似三角形的性质对关系式 作出解释 同一角同一角 的正弦、余弦的平方和等于的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角商等于角 的正切的正切结论：结论：同角三角函

5、数的基本关系同角三角函数的基本关系平方关系平方关系:1cossin22商数关系商数关系:cossintan),2(Zkk同一个角 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角 的正切。二、探讨新知基本变形基本变形 思考思考1 1：对于平方关系：对于平方关系 可作哪些变形？可作哪些变形？ 22sincos122sin1cos, 22cos1 sin, 2(si ncos )12si ncos ,aaaa+=+2(si ncos )12si ncos ,aaaa-=-1cossi n,si n1cosaaaa+=-1si ncos.cos1si naaaa+=-思考思考2 2：对于商数关系对于商数关系 可

6、作可作哪些变形？哪些变形？sintancossincostan,sincos.tan思考思考3 3：结合平方关系和商数关系，结合平方关系和商数关系，可得到哪些新的恒等式？可得到哪些新的恒等式？221cos,1tanaa=+222tansi n.1tanaaa=+三、应用示例的值。是第二象限角，求，并且、已知例tan,cos31sin198311sin1cos1cossin22222得解：由0cos是第二象限角，又322cos4232231cossintan从而从而解解:因为因为 , 1sin, 0sin所以所以 是第三或第四象限角是第三或第四象限角.由由 得得1cossin22.2516531

7、sin1cos222如果如果 是第三象限角是第三象限角,那么那么542516cos434553cossintan如果如果 是第四象限角是第四象限角,那么那么43tan,54cos的值。求已知例tan,cos,53sin. 2三、应用示例例例3已知已知 ，求，求sin、tan的值的值. 178cos分析：分析：cos0是第二或第三象限是第二或第三象限角因此要对角因此要对所在象限分类讨论所在象限分类讨论. 解：当解：当是第二象限角时，是第二象限角时，22815sin1 cos1 (),1717 15sin1517tan.8cos817 当当是第三象限角时，是第三象限角时，22815sin1 cos

8、1 (),1717 15sin1517tan.8cos817练习练习12sin13cos ,tan,cot4cos5 sin,tan1（1）已知已知，并且并且是第二象限角，求是第二象限角，求（2）已知，求cos05cos13 又是第二象限角，即有从而sin12tancos5 15cottan12 22sincos12222125cos1 sin1 ()()1313 解：（1）22sincos1222243sin1 cos1 ()( )55 （2）4cos05 又在第二或三象限角。sin03sin5sin3tancos4当在第二象限时，即有，从而 sin03sin5 sin3tancos4当在第

9、四象限时，即有，从而 已知， 求 的值。3tan4 sin,cos解：解：3tan04yx IIII或或（1）当）当 时时I 0,0 xy3sin5yr 不妨设不妨设x=4，y=3225rxy4cos5xr （2）当）当 时时III 0,0 xy3sin5yr 不妨设不妨设x=-4，y=-3225rxy4cos5xr 分分类类讨讨论论变式训练变式训练：练习 P20 练习1 P20 练习2分类讨论分类讨论 1.1.已知已知 , ,2tancos,sin 求求 的值的值.证明：证明：cossin1sin1coscos)sin1 ()sin1 (cos220cos)sin1 (coscos22因此因

10、此cossin1sin1cos作差法作差法课本例题课本例题7xxxxcossin1sin1cos求证发散思维 提问：本题还有其他证明方法吗？证法二：证法二：2sin1)sin1)(sin1 (因为因为2coscoscos因此因此cossin1sin1cos由原题知：由原题知：0cos, 0sin1恒等变形恒等变形的条件的条件证法三：证法三： 由原题知：由原题知：0cos则则1sin原式左边原式左边=)sin1)(sin1 ()sin1 (cos2sin1)sin1 (cos2cos)sin1 (coscossin1=右边右边因此因此cossin1sin1cos恒等变形恒等变形的条件的条件1、三

11、角函数恒等式证明的一般方法、三角函数恒等式证明的一般方法（2）证明原等式的等价关系）证明原等式的等价关系注：注：要注意两边都有意义的条件下才恒等要注意两边都有意义的条件下才恒等（1）从一边开始证明它等于另一边）从一边开始证明它等于另一边（3）利用作差法）利用作差法22cossin1) 1 (换为cossintan)2(切化弦：2)cos(sincossin21 )3(xxxxxxxx22cossin1)sin1)(sin1 ()4(讨论交流：讨论交流：三、应用示例cossincossin1, 2tan4）（求下面各式的值。、已知例 2cossintan1解：方法cos2sin3coscos3c

12、oscos2coscos2原式 cos0cos2原式分子分母同除以方法coscoscossincoscoscossin原式1tan1tan1212322cossincossin)2(22coscos4coscos2cos2sin:1代入原式将方法22cos3cos232222222coscoscossincoscossincos:2原式分子分母同除以方法1tantan21-22232，求下面各式的值。、已知例2tan422cossincossin)3(22coscos4coscos2cos2sin1代入原式将方法22cos5cos252222222coscoscossincoscossinco

13、s2原式分子分母同除以方法1tantan2122252，求下面各式的值。、已知例2tan452cossin) 4(，求下面各式的值。、已知例2tan32222cos5sincos3sin2)3(3cossin2sin4cos)2(cos9sin7cos3sin5) 1 (.5tan. ，求下列各式的值已知：练习21) 1 (321)2(1320) 3(9tan73tan5)cossin( 3133122的替换22cossin11看作分母为的替换练习2sin3costan3sin4cos (1)已知求(1)已知求221tan3sincos (2)已知求(2)已知求22tan3sin3cos(3)

14、已知求2(3)已知求222cossin1换为1注意：注意：“1”的灵活代换，特别是关于的灵活代换，特别是关于sina 、cosa齐次式齐次式4 4、已知已知tantan=2=2，求下列各式的值，求下列各式的值. .（1 1） ；（；（2 2）1si ncosaa111si n1si naa+-+3cossin2cossin练习：1、已知tan=4，求值：。求已知tan, 5cos5sin3cos2sin. 2。）；（）求（，、已知22cos52sin412sin3cos5cos2sin5131tan1tan132116232572121）；（）（102251），（）（例例5 5 求证求证xxx

15、xcossin1sin1cos恒等式证明常用方法恒等式证明常用方法? ?基本思路基本思路: :由繁到简由繁到简可以从左边往右边证，可以从左边往右边证，可以从右边往左边证，可以从右边往左边证，也可以证明等价式。也可以证明等价式。cossin1sin1cosp19例例5求证：求证：证明：证明：cossin1sin1coscos)sin1 ()sin1 (cos220cos)sin1 (coscos22因此因此cossin1sin1cos作差法作差法同角关系式的应用同角关系式的应用 （3）证明恒等式）证明恒等式比较法比较法证法二：证法二：2sin1)sin1)(sin1 (因为因为2coscosco

16、s因此因此cossin1sin1cos由原题知：由原题知：0cos, 0sin1恒等变形恒等变形的条件的条件分析法分析法证法三：证法三： 由原题知：由原题知：0cos则则1sin原式左边原式左边=)sin1)(sin1 ()sin1 (cos2sin1)sin1 (cos2cos)sin1 (coscossin1=右边右边因此因此cossin1sin1cos恒等变形恒等变形的条件的条件练习练习. 求证：求证：(1)sin4cos4=2sin21；(2)cossin1sin1cos证明：（证明：（1）原式左边原式左边=(sin2+cos2)(sin2cos2) =sin2cos2 =sin2(1

17、sin2) =2sin21=右边右边. 所以原等式成立所以原等式成立.(3)cos1sin1sincos证明：左边证明：左边coscos(1 sin )cosxxxx=右边右边 原等式成立原等式成立.1 sincosxx21 sin(1 sin ) cosxxx2.求证求证1coscossinsin)2(22242244cossincossin) 1 (tancos) 1 (22sin211cos2)2(1.化简化简13sincos(0)2xxxsin ,cosxx例例6 已知，求解：由13sincos(0)2xxx等式两边平方：22213sincos2sincos()2xxxx13sinco

18、s23sin cos4xxxx 3sincos4xx （*），即1213,22zz sin ,cosxx2133024zz可看作方程的两个根，解得0 xsin0 x cos0 x 又，又由（*）式知13sin,cos22xx 因此，构造方程组的方法构造方程组的方法例例3化简化简21 sin 4402cos 80cos80221 sin (360 80)1 sin 80解：原式解：原式例例4化简化简1 2sin40cos402(sin40cos40 )|cos40sin40 | cos40sin4022sin 40 cos 40 2sin40cos40解：原式同角关系式的应用同角关系式的应用 （

19、2）化简）化简四、达标测试 2011cos2011sin122、的值为是第四象限角，则、已知tan,43sin2773、C47-、D47 、B773、A1、A2、B2011、C、不能确定DACcossin2sin1)2(cos5sin2cos2sin) 1 (, 4tan32求、已知1322417.sincos,23, 3tan4的值求、已知四、达标测试.cos,sin,43tan5的值求、已知21-3答案：54cos,53sin为第二象限角时，答案：54cos,53sin为第四象限角时，当五、课堂小结:2.同角三角函数关系的基本关系的应用同角三角函数关系的基本关系的应用1.通过观察、归纳通过观察、归纳,发现同角三角函数的基本关系发现同角三角函数的基本关系.发现规律发现规律 验证规律验证规律规律的应用规律的应用