高中数学最全双曲线二级结论大全.docx

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1、高中数学最全双曲线二级结论大全高中数学最全双曲线二级结论大全高中数学最全双曲线二级结论大全双曲线1.122PFPFa-=2.标准方程22221xyab-=3.111PFed=4点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的内角.5PT平分PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.6以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.7以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.8设P为双曲线上一点，则PF1F2的内切圆必切于与P在同侧的顶点.9双曲线22221xyab-=a0,b0的两个顶点为1(,0)Aa-,2(,0)Aa，与y轴平行的直线交双

2、曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是22221xyab+=.10若000(,)Pxy在双曲线22221xyab-=a0,b0上，则过0P的双曲线的切线方程是00221xxyyab-=.11若000(,)Pxy在双曲线22221xyab-=a0,b0外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221xxyyab-=.12AB是双曲线22221xyab-=a0,b0的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则22OMABbkka?=.13若000(,)Pxy在双曲线22221xyab-=a0,b0内，则被Po所平分的中点弦的方程是220000

3、2222xxyyxyabab-=-.高中数学最全双曲线二级结论大全高中数学最全双曲线二级结论大全14若000(,)Pxy在双曲线22221xyab-=a0,b0内，则过Po的弦中点的轨迹方程是22002222xxyyxyabab-=-.15若PQ是双曲线22221xyab-=ba0上对中心张直角的弦，则122222121111(|,|)rOPrOQrrab+=-=.16若双曲线22221xyab-=ba0上中心张直角的弦L所在直线方程为1AxBy+=(0)AB,则(1)222211ABab-=+;(2)L=17给定双曲线1C：222222bxayab-=ab0,2C：222222222()ab

4、bxayabab+-=-,则(i)对1C上任意给定的点00(,)Pxy,它的任一直角弦必须经过2C上一定点M222202222(,)ababxyabab+-.(ii)对2C上任一点00(,)Pxy在1C上存在唯一的点M,使得M的任一直角弦都经过P点.18设00(,)Pxy为双曲线22221xyab-=a0,b0上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦PP1,PP2斜率存在，记为k1,k2,则直线P1P2通过定点00(,)Mmxmy-(1)m的充要条件是212211mbkkma+?=?-.19过双曲线22221xyab-=a0,bo上任一点00(,)Axy任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两

5、点，则直线BC有定向且2020BCbxkay=-常数.高中数学最全双曲线二级结论大全高中数学最全双曲线二级结论大全20双曲线22221xyab-=a0,bo的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点12FPF=，则双曲线的焦点角形的面积为122cot2FPFSb?=，2(cot)2bPc.21若P为双曲线22221xyab-=a0,b0右或左支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,12PFF=,21PFF=，则tant22cacoca-=+或tant22cacoca-=+.22双曲线22221xyab-=a0,bo的焦半径公式：1(,0)Fc-,2(,0)Fc当00(,)Mxy在右支上

6、时，10|MFexa=+,20|MFexa=-.当00(,)Mxy在左支上时，10|MFexa=-,20|MFexa=-+.23若双曲线22221xyab-=a0,b0的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1e1时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d1与PF2的比例中项.24P为双曲线22221xyab-=a0,b0上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线左支内一定点，则21|2|AFaPAPF-+,当且仅当2,AFP三点共线且P在左支时，等号成立.25双曲线22221xyab-=a0,b0上存在两点关于直线l：0()ykxx=-对称的充要条件是22220222()0

7、abaxkkabkb+?-?且.26过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径相互垂直.28P是双曲线sectanxayb?=?=?a0，b0上一点，则点P对双曲线两焦点张直角的充要高中数学最全双曲线二级结论大全高中数学最全双曲线二级结论大全条件是2211tane?=-.29设A,B为双曲线2222xykab-=a0,b0，0,1kk上两点，其直线AB与双曲线22221xyab-=相交于,PQ,则APBQ=.30在双曲线22221xyab-=中，定长为2

8、m0m的弦中点轨迹方程为()()222222222222222221coshsinh,coth,001sinhcoshcoth,00xyayatbttxtabbxmxybxatbttytabay?-+=-=?=?-+=-=?时，弦两端点在两支上，时，弦两端点在同支上31设S为双曲线22221xyab-=a0,b0的通径，定长线段L的两端点A,B在双曲线右支上移动，记|AB|=l，00(,)Mxy是AB中点，则当lS时，有20min()2alxce=+222(cab=+,cea=);当lS高中数学最全双曲线二级结论大全高中数学最全双曲线二级结论大全sin(sinsin)cea=-.35经过双曲线

9、22221xyab-=a0,b0的实轴的两端点A1和A2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P1和P2，则21122|PAPAb?=.36已知双曲线22221xyab-=ba0，O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OPOQ.122221111|OPOQab+=-;2|OP|2+|OQ|2的最小值为22224abba-;3OPQS?的最小值是2222abba-.37MN是经过双曲线22221xyab-=a0,b0过焦点的任一弦(交于两支)，若AB是经过双曲线中心O且平行于MN的弦，则2|2|ABaMN=.38MN是经过双曲线22221xyab-=ab0焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心

10、O的半弦OPMN，则2222111|aMNOPba-=-.39设双曲线22221xyab-=a0,b0,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与双曲线相交于P、Q两点，则直线A1P、A2Q(A1,A2为两顶点)的交点N在直线l：2axm=上.40设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MFNF.41过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MFNF.42设双曲线方程22221xyab-=,

11、则斜率为k(k0)的平行弦的中点必在直线l：ykx=的共高中数学最全双曲线二级结论大全高中数学最全双曲线二级结论大全轭直线ykx=上,而且22bkka=.43设A、B、C、D为双曲线22221xyab-=a0,bo上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为,，直线AB与CD相交于P,且P不在双曲线上,则22222222|cossin|cossinPAPBbaPCPDba?-=?-.44已知双曲线22221xyab-=a0,b0,点P为其上一点F1,F2为双曲线的焦点，12FPF的内外角平分线为l，作F1、F2分别垂直l于R、S，当P跑遍整个双曲线时，R、S构成的轨迹方程是222xya+=()()

12、2222222222aybxxccyaybxc?-?=-).45设ABC三顶点分别在双曲线上，且AB为的直径，l为AB的共轭直径所在的直线，l分别交直线AC、BC于E和F，又D为l上一点，则CD与双曲线相切的充要条件是D为EF的中点.46过双曲线22221xyab-=a0,b0的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则|2PFeMN=.47设Ax1,y1是双曲线22221xyab-=a0,b0上任一点，过A作一条斜率为2121bxay的直线L，又设d是原点到直线L的距离,12,rr分别是A到双曲线两焦点的距离，则ab=.48已知双曲线22221xyab-=a

13、0,b0和2222xyab-=01高中数学最全双曲线二级结论大全高中数学最全双曲线二级结论大全线与x轴相交于点0(,0)Px,则220abxa+或220abxa+-.50设P点是双曲线22221xyab-=a0,b0上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12FPF=，则(1)2122|1cosbPFPF=-.(2)122cot2PFFSb?=.51设过双曲线的实轴上一点Bm,o作直线与双曲线相交于P、Q两点，A为双曲线实轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过B点的直线MN：xn=于M，N两点,则90MBN=()2222()anmamambna-?=-+.52L是经过双曲线22221xy

14、ab-=a0,b0焦点F且与实轴垂直的直线，A、B是双曲线的两个顶点，e是离心率,点PL，若APB=，则是锐角且1sine或1sinarce当且仅当|PFb=时取等号.53L是经过双曲线22221xyab-=a0,b0的实轴顶点A且与x轴垂直的直线，E、F是双曲线的准线与x轴交点,点PL，e是离心率，EPF=，H是L与X轴的交点c是半焦距，则是锐角且1sine或1sinarce当且仅当|abPAc=时取等号.54L是双曲线22221xyab-=a0,b0焦点F1且与x轴垂直的直线，E、F是双曲线准线与x轴交点，H是L与x轴的交点，点PL，EPF=,离心率为e，半焦距为c，则为锐角且21sine

15、或21sinarce当且仅当1|PF=.55已知双曲线22221xyab-=a0,b0，直线L通过其右焦点F2,且与双曲线右支交于A、B两点，将A、B与双曲线左焦点F1连结起来，则222112(2)|abFAFBa+?当且仅当ABx轴时取等号.高中数学最全双曲线二级结论大全高中数学最全双曲线二级结论大全56设A、B是双曲线22221xyab-=a0,b0的长轴两端点，P是双曲线上的一点，PAB=,PBA=,BPA=，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos|s|abPAacco=-.(2)2tantan1e=-.(3)22222cotPABabSba?=+.57设A、B是

16、双曲线22221xyab-=a0,b0实轴上分别位于双曲线一支内含焦点的区域、外部的两点，且Ax、Bx的横坐标2ABxxa?=，1若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，则PBAQBA=；2若过B引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，则180PBAQBA+=.58设A、B是双曲线22221xyab-=a0,b0实轴上分别位于双曲线一支内含焦点的区域，外部的两点，1若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，若BP交双曲线这一支于两点，则P、Q不关于x轴对称，且PBAQBA=，则点A、B的横坐标Ax、Bx知足2ABxxa?=；2若过B点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，且180PBA

17、QBA+=,则点A、B的横坐标知足2ABxxa?=.59设,AA是双曲线22221xyab-=的实轴的两个端点，QQ是与AA垂直的弦，则直线AQ与AQ的交点P的轨迹是双曲线22221xyab+=.60过双曲线22221xyab-=a0,b0的右焦点F作相互垂直的两条弦AB、CD,则()2228|abABCDabab+-；()22|4cABCDaaba+=高中数学最全双曲线二级结论大全高中数学最全双曲线二级结论大全61到双曲线22221xyab-=a0,b0两焦点的距离之比等于cab-c为半焦距的动点M的轨迹是姊妹圆222()()xecyeb+=.62到双曲线22221xyab-=a0,b0的实

18、轴两端点的距离之比等于cab-c为半焦距的动点M的轨迹是姊妹圆222()xcyb+=.63到双曲线22221xyab-=a0,b0的两准线和x轴的交点的距离之比为cab-c为半焦距的动点的轨迹是姊妹圆222()()bxaye+=e为离心率.64已知P是双曲线22221xyab-=a0,b0上一个动点，,AA是它实轴的两个端点,且AQAP,AQAP，则Q点的轨迹方程是222241xbyaa-=.65双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项.66设双曲线22221xyab-=a0,b0实轴的端点为,AA,11(,)Pxy是双曲线上的点过P作斜率为2

19、121bxay的直线l，过,AA分别作垂直于实轴的直线交l于,MM,则12|AMAMb=.2四边形AMAM面积趋近于2ab.67已知双曲线22221xyab-=a0,b0的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF的中点.68OA、OB是双曲线2222()1xayab-=a0,b0,且ab的两条相互垂直的弦，O为坐标原点，则1直线AB必经过一个定点2222(,0)abba-.(2)以OA、OB为直径的两圆的高中数学最全双曲线二级结论大全高中数学最全双曲线二级结论大全另一个交点Q的轨迹方程是222222222()

20、()ababxybaba-+=-除原点。69(,)Pmn是双曲线2222()1xayab-=a0,b0上一个定点，PA、PB是相互垂直的弦，则1直线AB必经过一个定点2222222222()()(,)abmbanabbaba-+-.2以PA、PB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是22224222222222222()()()()abambnabnabxybababa-+-+-=-(除P点).70假如一个双曲线虚半轴长为b，焦点F1、F2到直线L的距离分别为d1、d2，那么1212ddb=，且F1、F2在L异侧?直线L和双曲线相切,或L是双曲线的渐近线.2212ddb，且F1、F2在L异侧?

21、直线L和双曲线相离，3212ddb高中数学最全双曲线二级结论大全高中数学最全双曲线二级结论大全75双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值a+c与c-a.76双曲线焦三角形的非焦顶点到其旁切圆的切线长为定值c-a.77双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.78双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.79双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.80双曲线焦三角形中,双曲线中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外

22、点到同侧焦点的距离成比例.81双曲线焦三角形中,半焦距、外点与双曲线中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足的距离为双曲线实半轴的长.84双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和双曲线实轴为直径的圆的切点.85双曲线焦三角形中,非焦顶点的内角平分线与焦半径、实轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.86双曲线焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的外角平分线.87双曲线焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的内角平分线.88双曲线焦三角形中,过非焦顶点的切线与双曲线实轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89.已知双曲线22221(0,0)xyabab-=上有一点P，过P分别引其渐近线的平行线，分别交x轴于,MN，交y轴于,RQ，O为原点，则：12|OMONa?=；22|OQORb?=.90.过平面上的P点作直线1:blyxa=及2:blyxa=-的平行线，分别交x轴于,MN，交y轴于,RQ.1若2|OMONa?=，则P的轨迹方程是22221(0,0)xyabab-=.(2)