332(1)简单的线性规划.ppt

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1、xyo可行域上的最优解可行域上的最优解问题问题1: 某工厂用某工厂用A,B两种配件生产甲两种配件生产甲, ,乙两种产品乙两种产品, ,每生产一件甲种产品使用每生产一件甲种产品使用4个个A配件耗时配件耗时1h,每生产一件乙种产品使用每生产一件乙种产品使用4个个B配件耗时配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得该厂每天最多可从配件厂获得16个个A配件和配件和12个个B配件配件, ,按每天工作按每天工作8小时小时计算计算, ,该厂所有该厂所有可能的日生产安排是什么可能的日生产安排是什么? 若生产若生产1件甲种产品获利件甲种产品获利2万元万元,生产生产1 件乙件乙种产品获利种产品获利3万元万元,采用哪

2、种生产安排利润最大采用哪种生产安排利润最大?32利润利润( (万元万元) )821所需时间所需时间1240B种配件种配件1604A种配件种配件资源限额资源限额 乙产品乙产品 (1件件)甲产品甲产品 (1件件)产品产品消消 耗耗 量量资资 源源把问题把问题1的有关数据列表表示如下的有关数据列表表示如下:设甲设甲, ,乙两种产品分别生产乙两种产品分别生产x,y件件, ,2841641200 xyxyxy 0 xy4348将上面不等式组表示成平面上的区域将上面不等式组表示成平面上的区域, ,区域内区域内所有坐标为整数的点所有坐标为整数的点P(x,y),安排生产任务安排生产任务x,y都是有意义的都是有

3、意义的.设甲设甲, ,乙两种产品分别生产乙两种产品分别生产x,y件件, ,由己知条件可得由己知条件可得:问题：问题：求利润求利润2x+3y的最大值的最大值.若设利润为若设利润为z,则则z=2x+3y,这样上述问题转化为这样上述问题转化为:当当x,y在满足上述约束条件时在满足上述约束条件时,z的最大值为多少的最大值为多少?,2z22z2把把z=2x+3yz=2x+3y变变形形为为y=-x+,y=-x+,这这是是斜斜率率为为- -333333z z在在y y轴轴上上的的截截距距为为的的直直线线, ,3 3当点当点P在可允许的取值范围变化时在可允许的取值范围变化时,z z求求截截距距的的最最值值,

4、,即即可可得得z z的的最最值值. .3 32841641200 xyxyxy 0 xy4348233zyx M（4，2）142yx 问题：问题：求利润求利润z=2x+3y的最大值的最大值.143224max Z2841641200 xyxyxy 象这样关于象这样关于x,yx,y一次不等一次不等式组的约束条件称为式组的约束条件称为线性约束线性约束条件条件Z=2x+3yZ=2x+3y称为目标函数称为目标函数,( ,(因这里因这里目标函数为关于目标函数为关于x,yx,y的一次式的一次式, ,又又称为称为线性目标函数线性目标函数 在线性约束下求线性目标函数在线性约束下求线性目标函数的最值问题的最值问

5、题, ,统称为统称为线性规划线性规划, ,满足线性约束的解满足线性约束的解(x,y(x,y) )叫做叫做可行解可行解, ,所有可行解组成的集合叫做所有可行解组成的集合叫做可行域可行域使目标函数使目标函数取得最值取得最值的可行解叫做这个的可行解叫做这个问题的问题的最优解最优解变式：变式：若生产一件甲产品获利若生产一件甲产品获利1万元万元，生产一件乙产品获利生产一件乙产品获利3万元万元，采用哪种采用哪种生产安排利润最大？生产安排利润最大？2841641200 xyxyxy 0 xy4348133zyx N N（2 2，3 3）142yx 变式：变式：求利润求利润z=x+3y的最大值的最大值.max

6、23 311z练习练习解下列线性规划问题：解下列线性规划问题：1、求、求z=2x+y的最大值，使式中的的最大值，使式中的x、y满足约束条件：满足约束条件：11yyxxyxOyABCy=x x+y=1y=-12x+y=011yyxxyB:(-1,-1)C:(2,-1)Zmin=-3Zmax=3 目标函数：目标函数： Z=2x+y解线性规划问题的步骤：解线性规划问题的步骤： （2 2）移：在线性目标函数所表示的一组平行）移：在线性目标函数所表示的一组平行 线中，利用平移的方法找出与可行线中，利用平移的方法找出与可行 域有公共点且纵截距最大或最小的直线域有公共点且纵截距最大或最小的直线 （3 3）求

7、：通过解方程组求出最优解；）求：通过解方程组求出最优解； （4 4）答：作出答案。）答：作出答案。 （1 1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；）画：画出线性约束条件所表示的可行域；体验体验: :二、二、最优解最优解一般在可行域的一般在可行域的顶点顶点处取得处取得三、在哪个顶点取得不仅与三、在哪个顶点取得不仅与B B的符号有关，的符号有关， 而且还与直线而且还与直线 Z=Ax+ByZ=Ax+By的的斜率斜率有关有关一、一、先定先定可行域和平移方向，再找最优解。可行域和平移方向，再找最优解。 小小 结结 本节主要学习了线性约束下如何求目本节主要学习了线性约束下如何求目标函数的标函数的最值问题最

8、值问题 正确列出变量的不等关系式正确列出变量的不等关系式, ,准确准确作出作出可行域可行域是解决目标函数最值的关健是解决目标函数最值的关健 线性目标函数的最值一般都是在可行域线性目标函数的最值一般都是在可行域的的顶点或边界顶点或边界取得取得. . 把目标函数转化为某一直线把目标函数转化为某一直线, ,其斜率与其斜率与可行域边界所在直线可行域边界所在直线斜率的大小关系斜率的大小关系一定要一定要弄清楚弄清楚. .xyo简单的线性规划问题（二）简单的线性规划问题（二）一一、复习概念、复习概念yx4843o 把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为它

9、是关于变量它是关于变量x x、y y的一次解析式，的一次解析式，又称线性目标函数。又称线性目标函数。 满足线性约束的解满足线性约束的解（x x，y y）叫做可行解。）叫做可行解。 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为问题，统称为线性规划问题线性规划问题。一组关于变量一组关于变量x x、y y的一次不等式，称为的一次不等式，称为线性约束条件线性约束条件 由所有可行解组成由所有可行解组成的集合叫做可行域。的集合叫做可行域。 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。这个问题的

10、最优解。可行域可行域可行解可行解最优解最优解二二. .回顾回顾解线性规划问题的步骤解线性规划问题的步骤 （2 2）移：）移：在线性目标函数所表示的一组平行线在线性目标函数所表示的一组平行线 中，利用平移的方法找出与可行域有中，利用平移的方法找出与可行域有 公共点且纵截距最大或最小的直线公共点且纵截距最大或最小的直线 （3 3）求：）求：通过解方程组求出最优解；通过解方程组求出最优解； （4 4）答：）答：作出答案。作出答案。 （1 1）画：）画：画出线性约束条件所表示的可行域；画出线性约束条件所表示的可行域；练习练习解下列线性规划问题：解下列线性规划问题：1、求、求z=2x+y的最大值，使式中

11、的的最大值，使式中的x、y满足约束条件：满足约束条件：11yyxxyxOyABCy=x x+y=1y=-12x+y=011yyxxyB:(-1,-1)C:(2,-1)Zmin=-3Zmax=3 目标函数：目标函数： Z=2x+y例例2 2、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1 1车车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t4t、硝酸盐、硝酸盐18t18t；生产；生产1 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t1t、硝酸盐、硝酸盐15t15t。现库存磷酸盐。现库存磷酸盐10t10t、硝酸盐、硝酸盐66

12、t66t，在此基础上生，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？各多少车皮，能够产生最大的利润？解：设解：设x x、y y分别为计划生产甲、乙两种混合分别为计划生产甲、乙两种混合 肥料的车皮数，于是满足以下条件：肥料的车皮数，于是满足以下条件：xyo4 4 x x y y 1 1 0 01 1 8 8 x x 1 1 5 5 y y 6 6 6 6x x 0 0y y 0 0解：解：设生产甲种肥料设生产甲

13、种肥料x x车皮、乙种肥料车皮、乙种肥料y y车皮，车皮， 能够产生利润能够产生利润Z Z万元。目标函数为万元。目标函数为Z Zx x0.5y0.5y， 可行域如图可行域如图： 把把Z Zx x0.5y0.5y变形变形为为y y2x2x2z2z，它表示斜率，它表示斜率为为2 2，在，在y y轴上的截距为轴上的截距为2z2z的一组直线系。的一组直线系。 xyo 由图可以看出，当直线经过由图可以看出，当直线经过可行域上的点可行域上的点MM时，时，截距截距2z2z最大，即最大，即z z最大。最大。 答：答：生产甲种、乙种肥料各生产甲种、乙种肥料各 2 2车皮，能够产生最大利车皮，能够产生最大利 润，

14、最大利润为润，最大利润为3 3万元。万元。M 容易求得容易求得MM点的坐标为点的坐标为（2 2，2 2），），则则Z Zmaxmax3 33 3、制定投资计划时，不仅要考虑可能获得、制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损的盈利，而且要考虑可能出现的亏损. . 某投资人打算投资甲、乙两个项目某投资人打算投资甲、乙两个项目. . 根据根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100100和和5050，可能的最大亏损率分别为，可能的最大亏损率分别为3030和和1010. . 投资人计划投资金额不超过投资人计划投资金额不超过1010万万

15、元，要求确保可能的资金亏损不超过元，要求确保可能的资金亏损不超过1.81.8万万元元. . 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？万元，才能使可能的盈利最大？ 【解题回顾【解题回顾】要能从实际问题中，建构有关线要能从实际问题中，建构有关线 性规划问题的数学模型性规划问题的数学模型. .关键求出关键求出 约束条件和目标函数约束条件和目标函数. .解：设投资方对甲、乙两个项目各投资解：设投资方对甲、乙两个项目各投资x x、y y万元万元依题意线性约束条件为：依题意线性约束条件为： 0018310yxyxyx目标函数为：目标函数为：yxZ5

16、. 0 作出可行域作出可行域可知直线可知直线Z=x+0.5yZ=x+0.5y通过点通过点A A时利润最大时利润最大 由由 6418310yxyxyx 6,4A75 . 064max Z（万元）（万元）答：答：练习题练习题1、某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为别为30003000元、元、20002000元，甲、乙产品都需要在元，甲、乙产品都需要在A A、B B两两种设备上加工，在每台种设备上加工，在每台A A、B B上加工上加工1 1件甲所需工时分别件甲所需工时分别为为1h1h、2h2h，加工，加工1 1件乙所需工时分别为件乙所需工时分别

17、为2h,1h.A2h,1h.A、B B两两种设备每月有效使用台时数分别为种设备每月有效使用台时数分别为400h400h和和500h500h。如何。如何安排生产可使收入最大？安排生产可使收入最大？解：解： 设每月生产甲产品设每月生产甲产品x x件，生产乙产品件，生产乙产品y y件，每月收件，每月收入为入为Z Z千元，目标函数为千元，目标函数为Z Z3x3x2y2y，满足的条件是，满足的条件是x x 2 2 y y 4 4 0 0 0 02 2 x x y y 5 5 0 0 0 0 x x 0 0y y 0 0 Z Z 3x3x2y2y 变形为变形为它表示斜率为它表示斜率为 的直线系，的直线系，

18、Z Z与这条直线的截距有关。与这条直线的截距有关。223zxy23XYO400200250500 当直线经过点当直线经过点MM时，截距最大，时，截距最大，Z Z最大。最大。M解方程组解方程组50024002yxyx可得可得MM（200200，100100）Z Z 的最大值的最大值ZmaxZmax 3x3x2y2y800800（千元）（千元）故生产甲产品故生产甲产品200200件，件，乙产品乙产品100100件，收入最大，件，收入最大，为为8080万元。万元。小 结：二元一次不等式二元一次不等式表示平面区域表示平面区域直线定界，直线定界，特殊点定域特殊点定域简单的线性规划简单的线性规划约束条件约

19、束条件目标函数目标函数可行解可行解可行域可行域最优解最优解应用应用求解方法：画、求解方法：画、移、求、答移、求、答作作 业业: 课本课本 P106 4xyo简单的线性规划问题（三）简单的线性规划问题（三）复习回顾：二元一次不等式二元一次不等式表示平面区域表示平面区域直线定界，直线定界，特殊点定域特殊点定域简单的线性规划简单的线性规划约束条件约束条件目标函数目标函数可行解可行解可行域可行域最优解最优解应用应用求解方法：画、求解方法：画、移、求、答移、求、答例、例、要将两种大小不同规格的钢板截成要将两种大小不同规格的钢板截成A A、 B B、C C三种规格，每张钢板可同时截得三种三种规格，每张钢板

20、可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示规格的小钢板的块数如下表所示 ： 规格类型规格类型钢板类型钢板类型第一种钢板第一种钢板第二种钢板第二种钢板A A规格规格B B规格规格C C规格规格2 21 12 21 13 31 1今需要今需要A,B,CA,B,C三种规格的成品分别为三种规格的成品分别为1515，1818，2727块，问各截这两种钢板多少张可得所需三块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。种规格成品，且使所用钢板张数最少。解：设需截第一种钢板解：设需截第一种钢板x x张、第二种钢板张、第二种钢板y y张，可得张，可得x0y2x+y=15x+3y=27x+

21、2y=18x+y =02x+y15,x+2y18,x+3y27,x0, xN*y0 yN* 经过可行域内的整点经过可行域内的整点B(3,9)和和C(4,8)且和原点距且和原点距离最近的直线是离最近的直线是x+y=12，它们是最优解它们是最优解.答答:(略略)作出一组平行直线作出一组平行直线z= x+y，目标函数目标函数z=x+yz=x+yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)打网格线法打网格线法在可行域内打出网格线，在可行域内打出网格线，当直线经过点当直线经过点A A时时z=x+yz=x+y=11.4=11.4, ,但它不是最优整数解，但它不是最优整数解，将直线将直线x+y=11.4

22、继续向上平移继续向上平移,2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y =0直线直线x+y=12x+y=12经过的整点是经过的整点是B(3,9)B(3,9)和和C(4,8)C(4,8)，它们是最优解，它们是最优解. . 作出一组平行直线作出一组平行直线z z = = x+yx+y，目标函数目标函数z = x+yz = x+yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)当直线经过点当直线经过点A A时时z=x+yz=x+y=11.4=11.4, ,但它不是最优整数解但它不是最优整数解. .作直线作直线x+y=12x+y=12x+y=12解得解得交点交点B,C的坐标的坐标B(3,9)和和C

23、(4,8)调整优值法调整优值法2x+y15,x+2y18,x+3y27,x0, xN*y0 yN*x0y1. 1. 线性规划的讨论范围：线性规划的讨论范围：教材中讨论了教材中讨论了两个变量的线性规划问题，这类问题可两个变量的线性规划问题，这类问题可以用图解法来求最优解，但涉及更多变以用图解法来求最优解，但涉及更多变量的线性规划问题不能用图解法来解；量的线性规划问题不能用图解法来解；2. 2. 求线性规划问题的最优整数解时，求线性规划问题的最优整数解时，常常 用用打网格线打网格线和和调整优值调整优值的方法，这要求作的方法，这要求作图必须精确，线性目标函数对应的直线斜图必须精确，线性目标函数对应的直线斜率与其他直线的斜率关系要把握准确率与其他直线的斜率关系要把握准确在在x,yx,y的的值值都都是是不不小小于于0 0的的整整数数 点点（x,y)x,y)中中，满满足足x+yx+y4 4的的 点点的的个个数数为为_Ex.Ex._1515321 041 1,0 ,0 xyxyxyZxy。yxS的最大值的最大值求求45 , x y设变量满足条件练习练习: