34（1）基本不等式.ppt

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1、2a bab(0 ,0 )ab20022002年在北京举行的第年在北京举行的第2424届国际数学家大会会标届国际数学家大会会标思考：这会标中含有怎思考：这会标中含有怎样的几何图形？样的几何图形？思考：你能否在这个图思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系案中找出一些相等关系或不等关系？或不等关系？abab22+ +问问2 2：RtRtABF,RtABF,RtBCG,RtBCG,RtCDH,RtCDH,RtADEADE是全等三是全等三角形，它们的面积和是角形，它们的面积和是S=S=问问1 1：在正方形在正方形ABCDABCD中中, ,设设AF=a,BFAF=a,BF=b,=b,则正方形的面积则正

2、方形的面积为为S=S=，问问3 3：S S与与SS有什么样的关系？有什么样的关系？ 22ab2ab2222a + b 2aba + b 2ab从图形中易得，从图形中易得，s s,s s,即即问题问题1 1：s,s, S有相等的情况吗？有相等的情况吗？何时相等？何时相等？ 图片说明：当直角三角形图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即变为等腰直角三角形，即a=ba=b时，正方形时，正方形EFGHEFGH缩为一缩为一个点，这时有个点，这时有 22=2ababu形的角度形的角度u数的角度数的角度 当当a=b时时a2+b22ab=(ab)2=0结论：结论：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a

3、 a、b b，我们有，我们有 当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立222aba b此不等式称为此不等式称为重要不等式重要不等式问题问题2 2：当当 a,ba,b为任意实数时，为任意实数时， 成成 立吗？立吗？2 22 2a a + +b b2 2a ab b 类类 比比 联联 想想 推推 理理 论论 证证 （特别的）如果（特别的）如果 也可写成也可写成 ,abab用用和和代代替替 、 可可得得abab 2 2a0 ,b0 ,(,)002ababab 当且仅当当且仅当 a=b a=b 时时“”号成号成立立 此不等式称为此不等式称为基本不等式基本不等式aba b2算术平均数算术平均

4、数几何平均数几何平均数(1)(1)两个正数的算术平均数两个正数的算术平均数不小于不小于它们的几何平它们的几何平 均数均数. .(2)(2)两个正数的等差中项两个正数的等差中项不小于不小于它们的等比中项它们的等比中项. .基本不等式：基本不等式：(0,0)2ababab当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。注意：注意：（1）不同点：两个不等式的）不同点：两个不等式的适用范围适用范围不同。不同。（2）相同点：当且仅当）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。探究探究：如何证明基本不等式：如何证明基本不等式.,号取时即当且仅当babababaabba2212122证法,0212

5、ba22, ,0a bab证法对于正数有20abababba2.abba2当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。综合法综合法（执因索果）（执因索果）.号时取当且仅当ba,成立所以立因为最后一个不等式成2baab.20ba 只要证,baba20只要证3,2abab证法要证,baab2只要证分析法（执果索因）分析法（执果索因）课后探究：两种证明方法的优劣，如何来使用？课后探究：两种证明方法的优劣，如何来使用？2abab的几何解释吗在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式ab2ba abb

6、a2证法四：易证tADtDB，那么D2AB即D.这个圆的半径为显然，它大于或等于CD，即其中当且仅当点C与圆心重合，即ab时，等号成立.几何意义是“半径不小于半弦半径不小于半弦” aboABPQ对基本不等式的对基本不等式的几何意义几何意义作进作进一步探究一步探究:如图如图,AB,AB是圆是圆o o的的直径，直径，Q Q是是ABAB上任上任一点，一点，AQ=AQ=a a,BQ,BQ= =b b, ,过点过点Q Q作垂直于作垂直于ABAB的弦的弦PQPQ，连，连AP,BPAP,BP, ,则则PQ=PQ=_,_,半径半径AO=AO=_ab2ba 几何意义：几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长圆的半径不

7、小于圆内半弦长 已知已知 都是正数，试探究：都是正数，试探究：（1）如果积）如果积 是定值是定值P，和，和 是否有是否有最小值最小值？若有，那么当若有，那么当 时，最小值为：时，最小值为：（2）如果和）如果和 是定值是定值S，积，积 是否有是否有最大值最大值？若有，那么当若有，那么当 时，最大值为时，最大值为yx,yxyxyx P2yx 241Sxyxy例例1 1：（1 1）用篱笆围成一个面积为）用篱笆围成一个面积为100m100m的矩形的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？篱笆最短。最短的篱笆是多少？解：设矩形菜园的

8、长为解：设矩形菜园的长为x mx m，宽为，宽为y my m， 则则xyxy=100=100，篱笆的长为，篱笆的长为2 2（x+yx+y）m.m. 2xyxy2 100,xy 2()40 xy等号当且仅当等号当且仅当x=yx=y时成立，此时时成立，此时x=y=10 x=y=10. . 因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为10m10m时，所用的篱笆最时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是短，最短的篱笆是40m. 40m. 强调：强调：两个正变量两个正变量积为定值积为定值，则，则和有最小值和有最小值，当且仅当两值相等时取最值。当且仅当两值相等时取最值。（2 2）用一段长为）用一段长为36

9、m36m的篱笆围成一个矩形菜园，的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？面积最大，最大面积是多少？解：设矩形菜园的长为解：设矩形菜园的长为x mx m，宽为，宽为y my m， 则则 2（ x + y ）= 36 , x + y = 18矩形菜园的面积为矩形菜园的面积为xymxym2 22xyxy=18/2=9得得 xyxy 81 81当且仅当当且仅当x=y,x=y,即即x=y=9x=y=9时，等号成立时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为9m9m时，菜园面积最大，时，菜园面积

10、最大，最大面积是最大面积是81m81m2 2强调：强调：两个正变量两个正变量和为定值和为定值，则，则积有最大值积有最大值，当且仅当两值相等时取最值。当且仅当两值相等时取最值。已知已知a,ba,b都是正数，都是正数， （1 1）若）若abab是定值是定值P, P, 则当则当a=ba=b时时, ,a+ba+b有最小值有最小值 ； （2 2）若）若a+ba+b是定值是定值S, S, 则当则当a=ba=b时时,ab,ab有最大值有最大值 ；P22S41积一定，和有最小值；积一定，和有最小值； 和一定，积有最大值。和一定，积有最大值。注意：一正二定三相等！注意：一正二定三相等！应用基本不等式求最值的条件

11、：应用基本不等式求最值的条件： a a与与b b为正实数为正实数若等号成立，若等号成立，a a与与b b必须能必须能够相等够相等一正一正二定二定三相等三相等积定和最小积定和最小和定积最大和定积最大强调：强调：求最值时要考虑不等式是否能取到求最值时要考虑不等式是否能取到“”应用基本不等式求最值的条件：应用基本不等式求最值的条件： a a与与b b为正实数为正实数若等号成立，若等号成立，a a与与b b必须能必须能够相等够相等一正一正二定二定三相等三相等积定和最小积定和最小和定积最大和定积最大强调：强调：求最值时要考虑不等式是否能取到求最值时要考虑不等式是否能取到“”2( )sin,(0, )si

12、nf xxxx求的最值。例例2:2:某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池, ,其容积其容积为为4800m4800m3 3, ,深为深为3m.3m.如果池底每平方米的造价为如果池底每平方米的造价为150150元元, ,池壁每平方米的造价为池壁每平方米的造价为120120元元, ,怎样设计水池能使总造怎样设计水池能使总造价最低价最低? ?最低总造价是多少最低总造价是多少? ?分析分析: :水池呈长方体形水池呈长方体形, ,它的高是它的高是3m,3m,底面的长底面的长与宽没有确定与宽没有确定. .如果底面的长与宽确定了如果底面的长与宽确定了, ,水池的总造价也就确定了

13、水池的总造价也就确定了. .因此应当考察底因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低。面的长与宽取什么值时水池总造价最低。解解: :设底面的长为设底面的长为xmxm, ,宽为宽为ymym, ,水池总造价为水池总造价为z z元元. .根据题意根据题意, ,有有: :由容积为由容积为4800m4800m3 3, ,可得可得:3xy=4800:3xy=4800因此因此 xyxy=1600=1600由基本不等式与不等式的性质由基本不等式与不等式的性质, ,可得可得即即 当当x=y,x=y,即即x=y=40 x=y=40时时, ,等号成立等号成立 所以所以, ,将水池的地面设计成边长为将水池的地面

14、设计成边长为40m40m的正方的正方形时总造价最低形时总造价最低, ,最低总造价为最低总造价为297600297600元元. .4800z150120(2 3x2 3y)3240000720(xy) 240000720(xy)240000720 2 xyz240000720 2 1600z2976001.1.下列函数中最小值为下列函数中最小值为4 4的是的是( )( ) 4 22.2.设设a1a1，且，且m=logm=loga a(a(a2 2+1),n=log+1),n=loga a(a+1),(a+1), p=log p=loga a(2a)(2a)则则m,n,pm,n,p的大小关系是的大

15、小关系是( ( ) )3.3.若若a.bRa.bR, ,且且a+ba+b=3,=3,则则2 2a a+2+2b b的最小值为的最小值为( )( )Cmpn x x- -x xx x4 44 4A A、y y= =x x+ +B B、y y= =s si in nx x+ +（0 0 x x ）x xs si in nx xC C、y y= =3 3 + +4 43 3D D、y y= =l lg gx x+ +4 4l lo og g 1 10 04.4.设计一副宣传画，要求画面面积为设计一副宣传画，要求画面面积为4840cm4840cm2 2，画面，画面的宽与高的比为的宽与高的比为a(aa(

16、a1)1)，画面的上下各留出，画面的上下各留出8cm8cm的的空白，左右各留空白，左右各留5cm5cm的空白，怎样确定画面的高与的空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？4 48 84 40 03 30 02 25 5S S = =( (x x + + 1 10 0) )( (+ + 1 16 6) )= = 5 50 00 00 0 + + 1 16 6( (x x + +) )x xx x3 30 02 25 55 50 00 00 0 + + 1 16 62 2x x= = 6 67 76 60 0 x x3 30 02 25

17、5只只有有x x = =即即x x = = 5 55 5取取 = = x x4 48 84 40 05 55 5= = 8 88 8, ,a a = = 0,b0)2abab1.设设 0， 0，若，若 是是 与与 的等比中项，则的等比中项，则ab3a3b3ba11得最小值为（得最小值为（ ）A. 8 B. 4 C. 1 D. 41（2009年天津理年天津理6）Ba2.（2009山东理山东理12T)设设 满足约束条件满足约束条件 若目标函数若目标函数yx, , 0y, 0 x, 02yx, 06yx3byaxz （ 0， 0）的最大值为的最大值为12，则，则 的最小值为（的最小值为（ ）bb3a

18、2 A. B. C. D. 4 62538311略解略解：xy02-2202yx063 yxbyaxz(4,6)点选把把（4 4，6 6）代代入入z z = = a ax x+ +b by y得得4 4a a+ +6 6b b = =1 12 2, ,2 23 32 23 3 2 2a a+ +3 3b b即即2 2a a+ +3 3b b = = 6 6, ,而而+ += =+ +a ab ba ab b6 61 13 3b ba a1 13 32 25 5= =+ +( (+ +) )+ +2 2 = =, ,故故A A6 6a ab b6 66 6A作业作业教材：教材：P100P100：习题：习题3.4A3.4A组组