113反证法及其应用.ppt

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1、艾镇南制作2022-6-4高二数学高二数学 选修选修2-1（理）（理）1.1.31.1.3四种命题的关系四种命题的关系及反证法及其应用及反证法及其应用艾镇南制作2022-6-4回顾回顾l交换原命题的条件和结论，所得的命题是交换原命题的条件和结论，所得的命题是_ l同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是_ l交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是得的命题是_ 逆命题。逆命题。否命题。否命题。逆否命题。逆否命题。四种命题形式四种命题形式: :l 原命题原命题: : l 逆命题逆命题: :l 否命题否命题:

2、 : l逆否命题逆否命题: :若若 p, p, 则则 q q 若若 q q, , 则则 p p若若p p, , 则则q q若若q, q, 则则p p互为逆否命互为逆否命题的两个命题的两个命题同真假题同真假艾镇南制作2022-6-4观察与思考观察与思考？( )( )f xf x1）若是正弦函数，则是周期函数。1）若是正弦函数，则是周期函数。( )( )f xf x2）若是周期函数，则是正弦函数。2）若是周期函数，则是正弦函数。( )( )f xf x3）若不是正弦函数，则不是周期函数。3）若不是正弦函数，则不是周期函数。( )( )f xf x4）若不是周期函数，则不是正弦函数。4）若不是周期函

3、数，则不是正弦函数。你能说出其中任意你能说出其中任意两个命题之间的关两个命题之间的关系吗系吗?知 识 要 点知 识 要 点原命题原命题若若p则则q逆命题逆命题若若q则则p否命题否命题若若 p则则 q逆否命题逆否命题若若 q则则p互为逆否互为逆否 同同真真同同假假互为逆否互为逆否 同同真真同同假假互逆命题互逆命题 真假真假无关无关互逆命题互逆命题 真假真假无关无关互否命题真假互否命题真假无关无关互否命题真假互否命题真假无关无关即证明即证明 为真命题为真命题222,2.pqpq“若则”艾镇南制作2022-6-4关于反证法关于反证法艾镇南制作2022-6-4反证法：反证法：l要证明某一结论要证明某一

4、结论A是正确的，但不直接证明，而是正确的，但不直接证明，而是先去证明是先去证明A的反面（非的反面（非A）是错误的，从而断）是错误的，从而断定定A是正确的。是正确的。l即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法。学证明方法。假设原命题结假设原命题结论的反面成立论的反面成立看能否推出看能否推出原命题原命题条件的反面成立条件的反面成立尝试成功尝试成功得证得证艾镇南制作2022-6-4反证法的一般步骤：反证法的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立假设命题的结论不成立,

5、即假即假 设结论的反面成立；设结论的反面成立； (2)从这个假设出发，经过推理从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；论证，得出矛盾； (3) 由矛盾判定假设不正确，由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。从而肯定命题的结论正确。 反设反设归谬归谬结论结论推理过程中一定要用到才行显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾).艾镇南制作2022-6-41、反证法证题时关键在第二步，如何导出矛盾。、反证法证题时关键在第二步，如何导出矛盾。2、导出矛盾有四种可能：、导出矛盾有四种可能：（1）与原命题的条件（）与原命题的条件（题设）题设）矛盾；矛盾；（2）与定义、公理、定理等矛盾；）与定义、公理、定理等

6、矛盾；（3）与结论的反面（）与结论的反面（反设）反设）成立矛盾。成立矛盾。（1 1）难于直接使用已知条件导出结论的命题；）难于直接使用已知条件导出结论的命题；（2 2）唯一性命题；）唯一性命题；（3 3）“至多至多”或或“至少至少”性命题；性命题；（4 4）否定性或肯定性命题。）否定性或肯定性命题。3 3、反证法的使用范围：、反证法的使用范围：几点注意：几点注意：（4）在证明过程中，推出自相矛盾的结论。）在证明过程中，推出自相矛盾的结论。艾镇南制作2022-6-4思考探究：还可以用已学过的哪些方法证明？还可以用已学过的哪些方法证明？数形结合的数学思想数形结合的数学思想P2+q22表示圆心在原点

7、，半径为表示圆心在原点，半径为 的圆，的圆， 表示一个平面区域，只要证明圆上的表示一个平面区域，只要证明圆上的点在平面区域内即可。点在平面区域内即可。22pq假设原命题结假设原命题结论的反面成立论的反面成立看能否推出看能否推出原命题条件的反面成立原命题条件的反面成立“等腰等腰ABC中中,AB=AC” 不是条不是条件而是大前提件而是大前提尝试成功尝试成功得证得证艾镇南制作2022-6-4这些条件都与已知这些条件都与已知矛盾矛盾0 ba所以原命题所以原命题成立成立ba 证明证明: 假设假设a不大于不大于b则则a 0,b0所以所以a baabaa bb bab0ab0，那么，那么 . . ba 艾镇南制作2022-6-4练习练习3 艾镇南制作2022-6-4练练4. 圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。 已知：如图，在已知：如图，在 O中，弦中，弦AB、CD交于交于P，且，且AB、CD不是直径不是直径.求证：弦求证：弦AB、CD不被不被P平分平分.证明：证明： 假设弦假设弦AB 、CD被被P平分，平分，P点一定不是圆心点一定不是圆心O，连接，连接OP，根据垂径定理的推论，根据垂径定理的推论，有有OPAB, OPCD即即 过点过点P有两条直线与有两条直线与OP都垂直，都垂直，这与垂线性质矛盾，这与垂线性质矛盾，弦弦AB、CD不被不被P平分。平分。