数理统计模型.doc

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1、1第十四章 一些实例我们认为已经掌握了概率论和统计的基本知识，下面将给出一些模型。14.1 随机存储策略问题的提出： 某商店在一周的某商品的销售量是随机的。一般情况下，每周的周末要根据商店的该商品存货多少决定是否订货和进货以供下周销售。根据经验，当存货不少于 S 时可以不需要进货，当存货少于 S 时需要进货，进货以后使下周初存量达到 T。其中有订货费、贮存费、商品的价格以及缺货的损失费。问如何确定 S，T，使得效益最好？这种策略称为（S，T）策略。模型假设：时间单位为周，商品单位为件。1每次订货费为 d（与数量无关） ，每件商品的的购进价为 c，贮存费 k,销售价为s。并设当缺货时，我们也认为

2、缺货费用也是每件 s。cS 时, u=0, 当 xr 时, 需贮存费,当 v0 时， dFduxuxudrfsrfkc)()(0当记 T=x+u, 并注意到 时，令 ，可以得到10df 0J（*） 。cksdrfT)(0这就是说，当订货量 u 加上原来的存量 x 满足上面的等式的 T，就可以使平均费用达到最小。2从（*）知道，当进价 c 确定时，贮存费 k 越小，缺货费 s 越大，T 就应该越大。这是符合常识的。下面的任务是确定其下界 S。当存货量为 x 时，若订货，在 T 的限制下，平均费用为.)(1LTdM若不订货，平均费用为 .显然 .即)212M)(xkxL时应不订货.令 ,所以不订货

3、的条件是. 这个不等式的右边是已知的,所以 SI)应该是使.这个不等式成立的最小的 x,即 .由于 I(x)的连续性, )(|infdTIxS.dTIS)(注：（1） ，所以 是上凹（或叫下凸）的，从而 T 是唯一0)()(2uxpskduJ )(xI存在的，S 也是唯一可得的。它的几何图形如下：（2）可以用数学分析的理论，以计算机为工具得到 S，T 的近似值。（3）我们可以设销售量每天是均匀的，这时候贮存费用会增加。（4）上面我们假设了缺货费是销售的价格， 实际上缺货费应该是销售的价格减去进价和其他的费用（如消费税等）等所确定。14.2 计数器的设置问题有一种计数器，是用来测量可裂变物质的样

4、品放射性的衰变。衰变是以未知的速率随机发生的。计数器的目的就是测量衰变率。第一次放射性衰变就要把计数器锁住 310-9秒，在这段时间内所发生的任何衰变都不会被计数。如何调整计数器接受的数据以考虑丢失的信息？第一步，设 为每秒的衰变率，T n为第 n 次观测到衰变的时间。假设，放射性的衰变以速率 随机发生，所以对于任何，T n+1 -Tn310-9。因此，我们要根据 n 次观测值 T1, T2 ,Tn求出 .第二步，选择建摸的方法。我们将使用连续的概率模型。假设 X 是实数轴上取值的随 机变量。其分布函数为，)()xXPxF还设 可微， 为其密度函数。)(xF(f xO S TI(T)I(T)+

5、dI(x)3第三步，模型组建。我们还假设相继两次放射性衰变之间的时间是独立的，所以这个事件的发生是“无记忆的”。所以我们可以设为以衰变率 为参数的指数分布，即。tetf)(令 Xn= Tn -Tn-1，表示相继两次观查到放射性衰变之间的时间。由于计数器闭锁的原因，X n与相继两次衰变之间的时间的分布是不同的。事实上，X n310-9秒以概率为 1发生。这对指数分布来说是不真的。随机变量 Xn由两部分组成。首先我们必须等待 a=310-9秒，这时计数器被锁住了。同时我们必须多等待 Yn秒直到下一次衰变发生现在 Yn不是不只是两次衰变之间的时间，因为它开始 闭锁时间的末尾不是在衰变的时间。然而指数

6、分布的无记忆性保证了 Yn仍然是代有速率 参数 的指数分布。第四步，求解模型。因为 Xn= a+Yn，则 EXn= a+EYn，其中，0dteE于是 。由大数定律可以得到1aEXn1lim21anXnn以概率 1 成立。即 以概率 1 成立。所以当 n 充分大时认为aT。n从而有 。naT我们得到了一个衰变率的公式，它矫正了由于计数器的闭锁产生的衰变现象的丢失。全部所需要的资料是记录观测衰变的时间和所记录的衰变次数。在观测间隔内的那些衰变的分布对于确定 是不必要的。14.3 道路阻塞问题道路对交通的供给是通过通行能力来反映的。导致单元及系统通行能力变化的原因及影响有很多，一般可分为以下几类：

7、（1）永久影响，如车道宽度、车道数、坡度等，这些因素对通行能力的影响是基本确定的，如果有变化也往往是因基于统计资料建立的计算模型本身的不准确造成的。故可近似认为确定性影响。 （2）持久影响（或干扰），如车种组成，非机动车的干扰，行人的干扰，占道经营的干扰，相邻路口或路段的干扰，司机驾驶水平、车况的影响以及道路路面状况，如平整度、积雪、结冰情况的影响等，这些因素具有较强的随机性。但一般情况下，在一定时期内这些随机因素对通行能力的干扰作用较为持久与稳定。 4（3）短时影响（或干扰），如事故、灾害、修路、外宾来访及恶劣天气的发生，这类干扰不经常出现，但这类干扰一旦发生，对通行能力的影响往往较大，有时

8、甚至导致全段阻塞并波及到相邻道路。这些偶发事件均带有强烈的随机性。 在多个持久随机因素干扰下，可将道路的实际通行能力视为正态随机变量。按常规方法计算所得的通行能力可视为随机通行能力分布函数的均值。当同等级（即对通行能力影响相近）偶发事件发生时，道路通行能力经折减后也可近似视为正态随机变量。 14.3.1 交通需求的随机性分析交通需求一般是通过分配到各路段或路口的交通流量来体现的，交通需求的随机性主要是由于人们在是否出行、出行目的选择、出行方式选择及出行路径选择中的随机性造成的。一般情况下，根据交通需求作用时间长短，可分为以下两种需求：（1）持久需求，即在正常需求下，分配在各路段路口的流量，对一

9、路网结构相对稳定，经济发展也相对稳定的城市，该流量在一定的时期一定的时段内可能是近似稳定的，但各个时段的量值可能不等，如某路段在一段时期工作日或周末的同一高峰期流量基本稳定，但同一天内不同时段的流量及工作日与周末同一时段的流量有较大变化。 （2）短时需求，如当异常事件发生时，会产生异常交通需求，如地震发生时，救援车辆异常增加，破坏发生处及消防站、医院、指挥中心等处会产生超强交通吸引力。加之人员的盲目流动，会造成某些路段交通流量骤增。而其他重大事件如全国性及国际性的会议召开也会产生类似情况。这类需求不经常出现，即使出现时间也不长，往往几天或一个月左右。 对相同条件（同为工作日或周日，相同时段下）

10、的同一道路上的流量进行统计，发现该量值为一随机变量，计为 V，在拥挤较少发生的路段，一般近似呈标准正态分布，在拥挤较多发生的路段，一般呈偏态分布。导致偏态分布的原因主要是因交通阻塞的发生，车速变缓，从而在低流量区域包含了车辆较少及车辆过多两种情况的发生。因在进行交通系统运行可靠性分析时，要预测导致阻塞发生的道路需求极限，故可将交通需求（流量）视为正态分布的随机变量。通过路网流量分配所得的路段及路口流量可视为随机流量分布函数的中值。14.3.2 道路可靠的功能要求 1 ）道路系统运行可靠的基本功能要求道路系统运行可靠，必须满足以下基本功能要求： （1）车辆在各等级道路上能达到某级服务水平或保持规

11、定速度行驶；（2）在偶然事件发生（事故、自然灾害等）时及发生后，仍能保持必须的运行稳定性；事故排除时间在容许时间内； 5（3）系统事故率及相应人员伤亡与经济损失在一定限度内。第（1）条 为系统畅通性要求，第（ 2）条为系统稳定性要求，第（3 ）条为系统安全性要求。若道路或系统同时满足畅通性、稳定性及安全性要求，即称该道路或路网系统运行可靠。本文主要以畅通性及稳定性作为道路运行可靠的基本要求， 研究道路运行可靠性的问题。为简单起见，假设单元只有畅通与阻塞两个状态。当车速达到设计车速以上时，即可认为道路畅通可靠，否则即认为道路阻塞。 2 ）道路单元的功能函数 一般情况下，可以将 影响道路畅通可靠性

12、的因素归纳为两个综合量，即通行能力 C 与需求流量 V。此 处通行能力即满足预定设计速度即畅通要求的通行能力。 令 Z=g(C-V)=C-V （1 ） 因实际交通中道路的通行能力 C 与需求流量 V 均为随机变量，因此，Z 也是一个随机变量，总可以出现下列三种情况：Z0 路段畅通 Z0是对立的，因此可靠度 与阻塞概率 有下列关系（6）即由失效概率可确定可靠度。由于阻塞或失效一般为小概率事件，其把握更为直观，因此交通系统的可靠度分析一般计算阻塞或失效概率。图 1 阴影区域面积即阻塞概率。左边曲线为交通流需求的分布密度函数，右边曲线为道路通行能力的分布密度函数。图 1 具有随机需求及通行能力的畅通

13、可靠度当在道路正常使用条件下，即不考虑事故、灾害等异常事件的发生，仅考虑自行车等持久干扰下，若已知通行能力 C 和流量需求 V 的概率分布密度函数分别为 及 ，且 C 和 V 相互独立，则（7）此时，道路阻塞概率（8）上式如先对 C 积分再对 V 积分，成为（9）如先对 V 积分再对 C 积分，成为（10）7式中， 分别为随机变量 C 和 V 的概率分布函数。由于通行能力 C 和流量需求 V 均为随机变量，因此绝对畅通可靠的道路是不存在的。从概率的观点，道路规划及管理的目标就是保障道路畅通可靠度足够大或阻塞概率足够小，达到人们可以接受的程度。在道路正常使用条件下，可假设在道路功能函数 Z=C-

14、V 中，C 和 V 为两个相互独立的正态随机变量，他们的均方差和方差分别为 及 。由概率论知识，此时 Z也为正态随机变量，其均值 及方差 可按下列公式计算（11）（12）则道路阻塞概率为（13）令 （14）（15）则 （16）其中，Y 为标准正态分布， 为标准正态分布函数。一般来说，根据各类道路运行状态对系统的影响，可采用不同的设计速度及目标可靠度。对于重要干道如城市环线及主干道，设计目标可靠度可定得高一些。而对于次要的干道或支路，设计目标可靠度可定得低一些。对不满足要求的，根据目标可靠度，可进行供需调整。14.3.4 考虑偶发事件发生时的道路阻塞概率分析当受到事故、恶劣天气、外宾来访及灾害等

15、偶发事件影响时，可将每类偶发事件对通行能力的影响按程度划分为不同的等级，各等级的影响对应着不同的通行能力折减程度。在事故发生情况下，道路阻塞的概率为（17）8式中， 表示事故发生情况下，道路的阻塞概率。 为道路阻塞这一事件， 为根据通行能力折减确定的事故等级，n 为事故等级的分类值， 为评估期内， 级事故发生情况下，道路发生阻塞的概率，可根据折减后的通行能力，利用公式（16）计算。为评估期内，在确定事故发生条件下，发生 级事故的概率，一般可由以往各路段或路口事故率统计得出。由此，考虑事故、恶劣天气等偶发事件的可能发生条件下的道路日常阻塞概率可按下式求得：（18）式中，U 为无偶发事件发生时道路

16、正常的使用条件， 为道路正常使用条件下阻塞发生的概率，可按无折减的通行能力由式（16）计算。PU为道路无偶发事件发生的概率，可由下式得出： （19）T 表示恶劣天气这一偶发事件， 代表恶劣天气的等级，K 表示恶劣等级的分类值，其它符号同上。例如，某道路,正常情况下的实际通行能力在 2800 辆/时左右波动，其变化幅度为30%，平均流量为 2000 辆/时，其变化幅度为 50%。当有国家重要来宾时，为保证来宾的车辆行使顺畅，需要清空车道，清空车道的条数根据来宾的重要程度而有所不同，假设来宾的重要程度分为一级、二级、三级，根据统计来宾一、二、三级的概率分别为0.05、0.20、0.75、由于清空车

17、道造成了对通行能力的影响，假设有一级来宾时，通行能力比正常通行能力折减 75%，二级来宾时，通行能力折减 50%，三级来宾时，通行能力折减25%，则可根据公式（17）计算当有来宾时该道路的阻塞概率，如下：转贴于14.3.5 结论随着人们对优质和可靠服务需求的增加，许多系统如，电力系统，水分配系统，通讯系统等已经把可靠性分析作为一个整体的部分纳入到他们的计划、设计、实施中。然而，尽管可靠性分析很重要，但对路网运行可靠性的研究很少，本文考虑交通系统供需的随机性，如出行选择对需求的影响，以及自行车等经常性干扰与事故、恶劣天气等偶发事件对通行能力的影响，借助可靠性理论，通过阻塞概率的评估，进行了交通系

18、统运行状态的可靠性分析。 914.4 马尔可夫链应用假设随机变量列 Xn（n=1，2，）, Xn1 ，2，3 ，.,m.如果，)|(),.|( 1111 nnn iXiPiiiiP 则我们说X n为马 尔可夫链，简称为马氏链。记 ，那么|jpijXn有 确定。习惯上记ijp，mmmppP 212112并称之为转移矩阵。马尔可夫链是一个离散时间的随机模型，我们先给一个例子。一个宠物商店出售 20 加仑的水族箱。每个周末商店的老板要 盘存存货，开出定单。商店的策略是，如果当前所有的存货都被售出了就在这个周末进三个新的 20 加仑的水族箱。如果只要在店内还保存有一个存货，就不在进新的水箱。这个策略是

19、基于商店平均每周仅售出一个水族箱的事实提出的。这个策略是否能够保证防止当商店缺货时顾客需要水族箱而无货销售的损失？设是 Xn是第 n 周之初水族箱的供应数；Dn是第 n 周水族箱的需求数；规定，如果 Dn-1Xn-1，则 Xn=Xn-1 - Dn-1，如果 Dn-1Xn-1，则 Xn=3。 ,.320,!)(kePnPoisson 分布，求 。)(n由条件知，X n1，2，3 .如果 Xn=1 时 Xn+1=1，2 或 3 以等概率出现。如果 Xn=2 时Xn+1=1，以概率 0.7 出现, Xn+1=2，以概率 0.3 出现。如果 Xn=3 时 Xn+1=1，以概率 1 出现,那么, , ,

20、 , , , .1321p7.021.2p02331p0323p所以。013.7P10有 Bayes 公式可知，)3()|1()2()|1( ) 1212 XPXPXP= = ，37.0396，)(2。XP1一般情况下 。当令 ，有)()(1iXPpjnijn )()iXPinn。)()(1jnijn又令 ，那么有 。例如,.2mnnn Pn1，)91,06()3,(01.73当精确到第 3 位小数时，我们有：，)62.,4859.0(4173).,.(68026547)1.,.(859)84.0,2635.(101).,.(12直观上看， 随着 n 的增加趋向于确定的极限值。我们说随机过程趋近于)(iXPinn