2018高考全国2卷理科数学带答案.doc

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1、理科数学试题 第 1 页（共 11 页）绝密启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试 2 卷理科数学本试卷共 23 题，共 150 分，共 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在 条形码区域内。 2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 05 毫米黑色字迹的签 字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。 4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱

2、，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。112i 12iABCD43i5543i5534i5534i552已知集合，则中元素的个数为22( , )|3,Ax yxyxyZZAA9B8C5D43函数的图象大致为2ee( )xx f xx4已知向量，满足，则ab|1a1 a b(2)aabA4B3C2D05双曲线的离心率为，则其渐近线方程为22221(0,0)xyabab3ABCD2yx 3yx 2 2yx 3 2yx 6在中，则ABC5cos25C1BC 5AC AB ABCD4 2

3、30292 5理科数学试题 第 2 页（共 11 页）7为计算，设计了右侧的11111123499100S 程序框图，则在空白框中应填入A1ii B2ii C3ii D4ii 8我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如在不超过 30 的素数中，30723随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是ABCD1 121 141 151 189在长方体中，则异面直线与所成角1111ABCDABC D1ABBC13AA 1AD1DB的余弦值为ABCD1 55 65 52 2 10若在是减函数，则的最大值是( )coss

4、inf xxx, a aaABCD 4 23 411已知是定义域为的奇函数，满足若，( )f x(,) (1)(1)fxfx(1)2f则(1)(2)(3)(50)ffff AB0C2D505012已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在1F2F22221(0)xyCabab：ACP过且斜率为的直线上，为等腰三角形，则的离心率A3 612PFF12120FF PC为ABCD2 31 21 31 4 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13曲线在点处的切线方程为_2ln(1)yx(0,0)14若满足约束条件则的最大值为_, x y250, 230, 50,xy xy x

5、 zxy15已知，则_sincos1cossin0sin()开始0,0NTSNTS输出1i 100i 1NNi1 1TTi结束是否理科数学试题 第 3 页（共 11 页）16已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为SSASB7 8SA45，若的面积为，则该圆锥的侧面积为_SAB5 15三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题。考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17 （12 分）记为等差数列的前项和，已知，nSnan17a 315S （1）求的通项公式；na（2）求

6、，并求的最小值nSnS18 （12 分）下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图y为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量 的两个线性回yt归模型根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为）建立模型：t1, 2,17；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为）建立30.413.5yt t1, 2,7模型：9917.5yt（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由19 （12 分）设抛物线的焦点为，过

7、且斜率为的直线 与交于，两点，24Cyx：FF(0)k k lCAB|8AB （1）求 的方程；l（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程ABC20 （12 分）如图，在三棱锥中，PABC2 2ABBCPAOCBM理科数学试题 第 4 页（共 11 页），为的中点4PAPBPCACOAC（1）证明：平面；PO ABC（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的MBCMPAC30PCPAM正弦值21 （12 分）已知函数2( )exf xax（1）若，证明：当时，；1a 0x( )1f x （2）若在只有一个零点，求( )f x(0,)a（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任

8、选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数） ，直线 的参数方xOyC2cos ,4sin ,xy l程为（ 为参数） 1cos ,2sin ,xtyt t（1）求和 的直角坐标方程；Cl（2）若曲线截直线 所得线段的中点坐标为，求 的斜率Cl(1, 2)l23选修 45：不等式选讲（10 分）设函数( )5|2|f xxax（1）当时，求不等式的解集；1a ( )0f x （2）若，求的取值范围( )1f x a绝密绝密启用前启用前理科数学试题 第 5 页（共 11 页）2018 年普通高等学校招生全国统一

9、考试理科数学试题参考答案一、选择题1D2A3B4B5A6A7B8C9C10A11C12D二、填空题132yx149151 21640 2三、解答题17解：（1）设na的公差为 d，由题意得13315ad 由17a 得 d=2所以na的通项公式为29nan（2）由（1）得228(4)16nSnnn所以当 n=4 时，nS取得最小值，最小值为1618解：（1）利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为30.4 13.5 19226.1y (亿元)利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为99 17.5 9256.5y (亿元)（2）利用模型得到的预测值更可靠理由

10、如下：（）从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线30.4 13.5yt 上下这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性理科数学试题 第 6 页（共 11 页）模型99 17.5yt可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型

11、得到的预测值更可靠（）从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型得到的预测值 2261 亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理说明利用模型得到的预测值更可靠以上给出了 2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分19解：（1）由题意得(1,0)F，l 的方程为(1)(0)yk xk设1221( ,), (,)AyxyxB，由2(1),4yk xyx 得2222(24)0k xkxk216160k ，故122224 kxkx所以122244| | (1)(1)xkABAFBFkx由题设知22448k k，解得1k （舍去） ，1k 因

12、此 l 的方程为1yx（2）由（1）得 AB 的中点坐标为(3,2)，所以 AB 的垂直平分线方程为2(3)yx ，即5yx 设所求圆的圆心坐标为00(,)xy，则002 200 05,(1)(1)16.2yxyxx 解得003,2xy 或0011,6.xy 因此所求圆的方程为22(3)(2)16xy或22(11)(6)144xy20解：（1）因为4APCPAC，O为AC的中点，所以OPAC，且2 3OP 理科数学试题 第 7 页（共 11 页）连结OB因为2 2ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，122OBAC由222OPOBPB知POOB由,OPOB OPAC知PO 平面

13、ABC（2）如图，以O为坐标原点，OBuu u r 的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz由已知得(0,0,0), (2,0,0), (0, 2,0),(0,2,0), (0,0,2 3),(0,2,2 3),OBACPAPuu u r 取平面PAC的法向量(2,0,0)OB uu u r 设( ,2,0)(02)M aaa，则( ,4,0)AMaauuur 设平面PAM的法向量为( , , )x y zn由0,0APAMuu u ruuur nn得22 30 (4)0yz axa y，可取( 3(4), 3 ,)aaan，所以 2222 3(4)cos, 2 3(4)3aOB aaa

14、 uu u r n由已知得3|cos,|2OBuu u r n所以 2222 3 |4|3=22 3(4)3aaaa解得4a （舍去） ，4 3a 所以8 3 4 34(,)333 n又(0,2, 2 3)PC uu u r ，所以3cos,4PCuu u r n所以PC与平面PAM所成角的正弦值为3 4理科数学试题 第 8 页（共 11 页）21解：（1）当1a 时，( )1f x 等价于2(1)e10xx 设函数2( )(1)e1xg xx，则22( )(21)e(1) exxg xxxx 当1x 时，( )0g x ，所以( )g x在(0,)单调递减而(0)0g，故当0x 时，( )0

15、g x ，即( )1f x （2）设函数2( )1exh xax ( )f x在(0,)只有一个零点当且仅当( )h x在(0,)只有一个零点（i）当0a 时，( )0h x ，( )h x没有零点；（ii）当0a 时，( )(2)exh xax x当(0,2)x时，( )0h x ；当(2,)x时，( )0h x 所以( )h x在(0,2)单调递减，在(2,)单调递增故24(2)1eah 是( )h x在0,)的最小值理科数学试题 第 9 页（共 11 页）若(2)0h，即2e 4a ，( )h x在(0,)没有零点；若(2)0h，即2e 4a ，( )h x在(0,)只有一个零点；若(2

16、)0h，即2e 4a ，由于(0)1h，所以( )h x在(0,2)有一个零点，由（1）知，当0x 时，2exx，所以33342241616161(4 )11110e(e )(2 )aaaaahaaa 故( )h x在(2,4 )a有一个零点，因此( )h x在(0,)有两个零点综上，( )f x在(0,)只有一个零点时，2e 4a 22 解：（1）曲线C的直角坐标方程为22 1416xy 当cos0时，l的直角坐标方程为tan2tanyx，当cos0时，l的直角坐标方程为1x （2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程22(1 3cos)4(2cossin)80tt因为曲线

17、C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为1t，2t，则120tt又由得1224(2cossin) 1 3costt ，故2cossin0，于是直线l的斜率tan2k 23解：理科数学试题 第 10 页（共 11 页）（1）当1a 时，24,1,( )2, 12,26,2.xxf xxxx 可得( )0f x 的解集为 | 23xx （2）( )1f x 等价于|2| 4xax而|2| |2|xaxa，且当2x 时等号成立故( )1f x 等价于|2| 4a由|2| 4a可得6a 或2a ，所以a的取值范围是(, 62,) 21（12 分）已知函数2( )exf xax（1）

18、若1a ，证明：当0x 时，( )1f x ；（2）若( )f x在(0,)只有一个零点，求a解：（1）( )e2xfxx，( )e2xfx当ln2x 时，( )0fx，当ln2x 时，( )0fx，所以( )fx在(,ln2)单调递减，在(ln2,)单调递增，故( )(ln2)22ln20fxf，( )f x在(,) 单调递增因为0x ，所以( )(0)1f xf（2）当0x 时，设2e( )x g xax，则2( )( )f xx g x，( )f x在(0,)只有一个零点等价于( )g x在(0,)只有一个零点3e (2)( )xxg xx，当02x时，( )0g x，当2x 时，( )0g x，所以( )g x在(0,2)单调递减，在(2,)单调递增，故2e( )(2)4g xga若2e 4a ，则( )0g x ，( )g x在(0,)没有零点若2e 4a ，则( )0g x ，( )g x在(0,)有唯一零点2x 理科数学试题 第 11 页（共 11 页）若2e 4a ，因为(2)0g，由（1）知当0x 时，2e1xx，22e1( )1x g xaaxx ，故存在11(0,)(0,2)1xa，使1()0g x4422ee(4 )1616aa gaaaaa2exx，