多元微分偏导微分ppt课件.ppt

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1、复数复习复数复习一一.复数内容复数内容:1.域的扩充域的扩充2.复数的定义复数的定义,复数域复数域3.复数实部复数实部,虚部虚部,模模,共轭复数共轭复数4.复数的四种表示复数的四种表示5.复数的运算复数的运算(四则运算，复数的方根四则运算，复数的方根)6.圆的复数方程圆的复数方程fGxoy通过映射通过映射上的平面区域上的平面区域复平面复平面二二.复变函数复变函数1.复变定义复变定义2.复变函数几何意义复变函数几何意义*Guov上的区域上的区域变成了复平面变成了复平面下的象下的象讨论下列曲线在讨论下列曲线在例例2)(.zzfw 21222 ,)1(cxycyx 2)Re(1)2( z多元函数微分

2、学多元函数微分学习题课习题课内容小结内容小结1. 偏导数的概念及有关结论 定义; 记号; 几何意义 函数在一点偏导数存在函数在此点连续 混合偏导数连续与求导顺序无关2. 偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义 求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)内容小结内容小结3. 微分定义:),(yxfz zyyxfxyxfyx),(),(zdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx4. 重要关系:)( o函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续方向导数存在内容小结内容小结5. 复合函数求导的链式法则复合函数

3、求导的链式法则例如例如, ),(, ),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f26. 全微分形式不变性全微分形式不变性, ),(vufz 对对不论不论 u , v 是自变量还是因变量是自变量还是因变量,vvufuvufzvud),(d),(d内容小结内容小结1. 隐函数存在定理隐函数存在定理2. 隐函数隐函数 ( 组组) 求导方法求导方法方法方法1. 利用复合函数求导法则直接计算利用复合函数求导法则直接计算 ;方法方法2. 代公式代公式思考与练习思考与练习设设, ),(zyxzyxfz 求求.,yxzxxz 函数),(yxfz 在),(00yx可微的充分条件是( );)

4、,(),()(00连续在yxyxfA),(),(, ),()(00yxyxfyxfByx在的某邻域内存在 ;yyxfxyxfzCyx),(),()(0)()(22yx当时是无穷小量 ;22)()(),(),()(yxyyxfxyxfzDyx0)()(22yx当时是无穷小量 .1. D一一. .选择题选择题2.3.4.5.二二. .偏导偏导, ,全微分问题全微分问题234.222,xzyxz56,)(xuuf7. 设, )(ufz 方程)(uuxytdtp )(确定 u 是 x , y 的函数 ,)(, )(可微其中uuf)(),(utp连续, 且, 1)( u求.)()(yzxpxzyp解解:

5、xzyuufyz)(xuuxu)()(xpyuuyu)()(ypxu)(1)(uxpyu)(1)(uyp)(uf yzxpxzyp)()(yuxpxuyp)()(0内容小结内容小结1. 方向导数方向导数 三元函数 ),(zyxf在点),(zyxP沿方向 l (方向角),为的方向导数为coscoscoszfyfxflf 二元函数 ),(yxf在点),(yxP),的方向导数为coscosyfxflf沿方向 l (方向角为yfxfcossin2. 梯度梯度 三元函数 ),(zyxf在点),(zyxP处的梯度为zfyfxff,grad 二元函数 ),(yxf在点),(yxP处的梯度为),(, ),(g

6、radyxfyxffyx 函数在某点处方向导数的最大，最小值问题 1三三. .方向导数方向导数, ,梯度问题梯度问题3最小，最小值为最小，最小值为41. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 切线方程 000zzyyxx法平面方程)(00 xxt1) 参数式情况.)()()(:tztytx空间光滑曲线切向量内容小结内容小结)(0t)(0t)(0t)( )(00yyt0)(00zzt)(, )(, )(000tttT空间光滑曲面0),(:zyxF曲面 在点法线方程法线方程),(0000zyxFxxx),(0000zyxFyyy),(0000zyxFzzz)( ),()( ),(00000

7、000yyzyxFxxzyxFyx1) 隐式情况 .的法向量法向量),(000zyxM0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程2. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx空间光滑曲面),(:yxfz )( ),()( ),(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面方程切平面方程法线方程法线方程1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx2) 显式情况.法向量法向量) 1 ,(yxffn1 1.在几何中的在几何中的应用应用求曲线在切线及法平面求曲线在切线及法平面 (关键关键: 抓住切向量抓住

8、切向量) 求曲面的切平面及法线求曲面的切平面及法线 (关键关键: 抓住法向量抓住法向量) 2. 极值与最值问题极值与最值问题 极值的必要条件与充分条件极值的必要条件与充分条件 求条件极值的方法求条件极值的方法 (消元法消元法, 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法) 求解最值问题求解最值问题(求区域内部的驻点和边界上求区域内部的驻点和边界上可能的极值点可能的极值点)多元函数微分法的应用多元函数微分法的应用1四四. . 几何应用问题几何应用问题43五五. .多元极值应用多元极值应用1.2.22yxz求旋转抛物面与平面之间的最短距离.解：解：2261zyxd设为抛物面上任一点， 则 P ),(zyxP22

9、yxz的距离为022zyx问题归结为22)22(zyxd约束条件:022zyx目标函数:22 zyx作拉氏函数)()22(),(222yxzzyxzyxF到平面3.)()22(),(222yxzzyxzyxF.81,41,41zyx令22yxz解此方程组得唯一驻点02)22(2yzyxFy0)2)(22(2zyxFz02)22(2xzyxFx由实际意义最小值存在 ,241414161mind647故为边的面积最大的四边形为边的面积最大的四边形 ,试列出其目标函数和约束条件试列出其目标函数和约束条件 ?提示提示: sin21sin21dcbaS)0,0(目标函数目标函数 :cos2cos2222

10、2dcdcbaba约束条件约束条件 :dcba,abcd答案答案:,即四边形内接于圆时面积最大即四边形内接于圆时面积最大 .4. . 求平面上以求平面上以5. 5. 求半径为求半径为R 的圆的内接三角形中的圆的内接三角形中面积最大者面积最大者. .zyx解解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x , y , z ,则,2zyxzyx所对应的三角形面积为)sinsin(sin212zyxRS0,0,0zyx设拉氏函数)2(sinsinsinzyxzyxF解方程组0cosx, 得32zyx故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为 32sin322maxRS.4332R0cosy0cosz02zyx已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),试在椭圆圆周上求一点 C, 使ABC 面积 S最大.CBAoyxED)0, 0(14922yxyx6.