解直角三角形及其应用ppt课件.pptx

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1、第三单元 解直角三角形第 37 讲解直角三角形及其应用内容索引备考基础 温故知新，明确考向重点突破 分类讲练，以例求法易错防范 辨析错因，提升考能备考基础返回 考点梳理解直角三角形解直角三角形1.直角三角形中的边角关系：直角三角形中的边角关系：如图，在RtABC中，C90， A，B，C所对的边分别为a，b，c，则： (1)三边的关系：a2b2c2. (2)角的关系：AB90. (3)边角关系：sinAcosB ， cosAsinB ，tanA .2.解直角三角形：解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所 有未知元素的过程，叫做解直角三角形特别提醒特别提醒在直角三角形ABC中，C9

2、0，那么A，B，C，a，b，c中，除C90外，其余5个元素，只要知道其中的2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余3个未知数.在解直角三角形实际应用中的常用知识在解直角三角形实际应用中的常用知识1.仰角与俯角：仰角与俯角：从下向上观察物体时，视线与水平线所成的角叫做仰角； 从上向下观察物体时，视线与水平线所成的角叫做俯角2.坡度与坡角：坡度与坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，坡面的铅直高度h和水 平宽度l的比叫做坡度(坡比)，用字母i表示，即i ，坡度一般写成 1m的形式3.方向角：方向角：在平面上，过观测点O作一条水平线(向右为东)和一条铅垂 线(向上为北)，则从O点出发的视线与铅垂线所夹

3、的锐角，叫做观测 的方向角如图，OA，OB，OC，OD的方向角分别是：北偏东30， 南偏东45(东南方向)，南偏西80，北偏西60.特别提醒特别提醒解直角三角形在实际中有广泛的应用，主要涉及测量、航空、航海、工程等领域，常作为习题出现的有以下几个方面：度量工作、工程建筑、测量距离等.解这类问题的一般步骤是：(1)弄清题中名词术语的意义，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型；(2)将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，当有些图形不是直角三角形时，可添加适当的辅助线，把它们分割成直角三角形；(3)寻求基础直角三角形，并解这个三角形，或设未知数进行求解.基础诊断1.如图，为测量一

4、棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米 的B处，测得树顶A的仰角ABO为，则树OA的高度为() A. 米 B.30sin米 C.30tan米 D.30cos米C2.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1 ，堤坝高BC50m， 则迎水坡面AB的长度是() A.100m B.100 m C.150m D.50 mA3.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA4km，某船从港口A出发，沿 北偏东15方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船 位于北偏东60的方向，则该船航行的距离(即AB的长)为() A.4km B.2 km C.2 km D.( 1)kmC解解如图，过点A作A

5、DOB于D.在RtAOD中，AOD30，OA4，AD OA2.在RtADB中，BCABAOB753045，BDAD2，AB AD2 (km)4.如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30的斜坡AB到达山顶B，如果 AB2000米，则他实际上升了_米10005.如图，小明在窗台C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45，测得大树 AB的底部B的俯角为30，已知窗台C处离地面的距离CD为5m，则大 树的高度为_m(结果保留根号)解解如图，作CEAB于E，CD5，BECD5，在RtCBE中，返回重点突破返回类型一解直角三角形点拨点拨根据同角的余角相等得CADBCD，解直角三角形即可求解【例【例1】(2017

6、益阳)如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，CAB，则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)()答案点拨解类型一解直角三角形点拨点拨根据同角的余角相等得CADBCD，解直角三角形即可求解【例【例1】(2017益阳)如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，CAB，则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)()B答案点拨解【变式【变式1】(2017兰州)如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于()答案解解解如图，在RtABC中，【变式【变式1】(2017兰州)如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的

7、距离为50m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于()答案解C解题要领解题要领解直角三角形可用两锐角之间的关系、三边之间的关系、边角之间的关系(锐角三角函数的定义).解题时，还常常用到“同(等)角的余角相等”，及面积关系S ab ch等结论，是对以前所学的有关三角形知识的“大汇总”.类型二利用解直角三角形测量物体高度(或宽度)【例【例2】(2017潍坊)如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等测角仪支架离地1.5米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60，在B处测得四楼顶点E的仰角为30，AB14米求居民楼的高度(精确到0.1米，参

8、考数据： 1.73)解点拨点拨点拨设每层楼高为x米，在RtDCA中，利用锐角三角函数定义表示出CA，同理表示出CB，由CBCA求出AB的长即可求解解解设每层楼高为x米，由题意得：MCMCCC2.51.51，DC5x1，EC4x1，在RtDCA中，DAC60，【变式【变式2】(2017义乌)如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18，教学楼底部B的俯角为20，量得实验楼与教学楼之间的距离AB30m.(1)求BCD的度数解解过点C作CEBD，由题意得：DCE18，BCE20，BCDDCEBCE182038.解(2)求教学楼的高BD.(结果精确到0.1m，参

9、考数据：tan200.36，tan180.32)解解由题意得：CEAB30，在RtCBE中，BECEtan2010.80，在RtCDE中，DECEtan189.60，教学楼的高BDBEDE10.809.6020.4(m)， 即教学楼的高约为20.4m.解解题要领解题要领弄清题中名词术语的含意，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型，寻求或构造基础直角三角形，并解这个三角形或设未知数进行求解.类型三利用解直角三角形解决航海问题【例【例3】(2017乌鲁木齐)一艘渔船位于港口A的北偏东60方向，距离港口20海里B处，它沿北偏西37方向航行至C处突然出现故障，在C处等待救援，B，C之间的距离为10海

10、里，救援船从港口A出发20分钟到达C处，求救援艇的航行速度(sin370.6，cos370.8， 1.732，结果取整数)解答点拨点拨点拨过A，C各作一条水平线，过B作一条铅垂线，构造直角三角形，再根据勾股定理、三角函数及“路程时间速度”求解即可解解作辅助线如图所示，BDAD，BECE，CFAF，由题意知，FAB60，CBE37，BAD30，AB20，BD10，在RtABD中，【变式【变式3】(2017天水)一艘轮船位于灯塔P南偏西60方向的A处，它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45方向上的B处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔P的最短距离(结果保留根号)解答解解作PCAB的延

11、长线于点C，由题意可知，APC60，BPC45，AB20，在RtPBC中，则PCx，则BCx，ACABBC20 x， 在RtPAC中，APC60，解题要领解题要领这类问题实质上是求三角形中未知的边与角，应从实际问题中抽象出数学模型直角三角形，再求解.类型四利用解直角三角形解决坡度问题【例【例4】(2017黔东南)如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角为60，根据有关部门的规定，39时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数)(参考数据：sin390

12、.63，cos390.78，tan390.81， 1.41， 1.73， 2.24)解答点拨点拨点拨假设点D移到D的位置时，恰好39，作辅助线，根据锐角三角函数的定义求解即可解解假设点D移到D的位置时，恰好39，过点D作DEAC于点E，作DEAC于点E，在RtDCE中，CD12，DCE60，【变式【变式4】(2017荆州)如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方2 米处的点C出发，沿斜面坡度i1 的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37，量得仪器的高DE为1.5米已知A、B、C、D、E在同一平面内，ABBC，ABDE.求旗杆AB的高度(参考数

13、据：sin37 ，cos37 ，tan37 .计算结果保留根号)解答解解如图，延长ED交BC的延长线于点F，解题要领解题要领这类问题的实质是梯形的计算问题，常常将其转化为直角三角形进行求解.返回易错防范返回易错警示系列 37添加辅助线，构造解直角三角形模型正确解答分析与反思剖析错误答案展示错误答案展示不能添加辅助线将斜三角形的问题转化为解直角三 角形的数学模型，从而无从下手试题试题如图，AD是BC边上的高，ADDCBD123，求 BAC的度数剖析剖析延长BA，过C作CEAB，只要求BAC的外角即可正确解答正确解答解：过C作CEBA，交BA的延长线于点E.返回分析与反思分析与反思如果题目中的条件比较分散，所给的图形不够完整，我们可以通过作垂线、作平行线等添辅助线的方法，将斜三角形的问题转化为解直角三角形的数学模型(化斜为直的思想)，把分散的条件集中起来，构造直角三角形、相似三角形，以达到解题目的更多精彩内容请登录：