高数第十二章(3)幂级数ppt课件.ppt

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1、第三节一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算三、幂级数的运算 幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十二章 一、一、 函数项级数的概念函数项级数的概念设121)()()()(nnnxuxuxuxu为定义在区间 I 上的函数项级数函数项级数 .对, I0 x若常数项级数10)(nnxu敛点敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域收敛域 ;若常数项级数10)(nnxu为定义在区间 I 上的函数, 称收敛,发散 ,所有0 x称为其收收 0 x称为其发散点发散点, ),2, 1()(nxun发散点的全体称为其发散域发散域 .机动 目录

2、上页 下页 返回 结束 , )(xS为级数的和函数和函数 , 并写成)()(1xuxSnn若用)(xSn)()(1xuxSnkkn令余项)()()(xSxSxrnn则在收敛域上有, )()(limxSxSnn0)(limxrnn表示函数项级数前 n 项的和, 即在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如, 等比级数它的收敛域是, )1,1(,11,(），及nnnxxxx201xxnn110它的发散域是或写作.1x又如又如, 级数, )0(02xnxxnnn,)(limxunn级数发散 ;所以级数的收敛域仅为. 1x,)1,1(时当x有和函数 ,

3、1时收敛当x,10时但当 x机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 形如00)(nnnxxa202010)()(xxaxxaa的函数项级数称为幂级数幂级数, 其中数列), 1 , 0(nan下面着重讨论00 x0nnnxannxaxaxaa2210例如, 幂级数1,110 xxxnn为幂级数的系数系数 .即是此种情形.的情形, 即nnxxa)(0称 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ox发 散发 散收 敛收敛 发散定理定理 1. ( Abel定理定理 ) 若幂级数0nnnxa,0点收敛在xx 则对满足不等式0 xx 的一切 x 幂级数都绝对收敛.反之,

4、若当0 xx 0 xx 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式证证: 设00nnnxa, 0lim0nnnxa收敛, 则必有),2, 1(0nMxann于是存在常数 M 0, 使阿贝尔 目录 上页 下页 返回 结束 当 时, 0 xx 00nnxxM收敛,0nnnxa故原幂级数绝对收敛 .也收敛,反之, 若当0 xx 时该幂级数发散 ,下面用反证法证之.假设有一点1x01xx0 x满足不等式0 xx 所以若当0 xx 满足且使级数收敛 ,面的证明可知, 级数在点故假设不真. 的 x , 原幂级数也发散 . 时幂级数发散 , 则对一切则由前也应收敛, 与所设矛盾,

5、nnnnnnxxxaxa00nnnxxxa00nxxM0证毕机动 目录 上页 下页 返回 结束 幂级数在 (, +) 收敛 ;由Abel 定理可以看出, 0nnnxa中心的区间. 用R 表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为则R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ;R = 时,0 R幂级数在 (R , R ) 收敛 ;(R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域收敛域.R 称为收敛半径收敛半径 ， 在R , R 可能收敛也可能发散 .Rx外发散; 在(R , R ) 称为收敛区间收敛区间.ox发 散发 散收 敛收敛 发散机动 目录 上页 下页 返回 结束 xaaxaxannn

6、nnnnn111limlim定理定理2. 若0nnnxa的系数满足,lim1nnnaa;1R;R.0R证证:1) 若 0,则根据比值审敛法可知:当,1x原级数收敛;当,1x原级数发散.x即1x时,1) 当 0 时,2) 当 0 时,3) 当 时,即时,则 1x机动 目录 上页 下页 返回 结束 (或或 nnnalim)2) 若, 0则根据比值审敛法可知,;R绝对收敛 ,3) 若,则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 ,.0R对任意 x 原级数因此因此 0nnnxa的收敛半径为说明说明: :据此定理1limnnnaaR因此级数的收敛半径.1R机动 目录 上页 下页 返回 结束 对端点 x

7、 =1, 1limnnnaaRnxxxxnn 132) 1(32的收敛半径及收敛域.解解:11nn11对端点 x = 1, 级数为交错级数,1) 1(11nnn收敛; 级数为,11nn发散 . . 1, 1(故收敛域为例例1 1.求幂级数 limn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求下列幂级数的收敛域 :.!)2(;!1) 1 (00nnnnxnxn解解: (1) limlim1nnnnaaR!1n) 1(limnn所以收敛域为. ),(2) limlim1nnnnaaR!n!) 1( n11limnn0所以级数仅在 x = 0 处收敛 .规定: 0 ! = 1! ) 1(1n机

8、动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.nnxnn202) !(! )2(求幂级数的收敛半径 .解解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径. lim)()(lim1nnnnxuxu2!) 1( ! ) 1(2nn2!2nn22)1()22( )12(limxnnnn24x142x当时级数收敛时级数发散 故收敛半径为 .21R21x即142x当21x即) 1(2nxnx2故直接由机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.12) 1(nnnnx求幂级数的收敛域.解解: 令 ,1 xt级数变为nnntn121nnnnaaRlimlim1nn21) 1(211nnnnnnn

9、2) 1(2lim12当 t = 2 时, 级数为,11nn此级数发散;当 t = 2 时, 级数为,) 1(1nnn此级数条件收敛;因此级数的收敛域为,22t故原级数的收敛域为,212x即.31x机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 求幂级数nnnnx02) 1(2解解:定理 2的条件不满足,故不能直接应用定理2。考虑用根值求法：的收敛半径.|1limnnnaR从而nnnnR2) 1(21lim2说明说明: 可以证明比值判别法成立根值判别法成立例例2 2 求下列幂级数的收敛区间求下列幂级数的收敛区间:解解)1(nnnaa1lim 1lim nnn1

10、 1 R,1时时当当 x,1时时当当 x,)1(1 nnn级级数数为为,11 nn级级数数为为该级数收敛该级数收敛该级数发散该级数发散;)1()1(1nxnnn ;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnx.)21(2)1()4(1nnnnxn 故收敛区间是故收敛区间是1 , 1( .nnna limnn lim, , R级级数数只只在在0 x处处收收敛敛,nnnaa1lim 11lim nn, 0 , 0 R收收敛敛区区间间),( .;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnxnnnaa1lim 12lim nnn2 ,21 R,2121收敛收敛即即 x,)1 , 0(收敛收敛 x.)2

11、1(2)1()4(1nnnnxn ,0时时当当 x,11 nn级数为级数为,1时时当当 x,)1(1 nnn级数为级数为发散发散收敛收敛故收敛区间为故收敛区间为(0,1.三、幂级数的运算三、幂级数的运算定理定理3. 设幂级数nnnxa0nnnxb0及的收敛半径分别为,21RR令nnnxa0)(0为常数nnnxa1Rx ,min21RRR nnnnnnxbxa00,)(0nnnnxbaRx 则有 :乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc RRx, (其中其中)0110bababacnnnn 00ba10ba20ba30ba01ba11ba21ba31ba02ba12ba22b

12、a32ba03ba13ba23ba33ba柯柯西西乘乘积积321xxx(3) 除法除法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc)0(0 nnnxb收敛域内收敛域内(相除后的收敛区间比原来相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多两级数的收敛区间小得多)说明说明: 两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多. 例如, 设 nnnxa0nnnxb0),2, 1,0, 1(0naan,3,2,0, 1, 110nbbbn它们的收敛半径均为,R但是nnnxa0nxxx21其收敛半径只是 .1R1x1nnnxb0 x11机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理4 若幂

13、级数nnnxa0的收敛半径,0R)(xS数(证明见第六节)nnnxaxS0)(,11nnnxan),(RRxxxaxxSnxnnxdd)(000,110nnnxna),(RRx则其和函在收敛域上连续, 且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分, 运算前后收敛半径相同: 注注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变.机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明：说明： 利用定理4, 我们可以求得一些幂级数的和机动 目录 上页 下页 返回 结束 和函数, 具体的步骤如下:(1) 先求幂级数的收敛半径和收敛域；(2) 在收敛区间内, 利用逐项积分或逐项求导得到关于和函数的积分方程式或微分方程式, 解方程

14、求和函数；(3) 讨论端点的情况,给出收敛域的和函数.例例 4 4 求求级级数数 11)1(nnnnx的的和和函函数数.解解,)1()(11 nnnnxxs, 0)0( s显显然然两边积分得两边积分得)1ln()(0 xdttsx 21)(xxxs,11x )11( x,1时时又又 x.1)1(11收敛收敛 nnn).1ln()1(11xnxnnn )11( x),1ln()(xxs )1ln()0()(xsxs 即即解解: 由例2可知级数的收敛半径 R+.例例5.0!nnnx求幂级数0!)(nnnxxS)(x则11! ) 1()(nnnxxS0!kkkx)(xS)(x故有0)(xSexxeC

15、xS)(,)(1)0(xexSS 得由故得.!0 xnnenx的和函数 .因此得设机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 1nnxn求幂级数的和函数解解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x1 时级数发,)1,1(时故当x1)(nnxnxS1)(nnxxxxx12)1 (xx. )(xS11nnxnx1nnxx散,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 求级数01nnnx的和函数. )(xS解解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , 时级数且1x01)(nnnxxS xnnxxx00d1xxxx0d111)1ln(1xx) 10( x1x及收敛 , 有时则当,0 x0111nnnx

16、xxnnxxx00d1机动 目录 上页 下页 返回 结束 ) 1 ,0()0, 1x)(xS, )1ln(1xx因此由和函数的连续性得:)(xS而)0(S,1)1 (lnlim0 xxx, )1ln(1xx,10 x,1) 10( x1x及机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例 5 5 求求幂幂级级数数 0)12(nnxn的的和和函函数数. 解解 0)12()(nnxnxs设设 002nnnnxnx,22110 nnnnnxxnx,)(11 nnnxxA设设dxxndxxAnxnx 1010)( 1nnx,1xx 1| x xxxA1)(,)1(12x ,)1(2220 xxnxnn 1|,

17、110 xxxnn 0)12()(nnxnxs 2)1(2xxx 111|.)1(12 xxx例例 6 6 求求 12)1(nnnn的的和和. 解解,)1(1nnxnn 考虑级数考虑级数收敛区间收敛区间(-1,1), 1)1()(nnxnnxs则则)(11 nnxx)1(2 xxx,)1(23xx 12)1(nnnn故故)21( s . 8 例例8.2) 1(122的和求数项级数nnn解解: 设,1)(22nnnxxS则, )1, 1(x2112nnnxx21121nnnxx)0( x12nnnxx321nnnxxnnxnnxS111121)(2机动 目录 上页 下页 返回 结束 1nnnx

18、101dnxnxx而xxxnnd011 xxx01d)1ln(x42)1ln(21)(2xxxxxS故222) 1(1nnn)0( x1212)(nnnxxxxS)2(212xxx21S2ln4385)0( x机动 目录 上页 下页 返回 结束 常用已知和函数的幂级数;11)1(0 xxnn ;11)1()2(202xxnnn ;1)3(202xaaxnn ;!)4(0 xnnenx );1ln(1)1()6(01xnxnnn ;sin)!12()1()5(1121xnxnnn 内容小结内容小结1. 求幂级数收敛域的方法1) 对标准型幂级数先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 .2) 对非标准

19、型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,2. 幂级数的性质1) 两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与)0(0nnnnaxa也可通过换元化为标准型再求 .乘法运算. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) 在收敛区间内幂级数的和函数连续;3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.思考与练习思考与练习 1. 已知nnnxa00 xx 在处条件收敛 , 问该级数收敛半径是多少 ?答答: 根据Abel 定理可知, 级数在0 xx 收敛 ,0 xx 时发散 . 故收敛半径为.0 xR 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 在幂级数nnnnx02) 1(2中,nnaa1

20、nn) 1(2) 1(2211n 为奇数,23n 为偶数,61能否确定它的收敛半径不存在 ?答答: 不能. 因为nnnxu)(lim2) 1(2limxnnn2x当2x时级数收敛 ,2x时级数发散 ,.2R说明说明: 可以证明比值判别法成立根值判别法成立机动 目录 上页 下页 返回 结束 P277 1 ； 2 ；P323 7 (1), (4) 8 (1), (3) 作业第四节 目录 上页 下页 返回 结束 阿贝尔阿贝尔(1802 1829)挪威数学家, 近代数学发展的先驱者. 他在22岁时就解决了用根式解5 次方程的不可能性问题 , 他还研究了更广的一 并称之为阿贝尔群. 在级数研究中, 他得 到了一些判敛准则及幂级数求和定理. 论的奠基人之一, 他的一系列工作为椭圆函数研究开拓了道路. 数学家们工作150年. 类代数方程, 他是椭圆函数C. 埃尔米特曾说: 阿贝尔留下的思想可供 后人发现这是一类交换群,备用题备用题 求极限, )(lim221nanaan其中. 1a解解: 令nnanaaS221nkkak1作幂级数,1nnxn设其和为, )(xS易知其收敛半径为 1,则1)(nnxnxS11nnxnx1nnxxxxx12)1 (xxnnSlim)(1aS2) 1( aa机动 目录 上页 下页 返回 结束