2019考研数学二答案真题解析.pdf

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1、 1/92019 年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析 一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上指定位置上. （1）当0 x 时，若tanxx与kx是同阶无穷小，则k （ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 【答案】C 【解析】0 x 时，有3tan3xxx，故3k （2）曲线3sin2cos()22yxxx

2、x的拐点坐标为（ ） (A) (,)2 2 (B) (0,2) (C) ( , 2) (D) 33(,)22 【答案】C 【解析】sincos2sincossinyxxxxxxx ， cossincossinyxxxxxx ， 令0y得0 x 或x， 当(0, )xU，0y，故(0,2)不是拐点； 当x时，0y ；当x时，0y，故( , 2)为拐点. （3）下列反常积分发散的是（ ） (A) 0 xxe dx (B) 20 xxedx (C) 20arctan1xdxx (D) 201xdxx 【答案】D 【解析】20201ln(1)12xdxxx ，故选项 D 正确； 选项 A：0(2)1x

3、xe dx ；选项 B：222001122xxxedxedx； 选项 C：220200arctan1arctanarctan(arctan )128xdxxdxxx. （4）已知微分方程xyaybyce的通解为12()xxyCC x ee，则, ,a b c依次为（ ） (A) 1,0,1 (B) 1,0,2 (C) 2,1,3 (D) 2,1,4 【答案】D 【解析】由通解形式可得，12()xCC x e是对应齐次方程的解，故是1其二重特征值，所以其特淘宝店铺：光速考研工作室 2/9征方程为2(1)0，即221 0 ，所以2,1ab；再将特解xe带入原方程可得4c （5）已知积分区域2( ,

4、 )Dx yxy，221DIxy dxdy，222sinDIxy dxdy，223(1 cos)DIxydxdy，试比较123,I II的大小（ ） (A) 321III (B) 123III (C) 213III (D) 231III 【答案】A 【解析】 在区域D上，2224xy， 令22xy， 则02u， 所以有2222sinxyxy； 令( )1 cossinf uuu ，则( )sincosf uuu， 故当04u，( )0f u；当42u，( )0f u； 而(0)()02ff，所以( )0f u ，即1 cossinuu，得到22221 cossinxyxy 综合对比可得，321

5、III. (6) 函数( ), ( )f x g x的二阶导函数在xa处连续，则2( )( )lim0()xaf xg xxa是两条曲线( )yf x，( )yg x在xa对应的点处相切及曲率相等的（ ） (A)充分非必要条件 (B)充分必要条件 (C)必要非充分条件 (D)既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 （充分性）由泰勒公式可得：22( )( )( )( )()()()2faf xf af a xaxao xa； 22( )( )( )( )()()()2g ag xg ag a xaxao xa 则2( )( )lim0()xaf xg xxa，可得( )( )f ag a，(

6、 )( )fag a，( )( )fag a，由此可得在xa处相切。 由曲率公式3221yky可得两曲线在xa处曲率相同. （必要性）若函数( )yf x，( )yg x在xa处相切可得( )( )f ag a，( )( )fag a； 淘宝店铺：光速考研工作室 3/9由曲率相等332222( )( )1 ( )1 ( )fag akfag a，可得：( )( )fag a 但若( )( )fag a ，有2( )( )lim( )()xaf xg xfaxa不一定为0，故必要性不一定成立. （7） 设A是4阶矩阵，*A是A的伴随矩阵， 若线性方程组0Ax 的基础解系中只有2个向量， 则*A的

7、秩是（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】A 【解析】因为0Ax 的基础解系中只有2个向量，故有( )2nr A，即( )422r A ，又因为*,( )()1,( )10,( )1nr Anr Ar Anr An，所以*()0r A （8）设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵，若22AAE且4A ，则二次型Tx Ax的规范形为（ ） (A) 222123yyy (B) 222123yyy (C) 222123yyy (D) 222123yyy 【答案】C 【解析】设矩阵A的特征值为，由22AAE可得，22，解得1, 2， 又因为1234A ， 故A的3个特征值为1

8、, 2, 2， 所以二次型Tx Ax的规范形为222123yyy. 二、填空题：二、填空题：914 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分.请将答案写在答题纸指定位置上请将答案写在答题纸指定位置上. 9.20lim(2 )xxxx . 【答案】24e 【解析】022lim(21)2 2ln220lim(2 )4xxxxxxxxeee 10.曲线sin1cosxttyt 在32t对应点处切线在y轴的截距为 . 【答案】322 【解析】当32t时，3+1,12xy，32/sin1/1costdydy dttydxdx dtt 故切线方程为311(1)2yx ，即322yx ，令0

9、x ，322y 4/911.设函数( )f u可导，2()yzyfx，则2zzxyxy . 【答案】2()yyfx 【解析】223222()()()zyyyyyffxxxxx ，2222222()()()()zyyyyyyfyfffyxxxxxx 则3222222222()()()()zzyyyyyyxyxfy ffyfxyxxxxxx 12.设函数lncos(0)6yxx的弧长为 . 【答案】ln32 【解析】2266660000ln311tansecln sectan2sy dxxdxxdxxx 13.已知函数21sin( )xtf xxdtt，则10( )f x dx . 【答案】cos

10、1 14 【解析】设21sin( )xtF xdtt，故有1111221200000111( )( )( )( )( )222f x dxxF x dxF x dxx F xx F x dx 211222 10001sin11cos1 1sincos2244xxdxxx dxxx 14.已知矩阵1100211132210034A，ijA表示A中元素( , )i j的代数余子式，则1112AA . 【答案】4 【解析】1112110010001111112111211112101043221312103403400340034AAA 三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分

11、.请将解答写在答题纸指定位置上请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.设函数( )yf x是微分方程22xyxye满足条件(0)0y的特解。 （1）求( )yf x； （2）求曲线( )yy x的凹凸区间及拐点。 5/9【答案】 （1）22xyxe； （2）凸区间为(,3)(0, 3) ，凹区间为(3,0)( 3,)， 拐点为32(3,3)e，(0,0)，32( 3, 3)e 【解析】 （1）2222222222( )()()()xxxxxxdxxdxy xeeedxCeee dxCexC， 因为(0)0y，得0C ，

12、所以22xyxe； （2）由（1）有2222222()(1)xxxyexexx e ， 222232222(1)()(3 )xxxyxex exxx e ，令0y 得0,3x ， 当3x 或03x时，0y 当30 x或3x 时，0y 所以凸区间为(,3)(0, 3) ，凹区间为(3,0)( 3,)， 又32(3)3ye ，32( 3)3ye，(0)0y， 所以拐点为32(3,3)e，(0,0)，32( 3, 3)e. 16.求不定积分2236(1) (1)xdxxxx【解析】由于22223623211(1) (1)(1)1xxxxxxxxx 故原积分可化为：2222232111212311(1

13、)1(1)1xxdxdxdxdxxxxxxxxx 22312ln1(1)11xd xxxxx 232ln1ln(1)1xxxCx 17.已知( )y x满足微分方程2212xyxyex，且有(1)ye. （1）求( )y x （2）( , ) 12,0( )Dx yxyy x，求平面区域D绕x轴旋转成的旋转体体积. 【解析】 （1）221( )2xxdxxdxy xee edxCx 6/922221()2xxedxCexCx 又因为(1)ye，故0C 所以22xyxe （2）2222222222421111()222xxxxVxedxxe dxe dxeee 18.已知平面区域22 34( ,

14、 ),()Dx yxy xyy，计算二重积分22Dxydxdyxy 【解析】2234()xyy的极坐标方程2sinr，由对称性可得：220Dxdxdyxy 所以21sin2222204sin22sinDDDxyyrdxdydxdyrdrddrdrrxyxy 52224222444sin(1 cos)cos(1 2coscos) cosddd 35242143=(coscoscos)235120 19.*nN，nS是( )sin (0)xf xexxn的图像与x轴所围图形的面积求nS，并求limnnS 【解析】面积200sinsinsinnxxxSex dxexdxexdx (1)111(1)(

15、1)0001sin( 1)sin( 1) (cossin )2knnnkkxkxkxkkkkkkex dxexdxexx 11(1)101( 1)( 1)( 1) 2nkkkkkkee (1)11(1)001111(1)(1)2221nnnkkkkkeeeeeee 所以(1)111111lim(1)lim(1)212121nnnneeSeeeee 20.已知函数( , )u x y满足222222330uuuuxyxy，求, a b的值，使得在变换( , )( , )ax byu x yv x y e下，上述等式可化为( , )v x y不含一阶偏导数的等式. 【解析】( , )ax byax

16、 byuvev x y aexx， 7/9( , )ax byax byuvev x y beyy 222222( , )ax byax byax byuvveaev x y a exxx， 222222( , )ax byax byax byuvvebev x y b eyyy 带入已知条件22222230uuuxyy 得：22222222( , )22( , )ax byax byax byax byax byax byvvvveaev x y a eebev x y b exxyy +3( , )+3( , )=0ax byax byax byax byvvev x y aeev x y

17、 bexy 整理得：2222222()(43)(3 4 )(2233 ) ( , )0vvvvababab v x yxyxy 由题意可得上式不含( , )v x y的一阶偏导数，所以430,3 40ab ，即：33,44ab 21.已知函数( )f x在0,1上具有二阶导数，且(0)0f，(1)1f，10( )1f x dx ，证明： （1）存在(0,1)，使得( )0f （2）存在(0,1)，使得( )2f 【解析】 （1）令0( )( )xF xf t dt，易知( )F x在0,1上连续，在(0,1)内可导，由拉格朗日中值定理可得：存在(0,1)c使得(1)(0)( )FFF c，即(

18、 )1f c 对( )f x在 ,1c上使用罗尔定理可得，存在( ,1)(0,1)c，使得( )0f （2） 令2( )( )G xf xx， 分别在0, , ,1cc上应用拉格朗日中值定理可得： 存在1(0, )c，2( ,1)c使得1( )(0)()G cGGc；2(1)( )()(1)GG cGc 即：211( )cGc；2()1Gc 在12 , 上对( )G x再次使用拉格朗日中值定理可得： 2121()()( )()GGG 整理可得22121212111()( )1( )( )20()ccGGccGfc 8/9故有( )2f . 22.已知向量组 （I）12321111 ,0 ,24

19、43a ，（II）12321011,2,3313aaa，若向量组（I）和向量组（II）等价，求a的值，并将3用123, 线性表示. 【解析】 （1）因为向量组（I）和向量组（II）等价， 所以有123123123123(,)(,)(,)rrr 对其初等行变换有：12312322111101(,)102123443313aaaa 221111010110220011 11aaaa 若1a ，有123123123123(,)(,)(,)3rrr ， 所以向量组（I）和向量组（II）等价 若1a ，有123123123123(,)(,)(,)2rrr 所以向量组（I）和向量组（II）等价 （2） 当

20、1a ，因为1233111111111023(,)102301120112444400000000 ， 所以3( 2,1,1)(3, 2,0)TTk，kR，即3123(32 )(2),kkkkR. 当1a ，123322111111111001(,)102301 12010144+3+300110011aa 所以3123 23.已知矩阵22122002Ax与21001000By相似. （1）求, x y （2）求可逆矩阵P使得1P APB. 【解析】 （1）由于A与B相似，根据相似性质，有：AB，( )( )tr Atr B； 淘宝店铺：光速考研工作室 9/9即：2( 24)2xy ，222

21、1xy 解得3,2xy ； （2）B是上三角矩阵，则B的特征值为1, 2,2 ，又因为A和B相似，则A的特征值也为1, 2,2 对矩阵A：当12时，解(2)0EA x得1( 1,2,0)T ；当11 时，解()0EA x得2(2, 1,0)T；当32 时，解( 2)0EA x得3( 1,2,4)T ；对矩阵B：当12时，解(2)0EB x得1(1,0,0)T；当11 时，解()0EB x得2( 1,3,0)T ；当32 时，解( 2)0EB x得3(0,0,1)T；令1123(,)P ，则111212P AP；令2123(,)P ，则122212PAP；111122P APPAP，则112112P P APPB；故112111212004PP P. 淘宝店铺：光速考研工作室