2021考研数三答案.pdf

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1、12021 考研数学真题及答案解析考研数学真题及答案解析数学（三）数学（三）一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.）(1)当0 x 时，230(1)xtedt是7x的(A)低阶无穷小.(B)等价无穷小.(C)高阶无穷小.(D)同阶但非等价无穷小.【答案答案】C.【解析解析】因为当0 x 时，23670(1)2 (1)2xtxedtx ex，所以230(1

2、)xtedt是7x高阶无穷小，正确答案为 C.(2)函数1,0( )=1,0 xexf xxx,在0 x 处(A)连续且取极大值.(B)连续且取极小值.(C)可导且导数为 0.(D)可导且导数不为 0.【答案答案】D.【解析解析】因为001lim( )=lim1(0)xxxef xfx ，故( )f x在0 x 处连续；因为200011( )(0)11lim=limlim002xxxxxef xfexxxxx ，故1(0)2f ，正确答案为 D.(3)设函数( )ln(0)f xaxbx a有两个零点，则ba的取值范围是(A)( ,)e .(B)(0, ) e.(C)1(0,)e.(D)1(,

3、)e.【答案答案】A.【解析解析】 令( )ln0f xaxbx，( )bfxax，令( )0fx有驻点bxa，ln0bbbfabaaa，从而ln1ba，可得bea，正确答案为 A.(4)设函数( , )f x y可微，2(1,)(1)xf xex x，22( ,)2lnf x xxx，则(1,1)df(A)dxdy.(B)dxdy.(C)dy.(D)dy.【答案答案】C.【解析解析】212(1,)(1,)(1)2 (1)xxxf xee fxexx x2212( ,)2( ,)4 ln2fx xxfx xxxx2分别将00 xy，11xy带入式有12(1,1)(1,1)1ff，12(1,1)

4、2(1,1)2ff联立可得1(1,1)0f ，2(1,1)1f ，12(1,1)(1,1)(1,1)dffdxfdydy，故正确答案为 C.(5)二次型222123122331( ,)()()()f x xxxxxxxx的正惯性指数与负惯性指数依次为(A)2,0.(B)1,1.(C)2,1.(D)1,2.【答案答案】B.【解析解析】22221231223312122313( ,)()()()2222f x xxxxxxxxxx xx xx x所以011121110A，故特征多项式为11|121(1)(3)11EA 令上式等于零，故特征值为1，3，0，故该二次型的正惯性指数为 1，负惯性指数为

5、1.故应选 B.(6)设1234(,) A为 4 阶正交矩阵，若矩阵T1T2T3=B，111 ，k表示任意常数，则线性方程组 Bx的通解x(A)2341k.(B)1342k.(C)1243k.(D)1234k.【答案答案】D.【解析解析】因为1234(,) A为 4 阶正交矩阵，所以向量组1234, 是一组标准正交向量组，则( )3rB，又T1T424T3=0B，所以齐次线性方程组 0Bx的通解为4k .而T1T1232123T31() =()11 B， 故 线 性 方 程 组 Bx的 通 解1234kx，其中k为任意常数.故应选 D.(7)已知矩阵101211125A，若下三角可逆矩阵P和上

6、三角可逆矩阵Q，使PAQ为对角矩阵，则P，Q可以分别取3(A)100010001，101013001.(B)100210321，100010001.(C)100210321，101013001.(D)100010131，123012001.【答案答案】C.【解析解析】101100101100101100()211010013210013210125001026101000321A,E(,) F P,则100210321P;101100013010000000100101010013001001FEQQ，则101013001Q.故应选 C.(8)设A，B为随机事件，且0( )1P B，下列命题中

7、不成立的是(A)若(|)( )P A BP A，则(|)( )P A BP A.(B)若(|)( )P A BP A，则(|)( )P A BP A(C)若(|)(|)P A BP A B，则(|)( )P A BP A.(D)若(|)(|)P A ABP A AB，则( )( )P AP B.【答案】D.【解析】( ()( )(|)()( )( )()P A ABP AP A ABP ABP AP BP AB( ()()( )()(|)()()( )( )()P A ABP ABP BP ABP A ABP ABP ABP AP BP AB因为(|)(|)P A ABP A AB，固有( )

8、( )()P AP BP AB，故正确答案为 D.(9)设11(,)X Y，22(,)XY，(,)nnXY为来自总体221212(,;,; )N 的简单随机样本，令12，11niiXXn，11niiYYn，XY则(A)( )E，2212( )Dn.4(B)( )E，2212122( )Dn .(C)( )E，2212( )Dn.(D)( )E，2212122( )Dn .【答案】B【解析】因为,X Y是二维正态分布，所以X与Y也服从二维正态分布，则XY也服从二维正态分布，即12( )()()( )EE XYE XE Y，2212122( )()()( )cov(,)DD XYD XD YX Y

9、n ，故正确答案为 B.(10)设总体X的概率分布为112P X，1234P XP X，利用来自总体的样本值 1，3，2，2，1，3，1，2，可得的最大似然估计值为(A)14.(B)38.(C)12.(D)52.【答案】A.【解析解析】似然函数3511( )() ()24L，取对数11ln ( )3ln()5ln()24L；求导ln ( )35011dLd，得14.故正确答案为 A.二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分.请将答案写在答题纸指定位置上请将答案写在答题纸指定位置上.）(11)若cosxye，则1xdydx_.【答案】1si

10、n2ee.【解析】1sin()2xxdyeedxx 11sin2xdyedxe.(12)5529xdxx_.【答案】6.【解析】223535253532221(9)1(9)6292999xxdxd xdxdxxxxx.(13)设平面区域D由曲线sin(01)yxxx与x轴围成， 则D绕x轴旋转所成旋转体的体积为_.【答案】4.5【解析】112220001(sin)sinsin24Vxxdxxxdxxttdt.(14)差分方程tyt的通解为_.【答案】21122yyyttC，C为任意常数.【解析】yC,1(+ )2yat b，(1)( (1)(1)ta tbt att，2atabt，12a ,1

11、2b ，21122yyyttC,C为任意常数.(15)多项式12121( )211211xxxxf xxx中3x项的系数为_.【答案答案】-5.【解析解析】12211211112121( )1121211221211112131211211xxxxxxxf xxxxxxxxxxxx所以展开式中含3x项的有33, 4xx，即3x项的系数为-5.(16)甲乙两个盒子中各装有 2 个红球和 2 个白球， 先从甲盒中任取一球， 观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球.令X,Y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X与Y的相关系数_.【答案】15.【解答】联合分布率(0,0)(0,1)(1,0)(1

12、,1)(, )3113105510X Y,011122X011122Y1cov(, )20X Y ，11,44DXDY,即15XY.三、解答题（本题共三、解答题（本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）(17)(本小题满分 10 分)已知101limarctan1xxxx存在，求的值.【答案】1 1().ee【解析】.要想极限存在，则左右极限相等；又由于101limarctan(1);2xxxex61011limarctan(1);2xxxxe 从而12

13、2ee ，即1 1().ee(18)(本小题满分 12 分)求函数222(1)( , )2ln2xyf x yxx的极值.【答案】( 1,0)处取极小值 2；1( ,0)2处取极小值12ln22.【解析】（1）22322100 xyxxyfxyfx 即222100 xxyy 得驻点( 1,0)，1( ,0)2（2）22432413(21)21xxxyyyxxxxyfxyfxfx （3）驻点( 1,0)处，A=3，B=0，C=1，230ACB，0A故( , )f x y在( 1,0)处取极小值 2；驻点1( ,0)2处，A=24，B=0，C=4，230ACB，0A故( , )f x y在1( ,

14、0)2处取极小值12ln22.(19)(本小题满分 12 分)设有界区域D是221xy和直线yx以及x轴在第一象限围城的部分，计算二重积分2()22().x yDexydxdy【答案】2111848ee.2221()22(cossin )224001()cos22xyrDexydder dr 221(cossin )224001cos22rder dr 21(cossin )400cos2udeudu 2211(cossin )2(cossin )24001(cossin )(cossin )(cossin )uuueduuedu2(cossin )401(cossin )tte dt22(c

15、ossin )(cossin )24111(cossin )(cossin )ee722(cossin )(cossin )443001cossin1cossin=12cossin2(cos +sin )eded上式2222311111122uuee duduuu2222-21111=()2uue duu deu其中22222232123111111()( 2)2242uuueeeudueeduuu223211111=+842848eeu duee原式.(20)(本小题满分 12 分)设n为正整数，( )nyyx是微分方程(1)0 xyny满足条件1(1)(1)nyn n的解.(1)求( )n

16、yx；(2)求级数1( )nnyx的收敛域及和函数.【答案】(1)11( )(1)nnyxxn n;(2)收敛域 1,1，(1)ln(1),( 1,1)( )1,1xxx xS xx .(1)(1)0nyyx得11ndxnxyCeCx， 将1(1)(1)nyn n带 入 ， 有1(1)Cn n，11( )(1)nnyxxn n；(2)111(1)nnxn n的收敛域为 1,1设1111111( )(1)ln(1),( 1,1)(1)1nnnnnnxxS xxxxx xn nnn 又因为( )S x在 1,1连续，所以1(1)lim( )1xSS x，所以(1)ln(1), 1,1)( )1,1

17、xxx xS xx .(21)(本小题满分 12 分)设矩阵210= 1201Aab仅有两个不同的特征值. 若A相似于对角矩阵，求a，b的值，并求可逆矩阵P，使1P AP为对角矩阵.【解析】由210120()(3)(1)01EAbab当3b 时，由A相似对角化可知，二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量，则110(3)11010EAa 知，1a ，8此时，123所对应特征向量为12101 ,001 ，31所对应的特征向量为3111，则1331P AP当1b 时，由A相似对角化可知，二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量，则110()11010EAa ，知1a ，此时，121

18、所对应特征向量为12101,001 ，33所对应的特征向量为3111 ，则1113P AP.(22)(本小题满分 12 分)在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为X,较长的一段长度记为Y,令YZX.(1)求X的概率密度；(2)求Z的概率密度.(3)求XEY.【答案】(1)1,01( )0,其他xxf x；(2)22,1(1)( )( )0,其他ZZzzfzFz.(3)12ln2 .【解析】(1)由题知：1,01( )0,其他xxf x；(2)由2yx，即2XZX，先求Z的分布函数：22( )1ZXFzP ZzPzPzXX 当1z 时，( )0ZFz ；当1z 时，210222( )1111111zZFzPzP XdxXzz ；22,1(1)( )( )0,其他ZZzzfzFz；9(3)10112ln222XXxEEdxYXx .