1989考研数一真题及解析.pdf

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1、 19891989 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).) (1) 已知(3)2f ,则 0(3)(3)lim2hfhfh_. (2) 设( )f x是连续函数,且10( )2( )f xxf t dt,则( )f x _. (3) 设平面曲线L为下半圆周21,yx 则曲线积分22()Lxyds_. (4) 向量场22( , , )ln(1)zu x y zxy iye jxzk在点(1,1,0)P处的散度divu _. (5

2、) 设矩阵300140003A, 100010001E,则逆矩阵1(2 )AE=_. 二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).) (1) 当0 x时,曲线1sinyxx ( ) (A) 有且仅有水平渐近线 (B) 有且仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线,也有铅直渐近线 (D) 既无水平渐近线,也无铅直渐近线 (2) 已知曲面224zxy上点P处的切平面平行于平面2210 xyz ,则点P的坐标是 ( ) (A) (1,-1,2) (B) (-1,1,2) (C) (1,1,2) (D) (-1,-1,2

3、) (3) 设线性无关的函数1y、2y、3y都是二阶非齐次线性方程( )( )( )yp x yq x yf x的解,1C、2C是任意常数,则该非齐次方程的通解是 ( ) (A) 11223C yC yy (B) 1122123()C yC yCCy (C) 1122123(1)C yC yCCy (D) 1122123(1)C yC yCCy (4) 设函数2( ),01,f xxx而1( )sin,nnS xbn xx 其中 102( )sin,1,2,3,nbf xn xdx n,则1()2S 等于 ( ) (A) 12 (B) 14 (C) 14 (D) 12 (5) 设A是n阶矩阵,

4、且A的行列式| 0A ,则A中 ( ) (A) 必有一列元素全为 0 (B) 必有两列元素对应成比例 (C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D) 任一列向量是其余列向量的线性组合 三、三、( (本题满分本题满分 1515 分分, ,每小题每小题 5 5 分分.).) (1) 设(2)( ,)zfxyg x xy,其中函数( )f t二阶可导,( , )g u v具有连续的二阶偏导数, 求2zx y . (2) 设曲线积分2( )Cxy dxyx dy与路径无关,其中( )x具有连续的导数,且(0)0, 计算(1,1)2(0,0)( )xy dxyx dy的值. (3) 计算三重积分()

5、xz dV,其中是由曲面22zxy与221zxy所围成的区域. 四、四、( (本题满分本题满分 6 6 分分.).) 将函数1( )arctan1xf xx展为x的幂级数. 五、五、( (本题满分本题满分 7 7 分分. .) ) 设0( )sin() ( )xf xxxt f t dt,其中f为连续函数,求( )f x. 六、六、( (本题满分本题满分 7 7 分分.).) 证明方程0ln1 cos2xxxdxe在区间(0,)内有且仅有两个不同实根. 七、七、( (本题满分本题满分 6 6 分分.).) 问为何值时,线性方程组 131231234226423xxxxxxxx 有解,并求出解的

6、一般形式. 八、八、( (本题满分本题满分 8 8 分分.).) 假设为n阶可逆矩阵A的一个特征值,证明： (1) 1为1A的特征值； (2) A为A的伴随矩阵A的特征值. 九、九、( (本题满分本题满分 9 9 分分.).) 设半径为R的球面的球心在定球面2222(0)xyza a上,问当R为何值时,球面在定球面内部的那部分的面积最大？ 十、填空题十、填空题( (本题满分本题满分 6 6 分分, ,每小题每小题 2 2 分分.).) (1) 已知随机事件A的概率( )P A=0.5,随机事件B的概率( )P B=0.6 及条件概率 ()P B A=0.8,则和事件AB的概率()P AB=_.

7、 (2) 甲、 乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5.现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为_. (3) 若随机变量在(1,6)上服从均匀分布,则方程210 xx 有实根的概率是_. 十一、十一、( (本题满分本题满分 6 6 分分.).) 设随机变量X与Y独立,且X服从均值为 1、标准差(均方差)为2的正态分布,而Y服从标准正态分布.试求随机变量23ZXY的概率密度函数. 19891989 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分,

8、 ,满分满分 1515 分分.).) (1)【答案】1 【解析】原式=01(3)(3)1lim(3)122hfhffh . (2)【答案】1x 【解析】由定积分的性质可知,10( )f t dt和变量没有关系,且( )f x是连续函数,故 10( )f t dt为一常数,为简化计算和防止混淆,令10( )f t dta,则有恒等式( )2f xxa, 两边 0 到 1 积分得 1100( )(2 )f x dxxa dx, 即 111112000001(2 )222axa dxxdxadxxa x122a, 解之得 12a ,因此( )21f xxax. (3)【答案】 【解析】方法一：方法一

9、：L的方程又可写成221(0)xyy,被积分函数在L上取值,于是 原积分=1Lds(半径为 1 的的半圆周长). 方法二：方法二：写出L的参数方程, cossinxtyt,(0)t 则 00222222()(cossin) ( sin )cos1Lxydsttttdtdt. (4)【答案】2 【解析】直接用散度公式 22()()( ln(1)zPPdivuxyyexzxyz 220(1,1,0)22220()101 1211 0zzyexez . (5)【答案】10011022001 【解析】由于 3002001002140020120003002001AE, 为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴

10、随,可用初等行变换,也可用分块求逆. 方法方法一一：如果对(2)AE E作初等行变换,则由1(2)(2 ) )AE EEAE可以直接得出1(2 )AE. 本题中,第一行乘以1加到第二行上;再第二行乘以12,有 100100 10010010010011120 010020110010022001 001001001001001, 从而知 110011(2 )022001AE . 方法方法二二：对于 2 阶矩阵的伴随矩阵有规律：abAcd,则求A的伴随矩阵 *abdbAcdca. 如果0A ,这样 111abdbdbcdcacaAadbc. 再利用分块矩阵求逆的法则：1110000AABB, 本

11、题亦可很容易求出110011(2 )022001AE . 二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).) (1)【答案】(A) 【解析】函数1sinyxx只有间断点0 x. 001limlimsinxxyxx,其中1sinx是有界函数,而当0 x时,x为无穷小,而无穷小量和一个有界函数的乘积仍然是无穷小, 所以 001limlimsin0 xxyxx,故函数没有铅直渐近线. 01sin1sinlimlim lim11xxxtxytxtx令, 所以1y 为函数的水平渐近线,所以答案为(A). 【相关知识点】铅直渐

12、近线：如函数( )yf x在其间断点0 xx处有0lim( )xxf x ,则 0 xx是函数的一条铅直渐近线； 水平渐近线：当lim( ),(xf xa a为常数）,则ya为函数的水平渐近线. (2)【答案】(C) 【解析】题设为求曲面:( , , )0S F x y z (其中22( , , )4F x y zzxy)上点P使S在该点处的法向量n与平面2210 xyz 的法向量02,2,1n 平行. S在( , , )P x y z处的法向量 ,2 ,2 ,1FFFnxyxyz, 若0/,nn则0,nn为常数,即22 ,22 ,1xy.即1,1xy. 又点( , , )P x y zS,所

13、以2222( , ) (1,1)44 112x yzxy,故求得(1,1,2)P. 因此应选(C). (3)【答案】(D) 【解析】 由二阶常系数非齐次微分方程解的结构定理可知,1323,yyyy为方程对应齐次方程的特解,所以方程( )( )( )yp x yq x yf x的通解为 1132233()()yC yyCyyy, 即1122123(1)yC yC yCCy,故应选 D. (4)【答案】(B) 【解析】( )S x是函数( )f x先作奇延拓后再作周期为 2 的周期延拓后的函数的傅式级数的和函数,由于( )S x是奇函数,于是11()( )22SS . 当12x 时,( )f x连

14、续,由傅式级数的收敛性定理,21111( )( )( )2224Sf.因此, 11()24S .应选(B). (5)【答案】(C) 【解析】本题考查| 0A 的充分必要条件,而选项(A) 、(B)、(D)都是充分条件,并不必要. 因为对矩阵A来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了 | 0A 的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合. 以 3 阶矩阵为例,若 112123134A, 条件(A)必有一列元素全为 0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有| 0A ,所以(A)、 (B)不满足题意,不可选. 若123124125A,则| 0

15、A ,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确. 这样用排除法可知应选(C). 三、三、( (本题满分本题满分 1515 分分, ,每小题每小题 5 5 分分.).) (1)【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,可以先求zx,也可以先求zy. 方法一：方法一：先求zx,由复合函数求导法, 1212(2)( )()2zfxygxgxyfgygxxxx, 再对y求偏导,得 212(2)2(2)zfgygfxyx yyy 111222122( )()( )()gxgxygygxygxyyyyy 111222122200fgxggygxyg 212222fxggxyg . 方法二

16、：方法二：先求zy, 122(2)( )()zfxygxgxyfxgyyyy , 再对x求偏导数,得 222()zzfxgx yy xx 22122(2)( )()fxygxgxxgxyxxx 221222fgxgxyg . 【相关知识点】复合函数求导法则：若( , )uu x y和( , )vv x y在点( , )x y处偏导数存在,函数( , )zf u v在对应点( , )u v具有连续偏导数,则复合函数 ( , ), ( , )zf u x y v x y在点( , )x y处的偏导数存在,且 ,zfufvzfufvxuxv xyuyv y . (2)【解析】方法一：方法一：先求出(

17、 )x,再求曲线积分. 设( , ),( , )P x y Q x y有连续偏导数,在所给的单连通区域D上,LPdxQdy与路径无关,则在D上有QPxy,所以( )2,yxxy即2( )2 , ( )xxxxC.由(0)=0,得 0C ,即2( )xx,因此 (1,1)(1,1)(1,1)2222222(0,0)(0,0)(0,0)1( )2Ixy dxyx dyxy dxyx dyy dxx dy (1,1)(0,0)(1,1)2222(0,0)111()()222d x yx y. 或取特殊路径如图： 112220001LIxy dxyx dydxydy 1201122y. 方法二：方法二

18、：不必求出( )x,选取特殊的路径,取积分路径如图,则 (1,1)2(0,0)( )Ixy dxyx dy 110011(0)022ydyxdx. (3)【解析】利用三重积分的性质, 关于yz平面对称,x对x为奇函数,所以0 xdV,即()xz dVzdV. 是由球心在原点半径为 1 的上半球面与顶点在原点、对称轴为z轴、半顶角为4的锥面所围成.故可选用球坐标变换,则020014：，, 所以 2cossinIzdVd d d 2113344000001cossin2sin22ddddd 1440011cos2248. 四、四、( (本题满分本题满分 6 6 分分.).) 【解析】直接展开( )

19、f x相对比较麻烦,可( )fx容易展开, 2222211(1) ( 1)21( )1(1)(1)(1)11 ()1xxfxxxxxxx . 由2011( 1)( 1),(| | 1)1nnnnntttttt ,令2tx得 2422220111( 1)( 1),(1)11nnnnnxxxxxtx 即 2201( )( 1),(| 1)1nnnfxxxx 所以 0( )( )(0)xf xf u duf, 22000010( 1)arctan( 1)1 04xxnnnnnnu duu du 210( 1)421nnnxn,(| 1)x 当1x 时,式210( 1)21nnnxn均收敛,而左端1(

20、 )arctan1xf xx在1x处无定义. 因此 2101( 1)( )arctan, 1,1)1421nnnxf xxxxn . 五、五、( (本题满分本题满分 7 7 分分.).) 【解析】先将原式进行等价变换,再求导,试着发现其中的规律, 000( )sin() ( )sin( )( )xxxf xxxt f t dtxxf t dttf t dt, 所给方程是含有未知函数及其积分的方程,两边求导,得 00( )cos( )( )( )cos( )xxfxxf t dtxf xxf xxf t dt, 再求导,得 ( )sin( )fxxf x ,即 ( )( )sinfxf xx .

21、 这是个简单的二阶常系数非齐次线性微分方程,对应的齐次方程的特征方程为210r , 此特征方程的根为ri ,而右边的sinx可看作sinxex,ii 为特征根,因此非齐次方程有特解sincosYxaxxbx. 代入方程并比较系数,得10,2ab,故cos2xYx,所以 12( )cossincos2xf xcxcxx, 又因为(0)0,(0)1ff ,所以1210,2cc,即1( )sincos22xf xxx. 六、六、( (本题满分本题满分 7 7 分分.).) 【解析】方法一：方法一：判定方程( )0f x 等价于判定函数( )yf x与x的交点个数. 令 0( )ln1 cos2xf

22、xxxdxe, 其中01 cos2xdx是定积分,为常数,且被积函数1 cos2x在(0, )非负,故 01 cos20 xdx,为简化计算,令01 cos20 xdxk,即( )lnxf xxke, 则其导数11( )fxxe,令( )0fx解得唯一驻点xe, 即 ( )0,0( )0,fxxefxex , 所以xe是最大点,最大值为( )ln0ef eekke. 又因为00lim( )lim(ln)lim( )lim(ln)xxxxxf xxkexf xxke ,由连续函数的介值定理知在(0, ) e与( ,)e 各有且仅有一个零点(不相同),故方程0ln1 cos2xxxdxe在(0,)

23、有且仅有两个不同实根. 方法二：方法二： 2001 cos2sinxdxxdx, 因为当0 x时,sin0 x,所以 20002sin2sin2cos2 20 xdxxdxx, 其它同方法一. 七、七、( (本题满分本题满分 6 6 分分.).) 【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换. 第一行分别乘以有4、6加到第二行和第三行上,再第二行乘以1加到第三行上, 有 10110110141220123201232614 23012430001 . 由于方程组有解的充要条件是( )( )r Ar A,故仅当10 ,即1时,方程组有解.此时秩( )( )23r Ar An,符合定理的第二种情况,故方

24、程组有无穷多解. 由同解方程组 1323 1, 21,xxxx 令3,xt解得原方程组的通解 1231,21,xtxtxt (其中t为任意常数). 【相关知识点】1.非齐次线性方程组有解的判定定理： 设A是m n矩阵,线性方程组Axb有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵AA b的秩,即是( )( )r Ar A(或者说,b可由A的列向量12,n 线表出,亦等同于12,n 与12,nb 是等价向量组) 设A是m n矩阵,线性方程组Axb,则 （1） 有唯一解 ( )( ).r Ar An （2） 有无穷多解 ( )( ).r Ar An （3） 无解 ( ) 1( ).r Ar A b不

25、能由A的列向量12,n 线表出. 八、八、( (本题满分本题满分 8 8 分分.).) 【解析】(1)由为A的特征值可知,存在非零向量使A,两端左乘1A,得 1A.因为0,故0,于是有11A.按特征值定义知1是1A的特征 值. (2)由于逆矩阵的定义1|AAA,据第(1)问有 1|AAAA,按特征值定义,即 |A为伴随矩阵A的特征值. 【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵,若存在数及非零的n维列向量X使得AXX成立,则称是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特征向量. 九、九、( (本题满分本题满分 9 9 分分.).) 【解析】由球的对称性,不妨设球面的球心是(0,0,

26、 )a, 于是的方程是2222()xyzaR. 先求与球面2222xyza的交线： 2222222222(),22,xyzaRaRzaxyza. 代入上式得的方程 422224RxyRa. 它在平面xOy上的投影曲线4222222,(02 ),40,Rxyb bRRaaz 相应的在平面xOy上围成区域设为xyD,则球面在定球面内部的那部分面积 22( )1xyxyDS Rzz dxdy. 将的方程两边分别对, x y求偏导得 ,zxzyxzayza , 所以 2222( )11 ()()xyxyxyDDxyS Rzz dxdydxdyazaz 222221 ()()xyxyDDxyRdxdyd

27、xdyazazRxy. 利用极坐标变换(02 ,0)b有 22222200( )xybDRRS RdxdyddRxyR极坐标变换 22222001()2bRdd RR 222202()2()bRRRRbR 代入42224RbRa, ,化简得32( )2RS RRa. 这是一个关于R的函数,求( )S R在(0,2 )a的最大值点,( )S R两边对R求导,并令 ( )0S R,得23( )40RS RRa,得43aR . 且 4( )0,034( )0,23S RRaS RaRa, 故43aR 时( )S R取极大值,也是最大值. 因此,当43aR 时球面在定球面内部的那部分面积最大. 十、填

28、空题十、填空题( (本题满分本题满分 6 6 分分, ,每小题每小题 2 2 分分.).) (1)【解析】 方法方法一一：()( )( )()P ABP AP BP AB( )( )( ) (|)0.7P AP BP A P B A. 方法方法二二：()( )()P ABP BP AB( )( ) (|)0.60.5 0.20.7P BP A P B A. (2)【解析】设事件A=“甲射中”,B=“乙射中”,依题意,( )0.6P A ,( )0.5P B , A与B相互独立,()( )( )0.6 0.50.3P ABP AP B. 因此,有 ()( )( )()P ABP AP BP AB

29、0.6 0.5 0.30.8. ( ()( )(|)0.75()()P A ABP AP A ABP ABP AB. (3)【解析】设事件A=“方程有实根”,而方程210 xx 有实根的充要条件是其判别式240 ,即 22404A. 随机变量在(1,6)上服从均匀分布,所以其分布函数为0, 1,1( ), 16,6 11, 6.xxF xxx 由分布函数的定义( )P xkF k, 2121 0.20.8.PP 而20.P 所以由概率的可加性,有2( )422P APP 0.8 00.8 . 【相关知识点】广义加法公式：()( )( )()P ABP AP BP AB. 条件概率：()(|)(

30、 )P BAP B AP A,所以()()(|) ( )P ABP BAP B A P A. 十一、十一、( (本题满分本题满分 6 6 分分.).) 【解析】(1,2)XN,(0,1)YN,由独立的正态变量X与Y的线性组合仍服从正态分布,且 235,EZEXEY44 2 1 9DZDXDY , 得 (5,9)ZN. 代入正态分布的概率密度公式,有Z的概率密度函数为 2(5)181( )3 2zZfze. 【相关知识点】对于随机变量X与Y均服从正态分布,则X与Y的线性组合亦服从正态分布. 若X与Y相互独立,由数学期望和方差的性质,有 ()()( )E aXbYcaE XbE Yc, 22()()( )D aXbYca D Xb D Y, 其中, ,a b c为常数.