1992考研数一真题及解析.pdf

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1、 19921992 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分, ,把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.).) (1) 设函数( )yy x由方程cos()0 x yexy确定,则dydx_. (2) 函数222ln()uxyz在点(1,2, 2)M处的梯度Mgradu_. (3) 设21, 0,( )1, 00,xxxf xex 求31(2)f xdx. 四、四、( (本题满分本题满分 6 6 分分.).) 求微分方程323xyy

2、ye的通解. 五、五、( (本题满分本题满分 8 8 分分) ) 计算曲面积分323232()()()xazdydzyaxdzdxzaydxdy,其中为上半球面222zaxy的上侧. 六、六、( (本题满分本题满分 7 7 分分) ) 设( )0fx,(0)0f,证明对任何120,0 xx,有1212()( )()f xxf xf x. 七、七、( (本题满分本题满分 8 8 分分) ) 在变力Fyzzxxyijk的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面 2222221xyzabc上第一卦限的点( , ,)M ,问当, , 取何值时,力F所做的功W最大?并求出W的最大值. 八、八、( (本题满分

3、本题满分 7 7 分分) ) 设向量组123、线性相关,向量组234、线性无关,问： (1) 1能否由23、线性表出？证明你的结论. (2) 4能否由123、线性表出？证明你的结论. 九、九、( (本题满分本题满分 7 7 分分) ) 设 3 阶矩阵A的特征值为1231,2,3,对应的特征向量依次为 1231111 ,2 ,3149 ,又向量123 , (1) 将用123, 线性表出. (2) 求nA(n为自然数). 十、填空题十、填空题( (本题满分本题满分 6 6 分分, ,每小题每小题 3 3 分分.).) (1) 已知1( )( )( )4P AP BP C,()0P AB ,1()(

4、)16P ACP BC,则事件A、B、 C全不发生的概率为_. (2) 设随机变量X服从参数为 1 的指数分布,则数学期望2()XE Xe_. 十一、十一、( (本题满分本题满分 6 6 分分) ) 设随机变量X与Y独立,X服从正态分布2( ,)N ,Y服从, 上的均匀分布,试求ZXY的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数( )x表示,其中 221( )2txxedt). 19921992 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析解析 一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515

5、 分分.).) (1)【答案】sin()sin()x yx yeyxyexxy 【解析】函数( )yy x是一个隐函数,即它是由一个方程确定,写不出具体的解析式. 方程两边对x求导,将y看做x的函数,得(1)sin()()0 x yeyxy xyy.解出y,即 sin()sin()x yx ydyeyxyydxexxy . 【相关知识点】1.复合函数求导法则： 如果( )ug x在点x可导,而( )yf x在点( )ug x可导,则复合函数( )yf g x在点x可导,且其导数为 ( )( )dyf ug xdx 或 dydy dudxdu dx. 2.两函数乘积的求导公式： ( )( )(

6、)( )( )( )f xg xfxg xf xg x. (2)【答案】21,2, 29 【解析】对函数u求各个分量的偏导数,有 2222uxxxyz；2222uyyxyz；2222uzzxyz. 由函数的梯度(向量)的定义,有 2221,2 ,2 ,2uuugraduxyzxyzxyz, 所以 222122,4, 41,2, 212( 2)9Mgradu . 【相关知识点】复合函数求导法则： 如果( )ug x在点x可导,而( )yf x在点( )ug x可导,则复合函数( )yf g x在点x可导,且其导数为 ( )( )dyf ug xdx 或 dydy dudxdu dx. (3)【答

7、案】212 【解析】x是, 区间的端点,由收敛性定理狄利克雷充分条件知,该傅氏级数在x处收敛于 22111 (0)(0) 1 1222ff . 【相关知识点】收敛性定理狄利克雷充分条件： 函数( )f x在区间, l l上满足：(i) 连续,或只有有限个第一类间断点；() 只有有限个极值点.则( )f x在, l l上的傅里叶级数收敛,而且 01(cossin)2nnnannaxbxll ( ), (, )( )1(0)(0) , (, )( )21(0)(0) , .2f xxl lf xf xf xxl lf xflf lxl 若为的连续点,若为的第一类间断点,若 (4)【答案】cosco

8、s ,yxxCx C为任意常数 【解析】这是标准形式的一阶线性非齐次方程,由于tan1| cos|xdxex,方程两边同乘1cos x,得 111coscosyyxCxx 积分. 故通解为coscos ,yxxCx C为任意常数. (5)【答案】1 【解析】因为矩阵A中任何两行都成比例(第i行与第j行的比为ijaa),所以A中的二阶子式全为 0,又因0,0iiab,知道1 10a b ,A中有一阶子式非零.故( )1r A . 【相关知识点】矩阵秩的定义：如果矩阵中存在r阶子式不为零,而所有的1r 阶子式全为零时,则此矩阵的秩为r. 二、选择二、选择题题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题

9、, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).) (1)【答案】(D) 【解析】 对于函数在给定点0 x的极限是否存在需要判定左极限0 xx和右极限0 xx 是否存在且相等,若相等,则函数在点0 x的极限是存在的. 11211111limlim(1)01xxxxxexex, 11211111limlim(1)1xxxxxexex , 0,故当1x时函数没有极限,也不是.故应选(D). (2)【答案】(C) 【解析】对原级数的通项取绝对值后,再利用等价无穷小2111 cos()2nnn , 22( 1) (1 cos)1 cos()2nnnnn , 又因为p级数：11pnn

10、当1p 时收敛；当1p 时发散. 所以有 22112nn收敛. 1( 1) (1 cos)nnn收敛.所以原级数绝对收敛.应选(C). 注：注： 对于正项级数1nna,确定无穷小na关于1n的阶(即与p级数作比较)是判断它的敛散性的一个常用方法.该题用的就是这个方法. (3)【答案】B 【解析】 先求出切线的方向向量,再利用方向向量与平面的法向量的数量积为 0 得切点对应的t值. 求曲线上的点,使该点处的切向量与平面24xyz的法向量1,2,1n 垂直,即可以让切线与平面平行. 曲线在任意点处的切向量2( ),( ), ( )1, 2 ,3x ty t z ttt,0nn ,即 31430tt

11、,解得 11,3tt.(对应于曲线上的点均不在给定的平面上) 因此,只有两条这种切线,应选(B). (4)【答案】(C) 【解析】 因33x处处任意阶可导,只需考查2|( )xxx,它是分段函数,0 x是连接点. 所以,写成分段函数的形式,有 33,0,( ), 0,xxxxx 对分段函数在对应区间上求微分, 223,0,( )3, 0,xxxxx 再考查( )x在连接点0 x处的导数是否存在,需要根据左导数和右导数的定义进行讨论. 30(0)()0 xx,30(0)()0(0)0 xx , 即 223,0,( )3, 0.xxxxx 同理可得 6 ,0,( )6 , 0,x xxxx (0)

12、0,即 6 ,0( )6|6 , 0 x xxxxx. 对于yx有(0)1,(0)1.yy 所以yx在0 x不可导,(0)不存在,应选(C). (5)【答案】(A) 【解析】1,2向量对应的分量不成比例,所以1,2是0Ax 两个线性无关的解,故( )2nr A.由3n知( )1r A . 再看(A)选项秩为 1；(B)和(C)选项秩为 2；而(D)选项秩为 3.故本题选(A). 【相关知识点】对齐次线性方程组0Ax ,有定理如下: 对矩阵A按列分块,有12nA, ,则0Ax 的向量形式为 11220nnxxx. 那么, 0Ax 有非零解 12n, 线性相关 12nr,n r An. 三、三、(

13、 (本题共本题共 3 3 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,满分满分 1515 分分.).) (1)【解析】由等价无穷小有0 x时,2221111()22xxx, 原式=20021 sin1 sinlimlim1112xxxxexexxx , 上式为 “00” 型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有 原式00cossinlimlim1xxxxexexx洛必达洛必达1 011. (2) 【解析】 这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数,重要的是要分清函数是如何复合的. 由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,所以本题可以先求zx,再求()

14、zyx. 由复合函数求导法则得 221212(sin )()sin2xxzfeyfxyfeyfxxxx, 212(sin2 )xzf eyfxx yy 111212122(cos2 )sincos(cos2 )2xxxxf eyfy eyf eyf eyfyx 21112221sincos2( sincos )4cosxxxfeyyfeyyxyfxyfey. 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数( , ),( , )ux y vx y都在点( , )x y具有对x及对y的偏导数,函数( , )zf u v在对应点( , )u v具有连续偏导数,则复合函数 ( ( , ),( , )zf

15、x yx y在点( , )x y的两个偏导数存在,且有 12zzuzvuvffxuxv xxx ； 12zzuzvuvffyuyv yyy . (3)【解析】分段函数的积分应根据积分可加性分段分别求积分.另外,被积函数的中间变量非积分变量,若先作变量代换,往往会简化计算. 令2xt,则.dxdt当1x时,1t ；当3x 时,1t ,于是 310121110(2)( )1tf xdxf t dtt dte dt分段01301171.33tttee 四、四、( (本题满分本题满分 6 6 分分.).) 【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程,所对应的齐次方程的特征方程 223(1)(3)0r

16、rrr有两个根为11,r 23r ,而非齐次项2,3xer 为单 特征根,因而非齐次方程有如下形式的特解3xYx ae,代入方程可得14a ,故所求通解为33124xxxxyC eC ee,其中12,C C为常数. 【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设*( )yx是二阶线性非齐次方程 ( )( )( )yP x yQ x yf x的一个特解.( )Y x是与之对应的齐次方程 ( )( )0yP x yQ x y的通解,则*( )( )yY xy x是非齐次方程的通解. 2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解( )Y x,可用特征方程法求解：

17、即( )( )0yP x yQ x y中的( )P x、( )Q x均是常数,方程变为0ypyqy.其特征方程写为20rprq,在复数域内解出两个特征根12,r r； 分三种情况： (1) 两个不相等的实数根12,r r,则通解为1212;rxr xyC eC e (2) 两个相等的实数根12rr,则通解为112;rxyCC x e (3) 一对共轭复根1,2ri,则通解为12cossin.xyeCxCx其中12,C C为常数. 3.对于求解二阶线性非齐次方程( )( )( )yP x yQ x yf x的一个特解*( )yx,可用待定系数法,有结论如下： 如果( )( ),xmf xP x

18、e则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*( )( )kxmy xx Qx e 的特解,其中( )mQx是与( )mP x相同次数的多项式,而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取 0、1 或 2. 如果( ) ( )cos( )sinxlnf xeP xxP xx,则二阶常系数非齐次线性微分方程( )( )( )yp x yq x yf x的特解可设为 *(1)(2)( )cos( )sinkxmmyx eRxxRxx, 其中(1)( )mRx与(2)( )mRx是m次多项式,max,ml n,而k按i(或i)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1. 五、五、

19、( (本题满分本题满分 8 8 分分) ) 【解析】将原式表成IPdydzQdzdxRdxdy,则2223()PQRxyzxyz. 以考虑用高斯公式来求解,但曲面不是封闭的,要添加辅助面.如果本题采用投影法计算是比较复杂的,故不采用. 添加辅助面222:0()S zxya,法向量朝下,S与围成区域,S与取的外法向量.在上用高斯公式得 323232222()()()3()SIxazdydzyax dzdxzaydxdyxyzdV. 用球坐标变换求右端的三重积分得 22222220003()3sinaxyzdVddd 455200163 2sin3 2155addaa . 注意S垂直于平面yOz与

20、平面xOz,将积分投影到xOy平面上,所以左端S上的曲面积分为 SPdydzdxQdzdxRdxdy 2200( , ,0)xySSDR x ydxdyay dxdyay dxdy 22200sinaadrrdr (极坐标变换) 4223500sin44aaadr draa . 因此 5556295420Iaaa. 【相关知识点】1.高斯公式：设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成,函数 ( , , )P x y z、( , , )Q x y z、( , , )R x y z在上具有一阶连续偏导数,则有 ,PQRdvPdydzQdzdxRdxdyxyz 或 coscoscos,PQRdvPQR

21、dSxyz 这里是的整个边界曲面的外侧,cos、cos、cos是在点( , , )x y z处的法向量的方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式. 2.对于球面坐标与直角坐标的关系为： sincos ,sinsin ,cos ,xryrzr 其中为向量与z轴正向的夹角,0；为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到向量在xOy平面上投影线段的角,02；r为向量的模长,0r. 球面坐标系中的体积元素为2sin,dvrdrd d 则三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式是： 2( , , )( sincos , sinsin , cos )sin.f x y z dxdydzf rrrrdrd d 六、

22、六、( (本题满分本题满分 7 7 分分) ) 【解析】证法证法一一: : 用拉格朗日中值定理来证明. 不妨设210 xx,要证的不等式是1221()()( )(0)f xxf xf xf. 在10,x上用中值定理,有111( )(0)( ) ,0f xffxx； 在212,x xx上用中值定理,又有1221212()()( ) ,f xxf xfx xxx 由( )0,fx所以( )fx单调减,而12xx,有( )( )ff,所以 12211()()( )(0)( )f xxf xf xff x, 即1212()( )()f xxf xf x. 证法证法二：二：用函数不等式来证明.要证11(

23、)( )( ),0f xxf xf x x,构造辅助函数 11( )( )( )()xf xf xf xx, 则1( )( )()xfxfxx.由( )0,( )fxfx单调减,1( )(),( )0fxfxxx. 由此,11( )(0)( )(0)( )0(0)xf xff xx.改x为2x即得证. 【相关知识点】拉格朗日中值定理:如果函数( )f x满足在闭区间 , a b上连续,在开区间, a b内可导,那么在, a b内至少有一点()ab,使等式 ( )( )( )()f bf afba 成立. 七、七、( (本题满分本题满分 8 8 分分) ) 【解析】(1)先求出在变力F的作用下质

24、点由原点沿直线运动到点( , , )M 时所作的功W的表达式.点O到点M的线段记为L,则 LLWF dsyzdxzxdyxydz. (2)计算曲线积分：L的参数方程是 ,xt yt ztt从0到1, 11222200()3Wtttdtt dt. 化为最值问题并求解： 问题变成求W在条件2222221(0,0,0)abc下的最大值与最大值点. 用拉格朗日乘子法求解.拉格朗日函数为222222( , , , )1Fabc ,则有 22222222220,20,20,10.FaFbFcFabc 解此方程组：对前三个方程,分别乘以, , 得 222222,abc(0时) 代入第四个方程得 111,33

25、3abc. 相应的 1393 3Wabcabc.当0时相应的, , 得 0W . 因为实际问题存在最大值,所以当111( , , )(,)333ab 时W取最大值39abc. 【相关知识点】拉格朗日乘子法： 要找函数( , )zf x y在附加条件( , )0 x y下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数 ( , )( , )( , ),L x yf x yx y 其中为参数.求其对x与y的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来： ( , )( , )0,( , )( , )0,( , )0.xxyyfx yx yfx yx yx y 由这方程组解出, x y及,这样得到的( , )x

26、y就是函数( , )f x y在附加条件( , )0 x y下的可能极值点. 八、八、( (本题满分本题满分 7 7 分分) ) 【解析】(1) 1能由23、线性表出. 因为已知向量组234、线性无关,所以23、线性无关,又因为123、线性相关,故1能由23、线性表出. (2) 4不能由123、线性表出, 反证法：若4能由123、线性表出,设 4112233kkk. 由(1)知, 1能由23、线性表出,可设11223ll,那么代入上式整理得 41 1221 233()()k lkk lk. 即4能由23、线性表出,从而234、线性相关,这与已知矛盾. 因此,4不能由123、线性表出. 【相关知

27、识点】向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数12mk ,k ,k,使11220mmkkk,则称12m, 线性相关；否则,称12m, 线性无关 九、九、( (本题满分本题满分 7 7 分分) ) 【解析】(1)设1 12233xxx,即是求此方程组的解. 对增广矩阵123( ,) 作初等行变换, 第一行乘以1分别加到第二行和第三行上,再第二行乘以3加到第三行上,第三行自 乘12,有 1 1 111 1 111 1 11123 10120012014930382001 1, 第三行乘以2、1分别加到第二行和第一行上,再第二行乘以1加到第一行上,有 增广矩阵10020102001 1.

28、 解出31x ,22x ,12x ,故12322. (2) 由为A的特征值可知,存在非零向量使A,两端左乘A,得 22()()AA AAA ,再一直这样操作下去,有nnA . 因为0,故0.按特征值定义知n是nA的特征值,且为相应的特征向量. 所以有,(1,2,3)nniiiiiiAAi ,据(1)结论12322,有 123123(22)22AAAAA, 于是 123123112233(22)2222nnnnnnnnAAAAA 121322231112 12 2233223149223nnnnnnnn . 【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵,若存在数及非零的n维列向量X使

29、得AXX成立,则称是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特征向量. 十、填空题十、填空题( (本题满分本题满分 6 6 分分, ,每小题每小题 3 3 分分.).) 【解析】由条件概率和乘法公式：从()0P AB ,可知()() (|)P ABCP AB P AB C0, 由加法公式： ()( )( )( )()()()()P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC 1111150044416168, 故 3()()1()8P ABCP ABCP ABC . (2)【解析】依题意,随机变量X服从参数为1的指数分布,故X的概率密度为 ,0,( )0,0,xexf xx 根据

30、连续型随机变量函数的数学期望的求法,得出 2220()() ( )()XxxxE Xexef x dxxee dx 30014133xxxe dxedx . 十一、十一、( (本题满分本题满分 6 6 分分) ) 【解析】方法一：方法一：利用分布函数求密度函数： 首先,因2( ,)XN ,所以X的密度函数为22()1( )2xXfxe, 因Y服从, 上的均匀分布,故Y的密度函数为11( )()2Yfy . 因为随机变量X与Y相互独立,所以二维随机变量(, )X Y的联合概率密度为 ( , )( )( )XYf x yfx fy.要求Z的密度函数,先求Z的分布函数 ( )()()ZFzP ZzP

31、 XYz( , )x y zf x y dxdy ( )( )XYx y zfx fy dxdy 22()1122xx y zedxdy . 2222()()11112222xxz yz ydyedxdyedx 12zydy(由标准正态分布来表示一般正态分布) 求出Z的分布函数,因此,对分布函数求导得密度函数,Z的密度函数为 11( )( )2ZZzyfzFzdy 其中( )x是标准正态分布的概率分布密度.由于( )x是偶函数,故有 zyyz 于是 111( )22Zyzzzfzdy. 最终用标准正态分布函数( )x表示出来ZXY的概率分布密度. 方法二方法二：用卷积公式直接计算： 直接应用相互独立随机变量之和密度的卷积公式,求( )Zfz更为简单. 因为随机变量X与Y相互独立,由卷积公式 1( )()( )2ZXYfzfzy fy dy 2222()()11112222z yz yedyedy 22()1122yzedy 12yzdy 112yzdy 12zz. 最终用标准正态分布函数( )x表示出来ZXY的概率分布密度.