1989考研数学二真题解析【无水印】.pdf

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1、19891989 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、填空题一、填空题( (每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 2121 分分. .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上. .) ) (1) 0lim cot2xxx=.(2) 0sinttdt=.(3) 曲线0(1)(2)xyttdt=在点(0,0)处的切线方程是.(4) 设( )(1)(2)()f xx xxxn=+,则(0)f =.(5) 设( )f x是连续函数,且10( )2( )f xxf t dt=+,则( )f x =.(6) 设2,0( )sin,0abxxf xbxxx

2、+=在0 x =处连续,则常数a与b应满足的关系是.(7) 设tan yxy=+,则dy =.二、计算题二、计算题( (每小题每小题 4 4 分分, ,满分满分 2020 分分. .) ) (1) 已知arcsinxye=,求y.(2) 求2lndxxx.(3) 求10lim(2sincos )xxxx+. (4) 已知2ln(1),arctan ,xtyt =+=求dydx及22d ydx. (5) 已知1(2),(2)02ff =及20( )1f x dx =,求120(2 )x fx dx.三、选择题三、选择题( (每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1818 分分. .每小题给出

3、的四个选项中每小题给出的四个选项中, ,只有一项符合题目要求只有一项符合题目要求, ,把把所选项前的字母填在题后的括号内所选项前的字母填在题后的括号内. .) ) (1) 设0 x 时,曲线1sinyxx= ( ) (A) 有且仅有水平渐近线 (B) 有且仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线,也有铅直渐近线 (D) 既无水平渐近线,也无铅直渐近线 (2) 若2350ab,则方程532340 xaxbxc+= ( ) (A) 无实根 (B) 有唯一实根 (C) 有三个不同实根 (D) 有五个不同实根 (3) 曲线cos ()22yxx=与x轴所围成的图形,绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为 (

4、 ) (A) 2(B) (C) 22(D) 2(4) 设两函数( )f x及( )g x都在xa=处取得极大值,则函数( )( ) ( )F xf x g x=在xa=处( ) (A) 必取极大值 (B) 必取极小值 (C) 不可能取极值 (D) 是否取极值不能确定 (5) 微分方程1xyye=+的一个特解应具有形式(式中, a b为常数) ( ) (A) xaeb+ (B) xaxeb+ (C) xaebx+ (D) xaxebx+(6) 设( )f x在xa=的某个领域内有定义,则( )f x在xa=处可导的一个充分条件是( )(A) 1lim ()( )hh f af ah+存在 (B)

5、 0(2 )()limhf ahf ahh+存在 (C) 0()()lim2hf ahf ahh+存在 (D) 0( )()limhf af ahh存在 四、四、( (本题满分本题满分 6 6 分分) ) 求微分方程2(1)xxyx ye+=(0)x +满足(1)0y=的解.五、五、( (本题满分本题满分 7 7 分分) ) 设0( )sin() ( )xf xxxt f t dt=,其中f为连续函数,求( )f x.六、六、( (本题满分本题满分 7 7 分分) ) 证明方程0ln1 cos2xxxdxe=在区间(0,)+内有且仅有两个不同实根.七、七、( (本大题满分本大题满分 1111

6、分分) ) 对函数21xyx+=,填写下表： 单调减少区间 单调增加区间 极值点 极值 凹()区间 凸()区间 拐点 渐近线 八、八、( (本题满分本题满分 1010 分分) ) 设抛物线2yaxbxc=+过原点,当01x时,0y ,又已知该抛物线与x轴及直线1x =所围图形的面积为13,试确定, ,a b c使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小. 19891989 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、填空题一、填空题( (每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 2121 分分.).) (1)【答案】12 【解析】这是个0型未定

7、式,可将其等价变换成00型,从而利用洛必达法则进行求解. 方法一：方法一： 000cos2lim cot2limlimcos2sin2sin2xxxxxxxxxxx= 0011limlimsin22cos22xxxxx=洛. 方法二：方法二： 00cos2lim cot2limsin2xxxxxxx= 0012121limcos2lim.2sin22sin22xxxxxxx= 【相关知识点】0sinlimxxx是两个重要极限中的一个,0sinlim1xxx=. (2)【答案】 【解析】利用分部积分法和牛顿-莱布尼茨公式来求解, 0sinttdt=000( cos )cos( cos )tdtt

8、tt dt=分部法 00sin(00)t=+=+=. (3)【答案】2yx= 【解析】要求平面曲线的切线,首先应求出该切线的斜率,即0()fx. 这是一个积分上限函数,满足积分上限函数的求导法则,即(1)(2)yxx =. 由y在其定义域内的连续性,可知0(0 1)(02)2xy=. 所以,所求切线方程为02(0)yx=,即2yx=. (4)【答案】!n 【解析】方法一：方法一：利用函数导数的概念求解,即 00( )(0)(1)(2)()0(0)limlimxxf xfx xxxnfxx+= 0lim(1)(2)()1 2!xxxxnnn=+= =. 方法二：方法二：利用其导数的连续性,由复合

9、函数求导法则可知, ( )(1)(2)()1 (2)()fxxxxnxxxn=+ + (1)(2)(1) 1x xxxn+, 所以 (0)(0 1)(02)(0)00fn=+1 2!nn= =. (5)【答案】1x 【解析】由定积分的性质可知,10( )f t dt和变量没有关系,且( )f x是连续函数,故 10( )f t dt为一常数,为简化计算和防止混淆, 令10( )f t dta=,则有恒等式( )2f xxa=+,两边 0 到 1 积分得 1100( )(2 )f x dxxa dx=+, 即 111112000001(2 )222axa dxxdxadxxa x=+=+=+12

10、2a=+, 解之得12a = ,因此( )21f xxax=+=. (6)【答案】ab= 【解析】如果函数在0 x处连续,则函数在该点处的左右极限与该点处函数值必然相等, 由函数连续性可知(0)(0)0ffaba=+ =. 而 000sinsinsin(0)limlimlimxxxbxbxbxfbbbxbxbx+=, 如果( )f x在0 x =处连续,必有(0)(0)ff+=,即ab=. (7)【答案】2()dxxy+ 【解析】这是个隐函数,按照隐函数求导法,两边微分得2sec y dydxdy=+, 所以 222sec1tan()dxdxdxdyyyxy=+,(0 xy+). 二、计算题二

11、、计算题( (每小题每小题 4 4 分分, ,满分满分 2020 分分.).) (1)【解析】令xue=,vx= ,则arcsinarcsinxyeu=,由复合函数求导法则, 2221111(arcsin )2111vvyuuevexuuu=, 即 21121xxyexe =. 【相关知识点】复合函数求导法则：( ( )yf x=的导数( ( )( )yf xfx=. (2)【解析】利用不定积分的换元积分法, 22ln1lnlnlndxdxCxxxx= +. (3)【解析】可将函数转化称为熟悉的形式来求其极限, 1100lim(2sincos )lim1 (2sincos1)xxxxxxxx+

12、=+ 12sincos12sincos10lim1 (2sincos1)xxxxxxxx+=+, 令 2sincos1xxt+ =,则当0 x 时,0t , 则 112sincos100lim1 (2sincos1)lim1xxtxtxxt+=+, 这是个比较熟悉的极限,即10lim(1)ttte+=. 所以 012sincos1lim0lim(2sincos )xxxxxxxxe+=, 而 002sincos12cossinlimlim21xxxxxxx+=洛, 所以 012sincos1lim20lim(2sincos )xxxxxxxxee+=. (4)【解析】这是个函数的参数方程, 2

13、2111221dydydttdxtdxtdtt+=+, 2222321111211()()()2222(2 )41d ydddtdtdxtdxdxtdttdxdttttdtt+= +. 【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果( )( )xtyt=,则( )( )dytdxt=. (5)【解析】利用定积分的分部积分法求解定积分, 111122220000111(2 )(2 )(2 )(2 )222x fx dxx dfxxfxfx dx=分部法 1011(2)0(2 )2fxfx dx= 1011(2)(2 )22fxdfx= ()1100111(2)(2 )(2 )222fxfxfx

14、dx= 10111(2)(2)(2 )222fffx dx=+, 令2tx=,则11,22xt dxdt=, 所以 12001(2 )( )2fx dxf t dt=. 把1(2),(2)02ff =及20( )1f x dx =代入上式,得 11200111(2 )(2)(2)(2 )222x fx dxfffx dx=+ 20111 1(2)(2)( )222 2fff t dt=+ 11 11 101022 22 2= + =. 三、选择题三、选择题( (每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1818 分分.).) (1)【答案】(A) 【解析】函数1sinyxx=只有间断点0 x

15、=. 001limlimsinxxyxx+=,其中1sinx是有界函数.当0 x+时,x为无穷小,无穷小量和一个有界函数的乘积仍然是无穷小,所以 001limlimsin0 xxyxx+=, 故函数没有铅直渐近线. 01sin1sinlimlimlim11xxxtxytxtx+= , 所以1y =为函数的水平渐近线,所以答案为(A). 【相关知识点】铅直渐近线：如函数( )yf x=在其间断点0 xx=处有0lim( )xxf x= ,则0 xx=是函数的一条铅直渐近线； 水平渐近线：当lim( ),(xf xa a=为常数）,则ya=为函数的水平渐近线. (2)【答案】(B) 【解析】判定方

16、程( )0f x =实根的个数,其实就是判定函数( )yf x=与x有几个交点,即对函数图形的描绘的简单应用, 令 53( )234f xxaxbxc=+, 则 42( )563fxxaxb=+. 令 2tx=,则422( )563563( )fxxaxbtatbf t=+=+=, 其判别式22(6 )4 5 312(35 )0abab = =. 所以 53( )234f xxaxbxc=+在(,)x +是严格的单调递增函数. 又 53lim( )lim(234 )xxf xxaxbxc=+= 53lim( )lim(234 )xxf xxaxbxc+=+= + 所以利用连续函数的介值定理可知

17、,在(,) +内至少存在一点0(,)x +使得0()0f x=,又因为( )yf x=是严格的单调函数,故0 x是唯一的. 故( )0f x =有唯一实根,应选(B). (3)【答案】(C) 【解析】如图cos ()22yxx=的图像,则当cosyx=绕x轴旋转一周,在x处取微增dx,则微柱体的体积2cosdVxdx=,所以体积V有 222cosVxdx= 222222cos21cos22242xdxxd xdx+=+ 22222sin20()422 222xx =+=+=. 因此选(C). (4)【答案】(D) 【解析】 题中给出的条件中,除了一处极值点外均未指明函数其它性质,为了判定的方便

18、,可以举出反例而排除. 若取2( )( )()f xg xxa= ,两者都在xa=处取得极大值 0, 而4( )( ) ( )()F xf x g xxa=在xa=处取得极小值,所以(A)、(C)都不正确. 若取2( )( )1 ()f xg xxa= ,两者都在xa=处取得极大值 1, 而22( )( ) ( )1 ()F xf x g xxa=在xa=处取得极大值 1,所以(B)也不正确,从而选(D). (5)【答案】(B) 【解析】 微分方程1xyye=+所对应的齐次微分方程的特征方程为210r =,它的两个根是121,1rr= . 而形如xyye=必有特解1xYx ae=；1yy=必有

19、特解1Yb=. 由叠加得原方程必有特解xYx aeb=+,应选(B). (6)【答案】(D) 【解析】利用导数的概念判定( )f x在xa=处可导的充分条件. (A)等价于0()( )limtf atf at +存在,所以只能保证函数在xa=右导数存在； (B)、(C)显然是( )f x在xa=处可导的必要条件,而非充分条件, 如 1cos,00,0 xyxx=在0 x =处不连续,因而不可导,但是 0001111cos(0)cos(0)coscos()()limlimlim0222hhhf ahf ahhhhhhhh+=, 0001111cos()cos(0)coscos(2 )()2222

20、limlimlim0hhhf ahf ahhhhhhhh+=均存在； (D)是充分的： 00()( )( )()limlimxhxhf axf af af ahxh = +=存在0( )()( )limhf af ahfah=存在,应选(D). 四、四、( (本题满分本题满分 6 6 分分) ) 【解析】所给方程为一阶线性非齐次微分方程,先写成标准形式 211(1)xyyexx+=, 通解为 11(1)(1)21()dxdxxxxyee edxCx=+211()()xxxxxxeeedxCeCxxex=+=+. 代入初始条件(1)0y=,得Ce= ,所求解为 ()xxeyeex=. 【相关知识

21、点】一阶线性非齐次微分方程的标准形式为( )( )yp x yq x+=,其通解公式为 ( )( )( )p x dxp x dxyeq x edxC=+,其中C为常数. 五、五、( (本题满分本题满分 7 7 分分) ) 【解析】先将原式进行等价变换,再求导,试着发现其中的规律, 000( )sin() ( )sin( )( )xxxf xxxt f t dtxxf t dttf t dt=+, 所给方程是含有未知函数及其积分的方程,两边求导,得 00( )cos( )( )( )cos( )xxfxxf t dtxf xxf xxf t dt=+=, 再求导,得 ( )sin( )fxxf

22、 x= ,即 ( )( )sinfxf xx+= , 这是个简单的二阶常系数非齐次线性微分方程,对应的齐次方程的特征方程为210r + =, 此特征方程的根为ri= ,而右边的sin x可看作sinxex,0,1,ii= 为特征根,因此非齐次方程有特解sincosYxaxxbx=+. 代入方程并比较系数,得10,2ab=,故cos2xYx=,所以 12( )cossincos2xf xcxcxx=+. 又因为(0)0,(0)1ff =,所以1210,2cc=,即 1( )sincos22xf xxx=+. 六、六、( (本题满分本题满分 7 7 分分) ) 【解析】方法一：方法一：判定方程(

23、)0f x =等价于判定函数( )yf x=与x的交点个数. 令 0( )ln1 cos2xf xxxdxe=+, 其中01 cos2xdx是定积分,为常数,且被积函数1 cos2x在(0, )非负,故 01 cos20 xdx,为简化计算,令01 cos20 xdxk=,即( )lnxf xxke=+, 则其导数11( )fxxe=,令( )0fx=解得唯一驻点xe=, 即 ( )0,0( )0,fxxefxex. 又因为 00lim( )lim(ln)lim( )lim(ln)xxxxxf xxkexf xxke+=+= =+= , 由连续函数的介值定理知在(0, ) e与( ,)e +各

24、有且仅有一个零点(不相同), 故方程0ln1 cos2xxxdxe=在(0,)+有且仅有两个不同实根. 方法二：方法二：2001 cos2sinxdxxdx=,因为当0 x时,sin0 x , 所以 20002sin2sin2cos2 20 xdxxdxx=. 其它同方法一. 七、七、( (本大题满分本大题满分 1111 分分) ) 【解析】函数21xyx+=的定义域为()(),00,+,将函数化简为211,yxx=+ 则 32243321126216(1),(2)yyxxxxxxxx= =+=+. 令0y =,得2x = ,即 2212(1)0,( 2,0),12(1)0,(, 2)(0,)

25、,yxxxyxxx = = + =+ 为凹，为凸， y在3x = 处左右变号,所以23, ( 3)9xy= = 为函数的拐点. 又 20011limlim(),xxyxx=+= 故0 x =是函数的铅直渐近线； 211limlim()0,xxyxx=+=故0y =是函数的水平渐近线. 填写表格如下： 单调减少区间 (, 2)(0,) + 单调增加区间 ( 2,0) 极值点 2x = 极值 14y = 凹区间 ( 3,0)(0,)+ 凸区间 (, 3) 拐点 2( 3,)9 渐近线 0,0 xy= 八、八、( (本题满分本题满分 1010 分分) ) 【解析】由题知曲线过点(0,0),得0c =

26、,即2yaxbx=+. 如图所示,从xxdx+的面积dSydx=,所以 11123200011()32Sydxaxbx dxaxbx=+=+ 32ab=+, 由题知 1323ab+=,即223ab=. 当2yaxbx=+绕x轴旋转一周,则从xxdx+的体积2dVy dx=,所以 旋转体积 1254232211222000()()523523a xabxb xaabbVy dxaxbxdx=+=+=+, b用a代入消去b,得224(1)(1)5273aaaaV=+,这是个含有a的函数,两边对a求导得 4(1)27 5dVada=+, 令其等于 0 得唯一驻点54a = ,dVda在该处由负变正,此点为极小值点,故体积最小, 这时32b =,故所求函数225342yaxbxcxx=+= +.