1998考研数一真题及解析.pdf

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1、 1998 1998 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题数学一试题 一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .) ) (1) 20112limxxxx . (2) 设1()(),zf xyyxyfx具有二阶连续导数,则2zx y . (3) 设L为椭圆221,43xy其周长记为a,则22(234)Lxyxyds . (4) 设A为n阶矩阵,0A ,*A为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.若A有特征值,则* 2()AE必有特征值 . (5) 设平面区域D由曲线1yx及直线20,1,yx

2、xe所围成,二维随机变量(, )X Y在区域D上服从均匀分布,则(, )X Y关于X的边缘概率密度在2x处的值为 _ . 二二、选择题、选择题( (本题共本题共5 5小题小题, ,每小题每小题3 3分分, ,共共1515分分. .) ) (1) 设( )f x连续,则220()xdtf xt dtdx ( ) (A) 2()xf x (B) 2()xf x (C) 22()xf x (D) 22()xf x (2) 函数23( )(2)f xxxxx不可导点的个数是 ( ) (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 (3) 已知函数( )yy x在任意点x处的增量2,1y xyx 且当0

3、 x 时,是x的高阶无穷小,(0)y,则(1)y等于 ( ) (A) 2 (B) (C) 4e (D) 4e (4) 设矩阵111222333abcabcabc是满秩的,则直线333121212xaybzcaabbcc与直线 111232323xaybzcaabbcc ( ) (A) 相交于一点 (B) 重合 (C) 平行但不重合 (D) 异面 (5) 设A B、是两个随机事件,且0( )1, ( )0, (|)(|),P AP BP B AP B A则必有( ) (A) (|)(|)P A BP A B (B) (|)(|)P A BP A B (C) ()( ) ( )P ABP A P

4、B (D) ()( ) ( )P ABP A P B 三、三、( (本题满分本题满分5 5分分) ) 求直线11:111xyzL在平面:210 xyz 上的投影直线0L的方程,并求0L绕y轴旋转一周所成曲面的方程. 四、四、( (本题满分本题满分6 6分分) ) 确定常数,使在右半平面0 x上的向量42242( , )2()()A x yxy xyixxyj为某二元函数( , )u x y的梯度,并求( , )u x y. 五、五、( (本题满分本题满分6 6分分) ) 从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用

5、下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m,体积为B,海水比重为,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为(0)k k .试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式 y= y v. 六、六、( (本题满分本题满分7 7分分) ) 计算212222(),()axdydzzadxdyxyz其中为下半球面222zaxy 的上侧,a为大于零的常数. 七、七、( (本题满分本题满分6 6分分) ) 求2sinsinsinlim.1112nnnnnnn 八、八、( (本题满分本题满分5 5分分) ) 设正项数列 na单调减少,且1( 1)nnna发散,试问级

6、数11()1nnna是否收敛？并说明理由. 九、九、( (本题满分本题满分6 6分分) ) 设( )yf x是区间0,1上的任一非负连续函数. (1) 试证存在0(0,1)x ,使得在区间00,x上以0()f x为高的矩形面积,等于在区间0,1x上以( )yf x为曲边的梯形面积. (2) 又设( )f x在区间(0,1)内可导,且2 ( )( ),f xfxx 证明(1)中的0 x是唯一的. 十、十、( (本题满分本题满分6 6分分) ) 已知二次曲面方程2222224xayzbxyxzyz,可以经过正交变换 xyPz 化为椭圆柱面方程2244,求, a b的值和正交矩阵P. 十一、十一、(

7、 (本题满分本题满分4 4分分) ) 设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组0kA x 有解向量,且10kA, 证明：向量组1,kAA是线性无关的. 十二、十二、( (本题满分本题满分5 5分分) ) 已知线性方程组 11 11221,2221 12222,221 122,220,0,( )0nnnnnnnnna xa xaxa xa xaxIa xa xax 的一个基础解系为11121,221222,212,2(,) ,(,) ,(,)TTTnnnnnnbbbbbbbbb,试写出线性方程组 1111221,222112222,221122,220,0,()0nnnnnnnnnb yb

8、ybyb yb ybyIIb yb yby 的通解,并说明理由. 十三、十三、( (本题满分本题满分6 6分分) ) 设两个随机变量,X Y相互独立,且都服从均值为0、方差为12的正态分布,求随机变量XY的方差. 十四、十四、( (本题满分本题满分4 4分分) ) 从正态总体2(3.4,6 )N中抽取容量为n的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大？ 附表：标准正态分布表221( )2tzzedt z 1.28 1.645 1.96 2.33 ( ) z 0.900 0.950 0.975 0.990 十五、十五、( (本题满分本题满

9、分4 4分分) ) 设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程. 附表：t分布表 ( )( )pP t ntnp p ( )ptn n 0.95 0.975 35 1.6896 2.0301 36 1.6883 2.0281 19981998年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分

10、.).) (1)【答案】14 【解析】方法方法1 1：用四则运算将分子化简,再用等价无穷小替换, 原式20112112lim112xxxxxxxx 220114lim112xxxxxx220211lim4xxx 222201112112lim24xxxxx . 方法方法2 2：采用洛必达法则. 原式02112limxxxx 洛0112 12 1lim2xxxx 2011lim41xxxxx011lim4xxxx0112 12 1lim4xxx 洛 011lim12 12 144xxx . 方法方法3 3：将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至2x项, 1x22111128xxox ,1x222111

11、28xxox , 从而 原式2222122011111122828limxxxoxxxoxx 222122014limxxoxoxx14 . (2)【答案】()()()yfxyxyyxy 【分析】因为1()(),zf xyyxyfx具有二阶连续导数,利用混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关,先求zx或zy均可,但不同的选择可能影响计算的繁简. 方法方法1 1：先求zx. 211()()()()()zyf xyyxyf xyfxyyxyxxxxx , 2221()()()11()()()()()11()()()()()()()().zyf xyfxyyxyx yyxxyfxy xfxyfxy

12、xxyyxyxxxfxyfxyyfxyxyyxyxxyfxyxyyxy 方法方法2 2：先求zy. 11()()()()()()()(),zf xyyxyfxy xxyyxyyy xxfxyxyyxy 22()()()()()().zzfxyxyyxyx yy xxyfxyxyyxy 方法方法3 3：对两项分别采取不同的顺序更简单些： 21()()1()()()()()()().zf xyyxyx yxyxyxfxy xyxyx xyfxyyxyxyyfxyxyyxy 评注：评注： 本题中, f中的中间变量均为一元,因此本题实质上是一元复合函数的求导,只要注意到对x求导时,y视为常数；对y求导

13、时,x视为常数就可以了. (3)【答案】12a 【解析】L关于x轴(y轴)对称,2xy关于y(关于x)为奇函数20Lxyds. 又在L上, 22222213412(34)1212 .43LLxyxyxydsdsa 因此, 原式222(34)12LLxydsxydsa. 【相关知识点】 对称性： 平面第一型曲线积分,lf x y ds,设,f x y在l上连续,如果l关于y轴对称,1l为l上0 x的部分,则有结论： 12,0,llf x y dsf x yxf x y dsf x yx关于 为偶函数,，关于 为奇函数. 类似地,如果l关于x轴对称,2l为l上0y 的部分,则有结论： 22,0,l

14、lf x y dsf x yyf x y dsf x yy关于 为偶函数,，关于 为奇函数. (4)【答案】 21A 【解析】方法方法1 1：设A的对应于特征值的特征向量为,由特征向量的定义有 ,(0)A. 由0A ,知0(如果0是A的特征值0A),将上式两端左乘A,得 A AAAA, 从而有 *,AA(即A的特征值为A). 将此式两端左乘A,得 22*AAAA. 又E,所以22*1AAE,故* 2()AE的特征值为21A. 方法方法2 2：由0A ,A的特征值0(如果0是A的特征值0A),则1A有特征值 O 1 2 2e x y 1yx 1(2, )2 1,A的特征值为A；* 2()AE的特

15、征值为21A. 【相关知识点】1.矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵,若存在数及非零的n维列向量X使得AXX成立,则称是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特征向量. 由为A的特征值可知,存在非零向量使A,两端左乘1A,得1A. 因为0,故0,于是有11A.按特征值定义知1是1A的特征值. 若AXX,则()()AkE XAXkXk X.即若是A的特征值,则 A kE的特征值是k. 2.矩阵A可逆的充要条件是0A ,且11AAA. (5)【答案】14 【解析】首先求(, )X Y的联合概率密度( , )f x y. 21( , )|1,0Dx yxeyx, 区域D的面积为22111ln

16、2.eeDSdxxx 1,( , ),( , )20, x yDf x y其他. 其次求关于X的边缘概率密度. 当1x或2xe时,( )0Xfx ； 当21xe时,1011( )( , )22xXfxf x y dydyx. 故1(2).4Xf 二、选择题二、选择题( (本题共本题共5 5小题小题, ,每小题每小题3 3分分, ,共共1515分分.).) (1)【答案】(A) 【解析】为变限所定义的函数求导数,作积分变量代换22,uxt 2:0:0txu x,222dud xttdt 12dtdut , 222022220001()( )211( )( ),22xxxxtf xt dt uxt

17、tf udttf u duf u du 2220022221()( )211()() 2(),22xxddtf xt dtf u dudxdxf xxf xxxf x 选(A). 【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若( )( )( )( )ttF tf x dx,( ) t,( ) t均一阶可导,则( )( )( )( )( )F ttfttft. (2)【答案】(B) 【解析】当函数中出现绝对值号时,就有可能出现不可导的“尖点”,因为这时的函数是分段函数.22( )(2)1f xxxx x,当0, 1x 时( )f x可导,因而只需在0, 1x 处考察( )f x是否可导.在这些点我

18、们分别考察其左、右导数. 由 22222222(2) (1),1,(2) (1),10,( )(2) (1),01,(2) (1),1,xxxxxxxx xxf xxxxxxxxx xx 22111(2) (1)0( 1)limlim011xxf xfxxxxfxx , 22111(2) (1)0( 1)limlim011xxf xfxxxxfxx , 即( )f x在1x 处可导.又 22000(2) (1)0(0)limlim2xxf xfxxx xfxx, 22000(2) (1)0(0)limlim2xxf xfxxxxfxx , 所以( )f x在0 x处不可导. 类似,函数( )f

19、 x在1x处亦不可导.因此( )f x只有2个不可导点,故应选(B). 评注：评注：本题也可利用下列结论进行判断： 设函数( )( )f xxax,其中( )x在xa处连续,则( )f x在xa处可导的充要条件是( )0a. (3)【答案】(D) 【解析】由2,1y xyx 有2.1yyxxx 令0,x 得是x的高阶无穷小,则0lim0 xx , 0limxyx 20lim1xyxx 200limlim1xxyxx 21yx 即 21dyydxx. 分离变量,得 2,1dydxyx 两边积分,得 lnarctanyxC,即arctan1.xyC e 代入初始条件(0),y得 arctan011

20、0.yCeC所以,arctanxye. 故 arctan1(1)xxyearctan1e4.e 【相关知识点】无穷小的比较： 设在同一个极限过程中,( ),( )xx为无穷小且存在极限 ( )lim( )xlx, (1) 若0,l 称( ),( )xx在该极限过程中为同阶无穷小； (2) 若1,l 称( ),( )xx在该极限过程中为等价无穷小,记为( )( )xx； (3) 若0,l 称在该极限过程中( )x是( )x的高阶无穷小,记为( )( )xox. 若( )lim( )xx不存在(不为),称( ),( )xx不可比较. (4)【答案】(A) 【解析】设3331121212:xaybz

21、cLaabbcc,1112232323:xaybzcLaabbcc,题设矩阵 111222333abcabcabc是满秩的,则由行列式的性质,可知 11112121222223232333333312230abcaabbccabcaabbccabcabc行减 行，行减 行, 故向量组121212(,)aa bb cc与232323(,)aa bb cc线性无关,否则由线性相关的定义知,一定存在12,k k,使得11212122232323(,)(,)0k aa bb cck aa bb cc,这样上面行列式经过初等行变换值应为零,产生矛盾. 121212(,)aa bb cc与232323(,

22、)aa bb cc分别为12,L L的方向向量,由方向向 量线性相关,两直线平行,可知12,L L不平行. 又由333121212xaybzcaabbcc得 333121212111xaybzcaabbcc , 即 312312312121212xaaaybbbzcccaabbcc. 同样由111232323xaybzcaabbcc,得 111232323111xaybzcaabbcc , 即 123323323232323xaaaybbbzcccaabbcc, 可见12,L L均过点213213213,aaa bbb ccc,故两直线相交于一点,选(A). (5)【答案】C 【分析】由题设条

23、件(|)(|)P B AP B A,知A发生与A不发生条件下B发生的条件概率相等,即A发生不发生不影响B的发生概率,故,A B相互独立.而本题选项(A)和(B)是考虑(|)P A B与(|)P A B是否相等,选项(C)和(D)才是事件A与B是否独立. 【解析】由条件概率公式及条件(|)(|),P B AP B A知 1P ABP ABP BP ABP AP AP A, 于是有 1P ABP AP AP BP AB, 可见 P ABP A P B. 应选(C). 【相关知识点】条件概率公式： |P ABP B AP A. 三、三、( (本题满分本题满分5 5分分) ) 【解析】方法方法1 1：

24、求直线L在平面上的投影0L： 方法方法1 1：先求L与的交点1N.以1,:,1xtLytzt 代入平面的方程,得 (1)2(1) 101tttt . 从而交点为1(2,1,0)N；再过直线L上点0(1,0,1)M作平面的垂线11:112xyzL,即1,12 .xtytzt 并求L与平面的交点2N： 1(1)()2(12 )103tttt , 交点为22 1 1( , )3 3 3N. 1N与2N的连接线即为所求021:421xyzL. 方法方法2 2：求L在平面上的投影线的最简方法是过L作垂直于平面的平面0,所求投影线就是平面与0的交线.平面0过直线L上的点(1,0,1)与不共线的向量(1,1

25、, 1)l (直线L的方向向量)及(1, 1,2)n (平面的法向量)平行,于是0的方程是 111110112xyz,即3210 xyz . 投影线为 0210,:3210.xyzLxyz 下面求0L绕y轴旋转一周所成的旋转曲面S的方程.为此,将0L写成参数y的方程： 2 ,1(1).2xyzy 按参数式表示的旋转面方程得S的参数方程为 22221(2 )( (1) cos ,2,1(2 )( (1) sin .2xyyyyzyy 消去得S的方程为222212(1)2xzyy ,即2224174210.xyzy 四、四、( (本题满分本题满分6 6分分) ) 【解析】 令42( , )2()

26、,P x yxy xy242( , )() ,Q x yxxy 则( , )( ( , ),( , )A x yP x y Q x y在单联通区域右半平面0 x上为某二元函数( , )u x y的梯度PdxQdy在0 x上原函数( , )u x y ,0.QPxxy 其中, 42242132 ()()4Qx xyxxyxx , 424212 ()2()2Px xyxy xyyy. 由QPxy,即满足 4224213424212 ()()42 ()2()2x xyxxyxx xyxy xyy, 424 () (1)01x xy . 可见,当1 时,所给向量场为某二元函数的梯度场. 为求( , )

27、u x y,采用折线法,在0 x半平面内任取一点,比如点(1,0)作为积分路径的起点,则根据积分与路径无关,有 2( , )42(1,0)2( , )x yxydxx dyu x yCxy 244210200 xyxxdxdyCxxy(折线法) 2420yxdyCxy 22042(1)yxdyCyxx(第一类换元法) 222222004221(1)(1)yyxxyydCdCxxyyxxx 2arctanyCx (基本积分公式) 其中C为任意常数. 【相关知识点】1.二元可微函数( , )u x y的梯度公式：uugradui+jxy. 2.定理：定理：设D为平面上的单连通区域,函数()P x,

28、y与( , )Q x y在D内连续且有连续的一阶偏导数,则下列六个命题等价： (1) ,( , )QPx yDxy； (2) 0,LPdxQdyL为D内任意一条逐项光滑的封闭曲线； (3) LABPdxQdy仅与点,A B有关,与连接,A B什么样的分段光滑曲线无关； (4) 存在二元单值可微函数( , )u x y,使 duPdxQdy (即PdxQdy为某二元单值可微函数( , )u x y的全微分； (5) 微分方程0PdxQdy为全微分方程； (6) 向量场P +Qij为某二元函数( , )u x y的梯度uP +Qgradij. 换言之,其中任一组条件成立时,其它五组条件皆成立.当条

29、件成立时,可用试图法或折线法求函数( , )u x y. 五、五、( (本题满分本题满分6 6分分) ) 【解析】先建立坐标系,取沉放点为原点O,铅直向下作为Oy轴正向,探测器在下沉过程中受重力、浮力和阻力的作用,其中重力大小：mg,浮力的大小：FB浮；阻力：kv,则由牛顿第二定律得 2002,0,0.ttd ymmgB gkv yvdt (*) 由22,dyd ydvdv dydvdyvvvdvdtdtdtdy dtdy,代入(*)得y与v之间的微分方程 10,0ydymvmgBkvvdv. 分离变量得 mvdydvmgBkv, 两边积分得 mvdydvmgBkv, 2222()()()Bm

30、m gBmm gmvkkkkydvmgBkvmBmm gmgBkvkkkdvmgBkvm gBmmkdvkmgBkvmm mgBdvdvkk mgBkv 1() ()()()m mgBmkvd mgBkvkk mgBkv (第一类换元法) 2()ln()mm mgBvmgBkvCkk . 再根据初始条件0|0,yv即 22()()ln()0ln()m mgBm mgBmgBCCmgBkk. 故所求y与v函数关系为 2ln.m mgBmmgBkvyvkkmgB 六、六、( (本题满分本题满分7 7分分) ) 【解析】方法方法 1 1：本题属于求第二类区面积分,且不属于封闭区面,则考虑添加一平面使

31、被积区域封闭后用高斯公式进行计算,但由于被积函数分母中包含12222()xyz,因此不能立即加、减辅助面2221:0 xyaz,宜先将曲面方程代入被积表达式先化简： 2212222()1().()axdydzzadxdyIaxdydzzadxdyaxyz 添加辅助面2221:0 xyaz,其侧向下(由于为下半球面222zaxy 的上侧,而高斯公式要求是整个边界区面的外侧,这里我们取辅助面的下侧,和的上侧组成整个边界区面的内侧,前面取负号即可),由高斯公式,有 11222211()()()1()().DIaxdydzzadxdyaxdydzzadxdyaazaaxdVa dxdyaxz 第一个积

32、分前面加负号是由于我们取边界区面的内侧,第二个积分前面加负号是由于1的方向向下；另外由曲面片1在yoz平面投影面积为零,则10axdydz,而1上0z ,则22zaa. 21(2()DIaza dVa dxdya, 其中为与1所围成的有界闭区域,D为1在xoy面上的投影222( , )|Dx yxya. 从而, 22220322001321232.3DaarIadvzdv adxdyaaadrdrzdzaaa 第一个积分用球体体积公式；第二个用柱面坐标求三重积分；第三个用圆的面积公式. 222042400242200242300224224440411222112()21()112224241

33、2aaraaaIadrzdraaadrardraada rrdraa rra aaaaaaaaa4342a 方法方法2 2：逐项：逐项计算： 2212222212()1()()1().axdydzzadxdyIaxdydzzadxdyaxyzxdydzza dxdyIIa 其中, 22222212222,DyzDyzDyzIxdydzaxy dydzaxy dydzaxy dydz 第一个负号是由于在x轴的正半空间区域的上侧方向与x轴反向；第二个负号是由于被积函数在x取负数. yzD为在yoz平面上的投影域222( , )|,0yzDy zyza z,用极坐标,得 22210222203223

34、320212()2222()(0),333aaaIdar rdrar d araraa 222222222220022230222300042230044411()1(22)2(22)2222123422(3DxyaaaaaaaIza dxdyaaxydxdyaadaa arrrdraa rar arrdraa rdrar ar drr drara raaaaaaa3),46a 其中yzD为在yoz平面上的投影域222( , )|yzDy zyza.故312.2IIIa 【相关知识点】高斯公式：设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成,函数 ( , , )P x y z、( , , )Q x y

35、 z、( , , )R x y z在上具有一阶连续偏导数,则有 ,PQRdvPdydzQdzdxRdxdyxyz 或 coscoscos,PQRdvPQRdSxyz 这里是的整个边界曲面的外侧,cos、cos、cos是在点( , , )x y z处的法向量的方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式. 七、七、( (本题满分本题满分6 6分分) ) 【分析】这是n项和式的极限,和式极限通常的方法就两种：一、把和式放缩,利用夹逼准则求极限；二、把和式转换成定积分的定义形式,利用定积分求极限.这道题,把两种方法结合到一起来求极限. 当各项分母均相同是n时,n项和式 2sinsinsinnnnnnxnnn

36、是函数sin x在0,1区间上的一个积分和.于是可由定积分10sinxdx求得极限limnnx. 【解析】由于sinsinsin,1,2,11iiinnninnnni, 于是, 111sinsinsin11nnniiiiiinnnnnni. 由于 1011sin12limlimsinsinnnnniiiinxdxnnn, 10111sin112limlimsinlimsinsin11nnnnnniiiiniinxdxnnnnnn根据夹逼定理知,1sin2lim1nniinni. 【相关知识点】 夹逼准则： 若存在N,当nN时,nnnyxz,且有limlimnnnnyza,则limnnxa. 八

37、、八、( (本题满分本题满分5 5分分) ) 【解析】方法方法1 1：因正项数列 na单调减少有下界0,知极限limnna存在,记为a,则naa且0a. 又1( 1)nnna发散,根据莱布尼茨判别法知,必有 0a (否则级数1( 1)nnna收敛). 又正项级数 na单调减少,有11,11nnnaa而1011a,级数11()1nna收敛.根据正项级数的比较判别法,知级数11()1nnna也收敛. 方法方法2 2：同方法1,可证明lim0nnaa.令1,1nnnba则 11limlim1,11nnnnnbaa 根据根值判别法,知级数11()1nnna也收敛. 【相关知识点】1.交错级数的莱布尼茨

38、判别法： 设交错级数11( 1)nnnu满足： (1)1,1,2,;nnuun (2)lim0.nnu 则11( 1)nnnu收敛,且其和满足1110( 1),nnnuu余项1.nnru 反之,若交错级数11( 1)nnnu发散,只是满足条件(1),则可以反证说明此级数一定不满足条件(2)lim0nnu,所以有lim0.nnu(否则级数11( 1)nnnu收敛) 2.正项级数的比较判别法： 设1nnu和1nnv都是正项级数,且lim,nnnvAu则 (1)当0A时,1nnu和1nnv同时收敛或同时发散； (2)当0A时,若1nnu收敛,则1nnv收敛；若1nnv发散,则1nnu发散； (3)当

39、A 时,若1nnv收敛,则1nnu收敛；若1nnu发散,则1nnv发散. 3.根值判别法： 设0nu ,则当 111, lim1, lim0,1, .nnnnnnnnnuuuu时收敛，时发散，且时此判别法无效 九、九、( (本题满分本题满分6 6分分) ) 【解析】(1)要证0(0,1)x,使0100()( )xx f xf x dx；令1( )( )( )xxxf xf t dt,要证0(0,1)x,使0()0 x.可以对( )x的原函数0( )( )xxt dt使用罗尔定理： (0)0, 11110001111000(1)( )( )( )( )( )( )0,xxxxx dxxf x d

40、xf t dt dxxf x dxxf t dtxf x dx 分部 又由( )f x在0,1连续( )x在0,1连续,( )x在0,1连续,在(0,1)可导.根据罗尔定理,0(0,1)x,使00()()0 xx. (2) 由( )( )( )( )( )2 ( )0 xxfxf xf xxfxf x,知( )x在(0,1)内单调增,故(1)中的0 x是唯一的. 评注：评注：若直接对( )x使用零点定理,会遇到麻烦： 10(0)( )0, (1)(1)0f t dtf . 当( )0f x 时,对任何的0(0,1)x 结论都成立； 当( )f x 0时,(0)0,但(1)0,若(1)0,则难以

41、说明在(0,1)内存在0 x.当直接对( )x用零点定理遇到麻烦时,不妨对( )x的原函数使用罗尔定理. 【相关知识点】1.罗尔定理：如果函数( )f x满足 (1) 在闭区间 , a b上连续； (2) 在开区间( , )a b内可导； (3) 在区间端点处的函数值相等,即( )( )f af b, 那么在( , )a b内至少有一点(ab),使得( )0f. 十、十、( (本题满分本题满分6 6分分) ) 【解析】经正交变换化二次型为标准形,二次型矩阵与标准形矩阵既合同又相似.由题设知,二次曲面方程左端二次型对应矩阵为111111bAba,则存在正交矩阵P,使得 1000010004P A

42、PB记, 即AB与相似. 由相似矩阵有相同的特征值,知矩阵A有特征值0,1,4.从而, 2110 1 4,3,1.(1)0.aabAbB 从而,11113 1 .111A 当10时, 1110131111EA 1( 1)23 行分别加到 ， 行111020000 于是得方程组(0)0EA x的同解方程组为12320,20.xxxx (0)2rEA,可知基础解系的个数为(0)321nrEA,故有1个自由未知量,选1x为自由未知量,取11x ,解得基础解系为1(1,0, 1) .T 当21时, 011121110EA 3 ( 1)2 加到 行011011110 1( 1)2 行加到 行011000

43、1102 3， 行互换011110000, 于是得方程组()0EA x的同解方程组为23120,0.xxxx ()2r EA,可知基础解系的个数为()321nr EA,故有1个自由未知量,选1x为自由未知量,取11x ,解得基础解系为2(1, 1,1) .T 当34时, 3114111113EA 12，行互换111311113 1行的3,(-1)倍分别加到2，3行11102402423行加到 行111024000, 于是得方程组(4)0EA x的同解方程组为123230,240.xxxxx (4)2rEA,可知基础解系的个数为(4)321nrEA,故有1个自由未知量,选2x为自由未知量,取22

44、x ,解得基础解系为3(1,2,1) .T 由实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交,可知123, 相互正交. 将123, 单位化,得 11122233311(,0,) ,22111(,) ,333121(,) .666TTT 因此所求正交矩阵为11123612036111236P. 评注：评注：利用相似的必要条件求参数时,iiiiab是比较好用的一个关系式.亦可用EAEB比较同次方的系数来求参数. 【相关知识点】1.特征值的性质：11nniiiiia 2.相似矩阵的性质：若矩阵AB与相似,则AB. 十一、十一、( (本题满分本题满分4 4分分) ) 【解析】用线性无关的定义证明. 设有常

45、数011,k 使得 10110.( )kkAA 两边左乘1kA,则有 110110kkkAAA , 即 12(1)0110kkkkAAA. 上式中因0kA,可知2110kkAA,代入上式可得100.kA 由题设10kA,所以00. 将00代入( ),有1110kkAA. 两边左乘2kA,则有 21110kkkAAA , 即123110kkkAA. 同样,由0kA,2110kkAA,可得110.kA 由题设10kA,所以10. 类似地可证明210,k因此向量组1,kAA是线性无关的. 【相关知识点】向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数12mk ,k ,k使11220mmkkk,则

46、称12m, 线性相关； 否则,称12m, 线性无关 十二、十二、( (本题满分本题满分5 5分分) ) 【解析】()II的通解为 1 122nnkkk, 其中,111121,2(,) ,Tnaaa221222,2(,) ,Tnaaa12,2(,)Tnnnnnaaa, 12,nk kk为任意常数. 理由：可记方程组22( )0, ()0,nnnnI AXII BY( ) I,()II的系数矩阵分别记为,A B,由于B的每一行都是20nnAX的解,故0TAB .TB的列是( ) I的基础解系,故由基础解系 的定义知,TB的列向量是线性无关的,因此( )r Bn.故基础解系所含向量的个数2( )nn

47、r A,得( )2r Annn.因此,A的行向量线性无关. 对0TAB 两边取转置,有0TTTABBA,则有TA的列向量,即A的行向量是0BY 的线性无关的解. 又( )r Bn,故0BY 基础解系所含向量的个数应为2( )2nr Bnnn,恰好等于A的行向量个数.故A的行向量组是0BY 的基础解系,其通解为 1 122nnkkk, 其中,111121,2(,) ,Tnaaa221222,2(,) ,Tnaaa12,2(,)Tnnnnnaaa, 12,nk kk为任意常数. 十三、十三、( (本题满分本题满分6 6分分) ) 【分析】把XY看成一个随机变量,根据独立正态随机变量的线性组合必然为

48、正态分布的性质,可以知道N(0,1)XY,这样可以简化整题的计算. 【解析】令ZXY,由于,X Y相互独立,且都服从正态分布,因此Z也服从正态分布,且 ( )()( )0E ZE XE Y,11( )()( )122D ZD XD Y. 于是,(0,1)ZXYN. 22222( )1.D XYD ZE ZE ZD ZE ZE ZE Z 而 222201222zzE Zzedzzedz 2222200222222zzzede, 故21.D XY 【相关知识点】1.对于随机变量X与Y均服从正态分布,则X与Y的线性组合亦服从正态分布. 若X与Y相互独立,由数学期望和方差的性质,有 ()()( )E

49、aXbYcaE XbE Yc, 22()()( )D aXbYca D Xb D Y, 其中, ,a b c为常数. 2.方差的定义：22()DXEXEX. 3.随机变量函数期望的定义：若()Yg X,则( ) ( )EYg x f x dx. 十四、十四、( (本题满分本题满分4 4分分) ) 【解析】由题知：212,(3.4,6 )nX XXN,11nniiXXn,各样本相互独立,根据独立正态随机变量的性质,211( ,)nniiXXNn .其中11nniiEXEXn, 211nniiDXDXn. 根据期望和方差的性质, 11222222111113.43.4,11166.nnniiiin

50、nnniiiiiinEXEXEXnnnnDXDXDXDXnnnnn 所以,2116(3.4,)nniiXXNnn.把nX标准化,3.4(0,1)6/nXUNn. 从而, 1.4X5.41.43.4X3.45.43.42X3.42X3.42X3.42210.95,663PPPPnnPn 故0.975,3n查表得到1.96,3n即21.96 334.57,n所以n至少应取35. 【相关知识点】1.对于随机变量X与Y均服从正态分布,则X与Y的线性组合亦服从正态分布. 若X与Y相互独立,由数学期望和方差的性质,有 ()()( )E aXbYcaE XbE Yc, 22()()( )D aXbYca D