2005考研数学二真题解析【无水印】.pdf

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1、2005 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、填空题：一、填空题：1-6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 设xxy)sin1 ( +=，则=xdy = _ . (2) 曲线xxy23)1 ( +=的斜渐近线方程为 _. (3) =10221)2(xxxdx _ (4) 微分方程xxyyxln2=+满足91) 1 (=y的解为 _. (5) 当0 x时，2)(kxx =与xxxxcosarcsin1)(+=是 等价无穷小 ，则k=_ . (6) 设321,均

2、为 3 维列向量，记矩阵 ),(321=A，)93,42,(321321321+=B， 如果1=A，那么=B . 二二、选择题：、选择题：7-14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 设函数nnnxxf31lim)(+=，则( )f x在),(+内 ( ) (A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. (8) 设( )F x是连续函数( )

3、f x的一个原函数，NM 表示“M的充分必要条件是N”， 则必有 ( ) (A)( )F x是偶函数( )f x是奇函数. (B)( )F x是奇函数( )f x是偶函数. (C)( )F x是周期函数( )f x是周期函数. (D)( )F x是单调函数( )f x是单调函数. (9) 设函数( )yy x=由参数方程+=+=)1ln(,22tyttx确定， 则曲线( )yy x=在3x =处的法线与x轴交点的横坐标是 ( ) (A) 1ln238+. (B) 32ln81+. (C) 32ln8+. (D) 32ln8+. (10) 设区域0, 0, 4),(22+=yxyxyxD，( )

4、f x为D上的正值连续函数，, a b为常数，则=+dyfxfyfbxfaD)()()()( ( ) (A) ab. (B) 2ab. (C) )(ba +. (D) 2ba + . (11) 设函数+=yxyxdttyxyxyxu)()()(),(, 其中函数具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有 ( ) (A) 2222yuxu=. (B) 2222yuxu=. (C) 222yuyxu=. (D) 222xuyxu=. (12) 设函数,11)(1=xxexf则 ( ) (A) 0 x =，1x =都是( )f x的第一类间断点. (B) 0 x =，1x =都是( )f x的第二类间断点

5、. (C) 0 x =是( )f x的第一类间断点，1x =是( )f x的第二类间断点. (D) 0 x =是( )f x的第二类间断点，1x =是( )f x的第一类间断点. (13) 设21,是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,，则1，)(21+A线性无关的充分必要条件是 ( ) (A) 01. (B) 02. (C) 01=. (D) 02=. (14) 设A为n(2n)阶可逆矩阵， 交换A的第 1 行与第 2 行得矩阵B, *,BA分别为,A B的伴随矩阵，则 ( ) (A) 交换*A的第 1 列与第 2 列得*B. (B) 交换*A的第 1 行与第 2 行得*B.

6、 (C) 交换*A的第 1 列与第 2 列得*B. (D) 交换*A的第 1 行与第 2 行得*B. 三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 11 分) 设函数( )f x连续，且0)0(f，求极限.)()()(lim000 xxxdttxfxdttftx (16)(本题满分 11 分) 如图，1C和2C分别是)1 (21xey+=和xey = 的图象，过点(0,1)的曲线3C是一单调增函数的图象. 过2C上任

7、一点( , )M x y分别作垂直于x轴和y轴 的直线xl和yl. 记21,CC与xl所围图形的面积为 )(1xS；32,CC与yl所围图形的面积为).(2yS如 果总有)()(21ySxS=，求曲线3C的方程).(yx= (17)(本题满分 11 分) 如图， 曲线C的方程为( )yf x=， 点(3,2)是它的一个拐点， 直线1l与2l分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数( )f x具有三阶连续导数，计算定积分 +302.)()(dxxfxx (18)(本题满分 12 分) 用变量代换)0(cos=ttx化简微分方程0)1 (2=+ yyxyx，并

8、求其满足2, 100=xxyy的特解. (19)(本题满分 12 分) O 1 x y 1 ly lx M(x,y) C1 C3 C2 已知函数( )f x在0，1上连续，在(0,1)内可导，且(0)0,(1)1ff=. 证明： (I)存在),1 , 0( 使得=1)(f； (II)存在两个不同的点) 1 , 0(,，使得. 1)()(=ff (20)(本题满分 10 分) 已知函数( , )zf x y=的全微分ydyxdxdz22=，并且(1,1)2f=. 求( , )f x y在椭圆域14),(22+=yxyxD上的最大值和最小值. (21)(本题满分 9 分) 计算二重积分dyxD+1

9、22，其中10 , 10),(=yxyxD (22)(本题满分 9 分) 确 定 常 数a, 使 向 量 组,), 1 , 1 (1Ta=,) 1 , 1 (2Ta=Ta) 1 , 1 ,(3=可 由 向 量 组,), 1 , 1 (1Ta=,)4 , 2(2Ta=Taa), 2(3=线性表示， 但向量组321,不能由向量组321,线性表示. (23)(本题满分 9 分) 已知 3 阶矩阵A的第一行是cbacba,),(不全为零， 矩阵=kB63642321(k为常数)，且0AB =, 求线性方程组0AX =的通解. 2005 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析年全国硕士研究生入学统一

10、考试数学二试题解析 一、填空题一、填空题 (1)【详解】先求出函数的导数,再求函数在某点的微分. 方法方法 1：利用恒等变形得xxy)sin1 ( +=)sin1ln(xxe+，于是 sin1cos)sin1ln()sin1ln(xxxxeyxx+=+， 从而 =xdy=.)(dxdxy= 方法方法 2：两边取对数，)sin1ln(lnxxy+=，对x求导，得 1cosln(1 sin )1 sinxxyxyx =+， 于是 sin1cos)sin1ln()sin1 (xxxxxyx+=， 故 =xdy=.)(dxdxy= (2)曲线xxy23)1 ( +=的斜渐近线方程为 _. 【详解】由求

11、斜渐近线公式yaxb=+(其中( )limxf xax=，lim ( )xbf xax=)，得： 32( )(1)limlim1,xxf xxaxx x+= 23)1 (lim)(lim2323=+=+xxxaxxfbxx， 于是所求斜渐近线方程为.23+= xy (3)【详解】通过还原变换求定积分 方法方法 1：令txsin= (0)2t ,则 =10221)2(xxxdx202cos)sin2(cossindttttt220sin2sintdtt= 22200cosarctan(cos )1 cos4dttt= = =+ 方法方法 2：令21xt=，有221,xt= 所以有xdxtdt=

12、，其中01t . 11222001arctan014(2) 1xdxdtttxx=+ (4)【答案】.91ln31xxxy= 【详解】求方程( )( )dyP x yQ xdx+=的解，有公式 ( )( )( )P x dxP x dxyeQ x edxC=+ (其中C是常数). 将原方程等价化为 xyxyln2=+，于是利用公式得方程的通解 22 lndxdxxxyex edxC=+ 221lnxxdxCx=+=211ln39Cxxxx+, (其中C是常数) 由91) 1 (=y得0C =，故所求解为.91ln31xxxy= (5)【详解】由题设， 200( )1arcsincoslimli

13、m( )xxxxxxxkx+=)cosarcsin1(cos1arcsinlim20 xxxkxxxxx+ 201arcsin1 coslim2xxxxkx+ =2001arcsin1 coslimlim2xxxxkxx=+， 又因为 201 cos1lim2xxx=，00arcsinlimarcsinlim1sinxuxuxuxu = = 所以 0( )11lim(1)( )22xxxk=+34k= 由题设0 x时( ) ( )xx，所以314k=，得.43=k (6)【答案】2 【详解】 方法方法 1：因为1231231()(,) 11 += ，1231231(24)(,) 24 += ，

14、 1231231(39)(,) 39 += ， 故 123123123(,24,39)B =+=941321111),(321， 记123(,)A =，两边取行列式，于是有 . 221941321111= AB 方法方法 2：利用行列式性质(在行列式中，把某行的各元素分别乘以非零常数加到另一行的对应元素上，行列式的值不变；从某一行或列中提取某一公因子行列式值不变) 123123123,24,39B =+ 2 112323233 1,3,28 =+3 22123233=,3,2 + 123233=2,3, +1 312232 33=2, +1 2123=2, 又因为123,1A =，故B2 A=

15、2=. 二、选择题二、选择题 (7)【答案】C 【详解】分段讨论，并应用夹逼准则， 当| 1x 时，33333|1 |2|2 |nnnnnnnxxxxx=+=，命n 取极限，得33lim2|nnnxx=，由夹逼准则得13331( )lim| (1)| .|nnnf xxxx=+= 所以 31,| 1( ),| 1xf xxx= 再讨论( )f x的不可导点. 按导数定义，易知1x = 处( )f x不可导，故应选(C). (8)【答案】A 【详解】 方法方法 1：应用函数奇偶性的定义判定， 函数( )f x的任一原函数可表示为+=xCdttfxF0)()(，且).()(xfxF= 当( )F

16、x为 偶 函 数 时 ， 有)()(xFxF=， 于 是)() 1()(xFxF=， 即)()(xfxf=，亦即)()(xfxf=，可见( )f x为奇函数； 反过来， 若( )f x为奇函数， 则0()( )xFxf t dtC=+， 令tk= ， 则有dtdk= ，所以 000()( )()( )( )xxxFxf t dtCfk dkCf k dkCF x=+= +=+=， 从而 +=xCdttfxF0)()( 为偶函数，可见(A)为正确选项. 方法方法 2：排除法， 令( )1f x =, 则取( )1F xx=+, 排除(B)、(C); 令( )f xx=， 则取21( )2F xx

17、=, 排除(D); (9)【答案】A 【详解】当3x =时，有322=+ tt，得121,3tt= (舍去，此时y无意义)， 曲线( )yy x=的导数为 2111222(1)dydydttdxdxttdt+=+， 所以曲线( )yy x=在3x =(即1t =)处的切线斜率为18 于是在该处的法线的斜率为8, 所以过点(3,ln2)的法线方程为 )3(82ln=xy， 令y=0, 得其与x轴交点的横坐标为：32ln81+, 故应(A). (10)【答案】D 【详解】由于积分区域D是关于yx=对称的, 所以x与y互换后积分值不变, 所以有 =+dyfxfyfbxfaD)()()()(dxfyf

18、xfbyfaD+)()()()( =( )( )( )( )12( )( )( )( )Daf xbf yaf ybf xdf xf yf yf x+ =212.2242Dabababd+= 应选(D). (11)【答案】B 【详解】因为)()()()(yxyxyxyxxu+=， )()()()(yxyxyxyxyu+=， 于是 )()()()(22yxyxyxyxxu+ + =， )()()()(2yxyxyxyxyxu+ + =， )()()()(22yxyxyxyxyu+ + =， 可见有2222yuxu=，应选(B). (12)【答案】D 【详解】由于函数( )f x在0 x =，1x

19、 =点处无定义，因此是间断点. 且 =)(lim0 xfx，所以0 x =为第二类间断点； 0)(lim1=+xfx，1)(lim1=xfx，所以1x =为第一类间断点，故应选(D). (13)【答案】B 【详解】 方法方法 1：利用线性无关的定义 12, 分别是特征值12, 对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有111222,AA =121122()A +=+. 设有数12,k k，使得0)(21211=+Akk，则 022211211=+kkk1211222()0kkk +=. 因12，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故21,线性无关，则 =+. 0, 022121kkk 当

20、122100=时，方程只有零解，则0, 021=kk，此时1，)(21+A线性无关；反过来，若1，)(21+A线性无关，则必然有02(否则，1与)(21+A=11线性相关)，故应选(B). 方法方法 2：将向量组的表出关系表示成矩阵形式 12, 分别是特征值12, 对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有111222,AA =121122()A +=+. 由于 ()()()1112111221221, (),0A +=+=， 因12， 因不同特征值对应的特征向量必线性无关， 知21,线性无关. 若1，)(21+A线性无关，则()112, ()2rA+=，则 ()()11112122221

21、112,min,2000rrrr =， 故121220r，从而12120r=，从而122100= 若122100=，则12120r=，又21,线性无关，则 ()11122211,200rr =， 则 ()()11121221, (),20rAr += 从而1，)(21+A线性无关的充要条件是. 001221=故应选(B). 方法方法 3：利用矩阵的秩 12, 分别是特征值12, 对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有111222,AA =121122()A +=+. 因12，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故21,线性无关，又121122()A +=+，故1，)(21+A线性无关

22、112(, ()2rA+= 又因为 ()()211122122, +=11将的-倍加到第 列 则111221222(,)(,)20rr +=(若20=，与122(,)2r =矛盾) 方法方法 4：利用线性齐次方程组 12, 分别是特征值12, 对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有111222,AA =121122()A +=+. 由12，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故21,线性无关， 112, ()A+线性无关 11122, +线性无关 11122,0 +， ()11122,0X +=只有零解，又()()1111221221,0 += ()1112221,00 xx =只有

23、零解 12, 线性无关时()12,0Y =只有零解，故1122100 xYx=，只有零解， 1122100 xYx=的系数矩阵是个可逆矩阵， 122100=，故应选(B) 方法方法 5：由12，21,线性无关 12, 分别是特征值12, 对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有111222,AA =121122()A +=+. 向量组( )12I :, 和向量组( )1121122II :, ()A +=+. 显然向量组( )II可以由向量组( )I线性表出；当20时，不论1的取值如何，向量组( )I可以由向量组( )II线性表出 11=，11211122112222211()()()A

24、 = += +， 从而( )I，( )II是等价向量组当20时，()()1211122,2rr =+= (14)【答案】(C) 【详解】 方法方法 1：由题设，存在初等矩阵12E(交换n阶单位矩阵的第 1 行与第 2 行所得)，使得BAE=12，(A进行行变换，故A左乘初等矩阵)，于是 *1212()BE AA E=， 又初等矩阵都是可逆的，故 *1121212EEE=， 又121EE= = (行列式的两行互换，行列式反号)，11212EE=，故 *1*1*1212121212BA EA EEA EA E= = ， 即*12*BEA=,可见应选(C). 方法方法 2：交换A的第一行与第二行得B

25、，即12BE A=. 又因为A是可逆阵，121EE= = ，故12120BE AEAA= ， 所以B可逆，且1111212()BE AA E=. 又11,ABABAB=，故12BAEBA=，又因BA= ，故*12*BEA=. 三、解答题三、解答题 (15)【详解】 作积分变量代换，命xtu =，则 000()( )()( )xxxf xt dtf uduf u du=, 于是 =xxxxxxxduufxdtttfdttfxdttxfxdttftx0000000)()()(lim)()()(lim=洛必达法则+xxxxxfduufxxfxxfdttf000)()()()()(lim =整理+xx

26、xxxfduufdttf000)()()(lim0001( )lim1( )( )xxxxf t dtxf xf t dtx=+上下同除 而 00000( )1lim( )limlim( )(0)xxxxxf t dtf t dtf xfxx= 所以由极限的四则运算法则得， 原式0001( )lim1( )( )xxxf t dtxf xf t dtx=+00001lim( )1lim( )lim( )xxxxf t dtxf xf t dtx=+(0)(0)(0)fff=+(0) 012f=. (16) 【详解】由题设图形知，3C在1C的左侧，根据平面图形的面积公式得， =+=xxttxed

27、teexS01) 1(21)1 (21)(， =ydtttyS12)(ln)(， 由)()(21ySxS=，得 =yxdtttxe1)(ln) 1(21， 注意到( , )M x y是xey =的点， 于是 =ydtttyy1)(ln) 1ln(21 O 1 x y 1 ly lx M(x,y) C1 C3 C2 两边对y求导得 )(ln)11 (21yyy=， 整理上面关系式得函数关系为：.21ln)(yyyyx= (17)【详解】 由直线1l过(0,0)和(2,4)两点知直线1l的斜率为 2. 由直线1l是曲线C在点(0,0)的切线，由导数的几何意义知(0)2f =. 同理可得(3)2f

28、= . 另外由点(3,2)是曲线C的一个拐点知(3)0.f = 由分部积分公式， 332200()( )()( )xx fx dxxx dfx+=+33200()( )( )(21)xx fxfxxdx=+ 3220(33)(3)(00)(0)( )(21)fffxxdx=+ =dxxfxfxxf dx+=+303030)(2)() 12()() 12( 30(2 3 1)(3)(2 0 1)(0)2( )fffx dx= + + =.20)0()3( 216=+ff (18)【详解】 由题设)0(cos=ttx，有sindxtdt= ，由复合函数求导的链式法则得 dtdytdxdtdtdyy

29、sin1=，)sin1(sin1sincos222tdtydtdtdyttdxdtdtydy= ， 代入原方程，2222cos111(1 cos) ()cos ()0sinsinsinsint dyd ydyttyt dtt dttt dt +=， 化简得022=+ ydtyd， 其特征方程为210r + =， 特征根1,2ri= , 通解为12cossinyCtCt=+ 所以 221211sincosxCxCtCtCy+=+=， 将初始条件01,xy=代入得，2122101 0CCC= +=，即21C =. 而 212122( 1)2 1xyC xCxCx=+=+， 将02xy=代入得112

30、2 022 1 0CC=+=，即12C =. 将122,1CC=代入通解公式得满足条件的特解为221,11.yxxx=+ (19)【详解】 (I) 令xxfxF+=1)()(，则( )F x在0，1上连续，且(0)10F= ,于是由闭区间连续函数的介值定理知，存在),1 , 0( 使得0)(=F，即=1)(f. (II) 在, 0和 1 ,上对( )f x分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点) 1 ,(), 0(，使得0)0()()(=fff，=1)() 1 ()(fff 于是 . 1111)(1)()()(=ffff (20) 【 详 解 】 由ydyxdxdz22=知2 ,2zzx

31、yxy= . 对2zxx=两 边 积 分 得2( , )( )zf x yxc y=+. 将2( , )( )z x yxc y=+代 入2zyy= 得( )2c yy=. 所 以2( )c yyc=+. 所以22zxyc=+.再由1,1xy=时2z =知， 2c =. 于是所讨论的函数为222zxy=+. 求z在2214yx +中 的 驻 点 . 由2 ,2zzxyxy= 得 驻 点(0,0)， 对 应 的(0,0)2zf=. 讨论222zxy=+在D的边界22=14yx +上的最值，有两个方法. 方法方法 1：把224(1)yx=代入z的表达式，有 2222=52zxyx=+，11x 10

32、 xzx = 命0 xz =解得0 x =，对应的2y = ，0,22xyz= 还要考虑11x 的端点1x = ，对应的0y =，1,03xyz= 由2,2,3zzz= =比较大小，故 min2z = (对应于0 x =，2y = )，max3z =(对应于0 x =，2y = ) 方法方法 2：用拉格朗日乘数法，作函数2222( , , )2(1)4yF x yxyx=+ 解方程组 2222(1)0,12022104xyfFxxxfyFyyyyFx =+=+= =+= += =+ = 由上面的第一个方程解得0 x =或1= ： 当0 x =时由最后一个方程解得2y = ； 当1= 是由第二个

33、方程解得0y =， 这时由最后一个方程解得1x = . 故解得 4 个可能的极值点(0,2),(0, 2),(1,0),( 1,0).计算对应z的值： (0,2)(0, 2)(1,0)( 1,0)2,2,3,3zzzz= = = 再与(0,0)2z=比较大小，结论同方法 1. (21) 【详解】D：2210 xy+ =为以O为中心半径为 1 的圆周， 划分D如下图为1D与2D. 这时可以去掉绝对值符号222222211,( , )11,( , )xyx yDxyxyx yD+= 方法方法 1： 221Dxyd+=+1) 1(22Ddxdyyx+2) 1(22Ddxdyyx 后一个积分用直角坐标

34、做， D1 D2 x2+y2=1 2211222201(1)(1)xDxydxdydxxydy+=+ 3122222011(1)(1) 1(1-) 33xxxxdx=+ 33221111222200002222()(1) (1)3333xxdxx dxdxxdx=+=+ 42012cos33tdt= +220121 cos2()332tdt+= + 220121(12cos2cos 2 )334ttdt= + 201211 cos4(12cos2)3342ttdt+= + 201211cos4(12cos2)33422ttdt= + 20121321cos4(2cos2)33422342ttd

35、t= + 12103834= +138= +. 前一个积分用极坐标做， 112222200011(1)(1)()248Dxydxdydrrdrd=. 所以 221Dxyd+=8+138+=.314 方法方法 2：由于区域2D的边界复杂，计算该积分较麻烦，可以将2D内的函数“扩充”到整个区域D=12DD，再减去“扩充”的部分，就简化了运算. 即 222(1)dDxy+=22(1)Dxyd+122(1)Dxyd+ 因此 221Dxyd+=122(1)Dxyd222(1)Dxyd+ 122(1)Dxyd=+22(1)Dxyd+122(1)Dxyd+ 1222(1)Dxyd=+22(1)Dxyd+ 由

36、极坐标 112222200011(1)(1)()248Dxydxdydrrdrd=. 而 3111222220001(1)(1)(1) 03Dxxyddyxydxyxdy+=+=+ 3112200112211()033333yydyydyy=+= 所以 221Dxyd+=2813=.314 (22)【详解】 方法方法 1：记123123(,),(,)AB =. 由于123, 不能由123, 线性表出， 故( )3r A ，(若( )3r A =，则任何三维向量都可以由123, 线性表出)，从而 111111aAaa=2222 311111aaaaa+把第 、行加到第 行1111(2) 11(2

37、)11aaaa+ 提取第 行的公因子 11121(2)01031100aaa +行行行行 1 3013(2) ( 1)110aaa+ 按第 列展开2(2)(1)a a= +0= (其中1 3( 1)+指数中的 1 和 3 分别是1所在的行数和列数) 从而得1a =或2a = . 当1a =时，12311,1,1T=，则12312300=+ + ，故123, 可由123, 线性表出，但2 2,1,4T= 不能由123, 线性表出(因为方程组2123211111114111kkk =+ ，即123123123214kkkkkkkkk+= +=+=无解)，故1a =符合题意. 当2a = 时,由于

38、122112122121242211B A=12211221000033312006000+ 行行，行行 因2( )2()3r Br B=，系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等，故方程组2BX=无解，故2不能由123, 线性表出，这和题设矛盾，故2a = 不合题意. 因此1a =. 方法方法 2：对矩阵),(321321=A作初等行变换，有 ),(321321=A=11411111221aaaaaaa 1221121022010310423011aaaaaaaaa+ 行行，行行 12211322 02201000403(1)1aaaaaaa+行行， 当2a = 时，A330600030000211

39、221, 不存在非零常数123,k k k，使得123112230003006kkk =+ ，2不能由321,线性表示， 因此2a； 当4a =时， A390000030660411221， 3不 能 由321,线 性 表 示 ， 不 存 在 非 零 常 数123,k k k， 使 得123412200663000kkk =+ . 因此4a. 而当2a且4a时，秩3),(321=r，此时向量组321,可由向量组321,线性表示. 又 =aaaaaaaB41111122111),(321321 21112221011022310110423aaaaaaaaaa+ 行行，行行 2111223201

40、102200206342aaaaaaaaa+ 行行， 由 题 设 向 量 组321,不 能 由 向 量 组321,线 性 表 示 ， 则 方 程 组()1231x =或()1232x =或()1233x =无解，故系数矩阵的秩增广矩阵的秩，故()123( )r Br . 又当2a且4a时，( )3r B =，则必有01=a或022=aa，即1a =或2=a. 综上所述，满足题设条件的a只能是：1a =. 方法方法 3：记()()123123,AB =，对矩阵()A B 作初等行变换，得 ()12312311122(,)111114aA Baaaaaa = 2111222101102231011

41、0423aaaaaaaaaa+ 行行，行行 2111223201102200206342aaaaaaaaa+ 行行， 由于123, 不能由123, 线性表出，故( )3r A ，(若( )3r A =，则任何三维向量都可以由123, 线性表出)，从而 111111aAaa=2222 311111aaaaa+把第 、行加到第 行1111(2) 11(2)11aaaa+提取第 行的公因子 11121(2)01031100aaa+行行行行1 3013(2) ( 1)110aaa+ 按第 列展开 2(2)(1)a a= +0= 从而得1a =或2a = . 当1a =时， ()111 122000 0

42、33000 096AB =， 则12312300=+ + ，123, 可由123, 线性表出，但由于( )()212r Ar A= =， 系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等， 方程组2Ax=无解，2 2,1,4T= 不能由123, 线性表出. 或由于( )()312r Ar A= =， 系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等，方程组3Ax=无解，3不能由123, 线性表出，即123, 不能由123, 线性表出，故1a =符合题意. 当2a = 时， ()112 122033 000000 006AB =， 因( )()323r Ar A= =， ，系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等，123, 不能由12

43、3, 线性表出，但( )()223r Br B= =(或()33r B =)，系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等，即2BX=(或3BX=)无解，即123, 不能由123, 线性表出，与题设矛盾，故2a = 不合题意. 故1a =. (23)【详解】 由0AB =知，B的每一列均为0Ax =的解，且. 3)()(+BrAr(3 是A的列数或B的行数) (1) 若9k , 13, 不成比例，12, 成比例，则( )2r B =, 方程组0Ax =的解向量中至少有两个线性无关的解向量，故它的基础解系中解向量的个数2，又基础解系中解向量的个数=未知数的个数( )r A3( )r A=，于是( )1r A

44、 . 又矩阵A的第一行元素(), ,a b c不全为零，显然( )1r A , 故( )1r A =. 可见此时0Ax =的基础解系由3( )2r A= 个线性无关解向量组成，13, 是方程组的解且线性无关，可作为其基础解系，故0Ax = 的通解为： 2121,63321kkkkkx+=为任意常数. (2) 若9k =，则123, 均成比例，故( )r B=1, 从而. 2)(1Ar故( )1r A =或( )2r A =. 若( )2r A =, 则方程组的基础解系由一个线性无关的解组成，1是方程组0Ax =的基础解系， 则0Ax =的通解为：11,321kkx=为任意常数. 若( )1r A =, 则A的三个行向量成比例，因第 1 行元素(), ,a b c不全为零，不妨设0a ，则0Ax =的同解方程组为：0321=+cxbxax, 系数矩阵的秩为1， 故基础解系由3 12 =个线性无关解向量组成，选23,x x为自由未知量，分别取231,0 xx=或230,1xx=，方程组的基础解系为121,001bcaa=， 则其通解为121210,01bcaaxkkk k=+为任意常数.