2017考研数一真题及解析.pdf

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1、 1 绝密启用前绝密启用前 2017 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学（数学（一一） （科目代码 301） 考生注意事项 1.答题前， 考生必须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号； 在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。 2.考生须把试题册上的试卷条形码粘贴条取下，粘贴在答题卡“试卷条形码粘贴位置”框中。不按规定粘贴条形码而影响评卷结果的，责任由考生自负。 3.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。 4.填（

2、书）写部分必须使用黑色字迹签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用 2B 铅笔填涂。 5.考试结束后，将答题卡和试题册按规定一并交回，不可带出考场。 考生姓名： 考生编号： 2 20172017 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学一一试题试题 一、选择题 18 小题每小题 4 分，共 32 分 若函数1 cos,0( ),0 xxf xaxbx在0 x处连续，则 （A）12ab （B）12ab （C）0ab （D）2ab 2设函数( )f x是可导函数，且满足( )( )0f x fx，则 （A）(1)( 1)ff （B）11( )()ff （C）

3、11( )()ff （D）11( )()ff 3函数22( , , )f x y zx yz在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n 的方向导数为 （A）12 （B）6 (C）4 （D）2 甲、 乙两人赛跑， 计时开始时， 甲在乙前方 10 （单位： 米） 处， 如图中， 实线表示甲的速度曲线1( )vv t（单位：米/秒） ，虚线表示乙的速度曲线2( )vv t（单位：米/秒） ，三块阴影部分的面积分别为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻为0t，则（ ） （A）010t （B）01520t （C）025t （D）025t 5设为n单位列向量，E为n阶单位矩阵，则 （A）TE不可逆 （

4、B）TE不可逆 （C）2TE不可逆 （D）2TE不可逆 6已知矩阵200021001A，210020001B，100020002C，则 （A）,A C相似，,B C相似 （B）,A C相似，,B C不相似 （C）,A C不相似，,B C相似 （D）,A C不相似，,B C不相似 7设,A B是两个随机事件，若0( )1P A，0( )1P B，则(/)(/)P A BP A B的充分必要条件是 （A）(/)(/)P B AP B A （B）(/)(/)P B AP B A （C）(/)(/)P B AP B A （D）(/)(/)P B AP B A 1( )v t1( )v t1( )v t

5、2( )v t2( )v t2( )v t 3 8设12,(2)nXXXn 为来自正态总体( ,1)N的简单随机样本，若11niiXXn，则下列结论中不不正确正确的是（ ） （A）21()niiX服从2分布 （B）212nXX服从2分布 （C）21()niiXX服从2分布 （D）2()n X服从2分布 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） 9已知函数21( )1f xx，则(3)(0)f 10微分方程230yyy的通解为 11若曲线积分221Lxdxaydyxy在区域22( , )|1Dx yxy内与路径无关，则a . 12幂级数111( 1)

6、nnnnx在区间( 1,1)内的和函数为 13设矩阵101112011A，123, 为线性无关的三维列向量，则向量组123,AAA的秩为 14设随机变量X的分布函数4( )0.5 ( )0.52xF xx，其中( )x为标准正态分布函数，则EX 三、解答题 15 （本题满分 10 分） 设函数( , )f u v具有二阶连续偏导数，(,cos )xyf ex，求0|xdydx，202|xd ydx 4 16 （本题满分 10 分） 求21limln 1nnkkknn 17 （本题满分 10 分） 已知函数( )y x是由方程333320 xyxy 18 （本题满分 10 分） 设函数( )f

7、x在区间0,1上具有二阶导数，且(1)0f，0( )lim0 xf xx，证明： （1）方程( )0f x 在区间0,1至少存在一个实根； （2）方程2( )( )( )0f x fxfx在区间0,1内至少存在两个不同实根 5 19 （本题满分 10 分） 设薄片型S是圆锥面22zxy被柱面22zx所割下的有限部分，其上任一点的密度为2229 xyz，记圆锥面与柱面的交线为C （1）求C在xOy布上的投影曲线的方程； （2）求S的质量.M 20 （本题满分 11 分） 设三阶矩阵123,A 有三个不同的特征值，且3122. （1）证明：( )2r A ； （2）若123, ，求方程组Ax的通解

8、 21 （本题满分 11 分） 设 二 次 型222123123121323(,)2282fxxxxxaxx xx xx x在 正 交 变 换xQy下 的 标 准 形 为221122yy，求a的值及一个正交矩阵Q 6 22 （本题满分 11 分） 设随机变量,X Y相互独立，且X的概率分布为1022P XP X，Y的概率密度为2 ,01( )0,yyf y其他 （1）求概率P YEY（）； （2）求ZXY的概率密度 23 （本题满分 11 分） 某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n次测量，该物体的质量是已知的，设n次测量结果12,nXXX相互独立且均服从正态分布2( ,)

9、.N 该工程师记录的是n次测量的绝对误差,(1,2, )iiZXin，利用12,nZ ZZ估计参数 （1）求iZ的概率密度； （2）利用一阶矩求的矩估计量； （3）求参数最大似然估计量 7 20172017 年全国硕士研究生入学统一考试数学一年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题试题 答案详解答案详解 一、选择题：一、选择题： （1） 【答案】A 【解析】0011 cos12limlim,( )2xxxxf xaxaxa在0 x处连续11.22baba选 A. （2） 【答案】C 【解析】( )0( )( )0,(1)( )0f xf x fxfx或( )0(2)( )0f xfx，只有 C

10、选项满足(1)且满足(2)，所以选 C。 （3） 【答案】D 【解析】2(1,2,0)1 2 22,2 ,4,1,04,1,0 , 2.|u|3 3 3fugradfxy xzgradfgradfu 选 D. （4） 【答案】B 【解析】从 0 到0t这段时间内甲乙的位移分别为001200(t) ,(t) ,ttvdtvdt则乙要追上甲，则 0210(t)v (t)10tvdt，当025t 时满足，故选 C. （5） 【答案】A 【解析】选项 A,由()0TE得()0TEx有非零解，故0TE。即TE不可逆。 选项 B,由()1Tr得T的特征值为 n-1 个 0， 1.故TE的特征值为 n-1

11、个 1， 2.故可逆。其它选项类似理解。 （6） 【答案】B 【解析】由()0EA可知 A 的特征值为 2,2,1 因为3(2)1rEA，A 可相似对角化，且100 020002A 由0EB可知 B 特征值为 2,2,1. 8 因为3(2)2rEB，B 不可相似对角化，显然 C 可相似对角化， AC，且 B 不相似于 C （7） 【答案】A 【解析】按照条件概率定义展开，则选项符合题意。 （8） 【答案】B 【解析】 221222122221( ,1),(0,1)()( ),(1)()(1)C1 ( , ),()(0,1), () (1),()(0,2),(1),B2iniiniinXNXNX

12、n AnSXXnX Nn XNn XDnXXN正确， 正确，正确,故 错误. 由于找不正确的结论，故 B 符合题意。 二、填空题：二、填空题： (9)【答案】(0)6f 【解析】 22220023211( )()( 1)11 ()( )( 1) 2 (21)(22)(0)0nnnnnnnnf xxxxxfxnnnxf (10)【答案】12(cos 2sin2 )xyecxcx， （12,c c为任意常数） 【解析】齐次特征方程为21,223012i 故通解为12(cos 2sin2 )xecxcx (11) 【答案】1a 【解析】22222222,(1)(1)PxyQaxyyxyxxy由积分与

13、路径无关知1PQayx (12)【答案】21( )1s xx 9 【解析】1112111( 1)( 1)1(1)nnnnnnxnxxxx （13） 【答案】2 【解析】由123,线性无关，可知矩阵123,可逆，故 123123,r AAAr Ar A 再由 2r A 得123,2r AAA （14） 【答案】2 【解析】0.54( )0.5 ( )()22xF xx，故0.540.5( )()22xEXxx dxxdx ( )0 xx dxEX。令42xt，则4()2xxdx=242( )8 14( )8 tt dttt dt 因此()2E X . 三、解答题：三、解答题： （15） 【答案】

14、2111200(1,1),(1,1),xxdyd yffdxdx 【解析】 01212100222111221221222111220(,cos )(0)(1,1)sin(1,1) 1(1,1) 0(1,1)( sin )( sin )sincos(1,1)(1,1)(1,1)xxxxxxxxxxyf exyfdyf efxfffdxd yf ef exf exfxf efxdxd yfffdx 结论： 102111220(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)xxdyfdxd yfffdx （16） 【答案】14 【解析】 211122 1020001111 11limln(1)ln(1)l

15、n(1)(ln(1)2214nnkkkxxx dxx dxxxdxnnx 10 （17） 【答案】极大值为(1)1y，极小值为( 1)0y 【解析】 两边求导得： 2233 33 0 xy yy （1） 令0y 得1x 对（1）式两边关于 x 求导得 2266330 xyyy yy （2） 将1x 代入原题给的等式中，得1110 xxoryy ， 将1,1xy代入（2）得(1)10y 将1,0 xy 代入（2）得( 1)20y 故1x为极大值点，(1)1y；1x 为极小值点，( 1)0y （18） （I）( )f x二阶导数，0( )(1)0, lim0 xf xfx 解：1）由于0( )li

16、m0 xf xx，根据极限的保号性得 0,(0, )x 有( )0f xx，即( )0f x 进而 0(0, )0 xf有 又由于( )f x二阶可导，所以( )f x在0,1上必连续 那么( )f x在 ,1上连续，由( )0,(1)0ff根据零点定理得： 至少存在一点( ,1)，使( )0f，即得证 （II）由（1）可知(0)0f，(0,1),( )0f 使，令( )( )( )F xf x fx，则(0)( )0ff 由罗尔定理(0, ),( )0f 使，则(0)( )( )0FFF， 对( )F x在(0, ),( , ) 分别使用罗尔定理： 12(0, ),( , ) 且1212,(

17、0,1), ，使得12()()0FF，即 11 2( )( )( )( )0F xf x fxfx在(0,1)至少有两个不同实根。 得证。 （19） 【解析】 （1）由题设条件知，C的方程为2222222zxyxyxzx 则C在xoy平面的方程为2220 xyxz （2） 2222222:22cos2202(x,y,z)99 221864ssD xyxmdSxyz dSxydxdydr dr （20） 【解析】 （I）证明：由3122可得12320，即123, 线性相关， 因此，1230A ，即 A 的特征值必有 0。 又因为 A 有三个不同的特征值，则三个特征值中只有 1 个 0，另外两个非

18、 0. 且由于 A 必可相似对角化，则可设其对角矩阵为1212,00 ( )( )2r Ar （II）由（1）( )2r A ，知3( )1r A，即0Ax 的基础解系只有 1 个解向量， 由12320可得12311,22011A ，则0Ax 的基础解系为121， 又123，即12311,1111A ，则Ax的一个特解为111 ， 综上，Ax的通解为1121 ,11kkR 12 （21） 【解析】 123(,)Tf x xxX AX，其中21411141Aa 由于123(,)Tf x xxX AX经正交变换后，得到的标准形为221122yy， 故214( )2| 01110241r AAaa，

19、 将2a 代入，满足( )2r A ，因此2a 符合题意，此时214111412A，则 123214|11103,0,6412EA ， 由( 3)0EA x，可得 A 的属于特征值-3 的特征向量为1111 ； 由(6)0EA x，可得 A 的属于特征值 6 的特征向量为2101 由(0)0EA x，可得 A 的属于特征值 0 的特征向量为3121 令123,P ，则1360PAP，由于123, 彼此正交，故只需单位化即可：1231111, 1,1,1,0,1,1,2,1,326TTT， 则12311132612036111326Q ，360TQ AQ 13 221236x Qyfyy （22

20、） 【解析】 102302( ) ( )2324()()239()( )()()(,0)(,2)(,0)(2,2)11()(2)22zE Yy ydyP YEYP YydyF ZP ZzP XYzP XYz XP XYz XP Yz XP YzXP YzP Yz （1） 当0,20zz，而0z ，则( )0zF Z （2） 当21,1,zz即3z 时，( )1zF Z （3）当01z时，21( )2zF Zz （4）当12z时，1( )2zF Z （5）当23z时，211( )(2)22zF Zz 所以综上22001,0121( ),12211(2) ,23221,3zzzzF Zzzzz 所

21、以01( )( )2 23zzzzfZF Zzz （23） 【解析】( )( )()()iziiFzP ZzP Xz 当0,( )0izzFz 当0,( )()()()()iziiXzFzPzXzPzXzFzFz 14 当0z 时， 222222222112( )( )()()222iizzzzzxxfzFzfzfzeee 综上2222,0( )20 ,0izzezfzz 222222222002222012()22222()222zzizedzE Zzedzzed 令1111()nniiiiiE ZZZZXnn 由此可得的矩估计量112niiXn 对总体X的n个样本12,nXXX， 则相交的绝对误差的样本12,1,2. ,niiZ ZZ Zxu in令其样本值为12,niiZ ZZZxu 则对应的似然函数2122122,0( )20 ,niiZnneZ ZZL其他 两边取对数，当12,0nZ ZZ时 22121ln ( )ln22niiLnZ 令231ln ( )10niidLnZdu 所以，221111()nniiiiZXunn为所求的最大似然估计。