2014考研数学二真题解析【无水印】.pdf

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1、 2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二 1 2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:1一、选择题:18 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. 指定位置上. (1) 当0 x时， 若ln(12)x，1(1cos)x均是比x高阶的无穷小， 则的取值范围是( ) (A) (2,) (B) (1, 2) (C)

2、 1(,1)2 (D) 1(0,)2 (2) 下列曲线中有渐近线的是 ( ) (A) sinyxx (B) 2sinyxx (C) 1sinyxx (D) 21sinyxx (3) 设函数()fx具有 2 阶导数，()(0)(1)(1)g xfxfx， 则在区间0,1上 （ ） (A) 当()0fx时，()()fxg x (B) 当()0fx时，()()fxg x (C) 当()0fx时，()()fxg x (D) 当()0fx时，()()fxg x (4) 曲线22741xtytt上对应于1t 的点处的曲率半径是 （ ） (A)1050 (B)10100 (C)1010 (D)510 (5)

3、 设函数()arctanfxx， 若()()fxxf ， 则220l i mxx （ ） (A)1 (B)23 (C)12 (D)13 (6) 设函数( ,)u x y在有界闭区域D上连续， 在D的内部具有 2 阶连续偏导数， 且满足20ux y 及22220uuxy， 则 （ ） (A)( ,)u x y的最大值和最小值都在D的边界上取得 (B) ( ,)u x y的最大值和最小值都在D的内部上取得 2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二 2 (C) ( ,)u x y的最大值在D的内部取得，最小值在D的边界上取得 (D) ( ,)u x y的最小值在D的内部取得，最大值在D的边界上取

4、得 (7) 行列式00000000ababcdcd （ ） (A) 2()adbc (B) 2()adbc (C) 2222a db c (D) 2222b ca d (8) 设123,均为 3 维向量，则对任意常数,k l，向量组1323,kl线性无关是向量组 123,线性无关的 （ ） (A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件 二、填空题：9二、填空题：914 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上. 指定位置上. (9) 12125dxxx_.

5、(10) 设()fx是周期为4的可导奇函数， 且()fx2(1),x0, 2x ， 则( 7 )f _. (11) 设( ,)zz x y是由方程2274yzexyz确定的函数，则1 1(,)2 2dz_. (12) 曲线()rr的极坐标方程是r ， 则L在点( ,)(,)22r处的切线的直角坐标方程是_. (13) 一根长为1的细棒位于x轴的区间0,1上,若其线密度 221xxx ,则该细棒的质心坐标x _. (14) 设二次型22123121323,24fxxxxxax xx x的负惯性指数为 1，则a的取值范围为_. 三、解答题：1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸三、解答题

6、：1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分) 2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二 3 求极限12121lim.1ln1xtxtetdtxx (16)(本题满分 10 分) 已知函数yyx满足微分方程221xyyy，且 20y，求 yx的极大值与极小 值. (17)(本题满分 10 分) 设平面区域22,14,0,0 ,Dx yxyxy计算22sinDxxydxdyxy. (18)(本题满分 10 分) 设函数()fu具有二阶连续导数，(e c

7、osy)xzf满足22222(4ecos) exxzzzyxy，若( 0 )0 ,( 0 )0ff，求()fu的表达式. (19)(本题满分 10 分) 设函数(),()fxg x的区间a, b上连续，且()fx单调增加，0()1g x.证明： (I)0( ),xag t dtxa xa b, (II)( )() d() g()baagt dtbaafxxfxx dx. (20)(本题满分 11 分) 设函数(x),0,11xfxx，定义函数列121()(),()(),fxfxfxffx, 1()(),nnfxffx，记nS是由曲线()nyfx，直线1x 及x轴所围成平面图形的面积，求极限li

8、mnnnS . (21)(本题满分 11 分) 已知函数( ,)fx y满足2(1)fyy，且2(,)(1)(2)ln,fy yyyy求曲线( ,)0fx y所围成的图形绕直线1y 旋转所成的旋转体的体积. 2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二 4 (22)(本题满分 11 分) 设矩阵123401111203A，E为三阶单位矩阵. (I)求方程组0Ax 的一个基础解系； (II)求满足ABE的所有矩阵. (23)(本题满分 11 分) 证明n阶矩阵111111111与00100200n相似. 2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案 2014 年全国硕士研究生入学统一考试

9、数学二试题答案 一、选择题:1一、选择题:18 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. 指定位置上. (1) 当0 x时， 若ln(12)x，1(1cos)x均是比x高阶的无穷小， 则的取值范围是( ) (A) (2,) (B) (1, 2) (C) 1(,1)2 (D) 1(0,)2 【答案】B 【解析】由定义 1000ln(12)(2)limlimlim 20 xxxxxxxx

10、所以10，故1. 2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二 5 当0 x时，211(1cos)2xx是比x的高阶无穷小，所以210，即2. 故选 B (2) 下列曲线中有渐近线的是 ( ) (A) sinyxx (B) 2sinyxx (C) 1sinyxx (D) 21sinyxx 【答案】C 【解析】关于 C 选项：11sinsinlimlim 1lim101xxxxxxxx . 11limsinlim sin0 xxxxxx ，所以1sinyxx存在斜渐近线yx. 故选 C (3) 设函数()fx具有 2 阶导数，()(0)(1)(1)g xfxfx， 则在区间0,1上 （ ） (A

11、) 当()0fx时，()()fxg x (B) 当()0fx时，()()fxg x (C) 当()0fx时，()()fxg x (D) 当()0fx时，()()fxg x 【答案】D 【解析】令()()()(0)(1)(1)()Fxg xfxfxfxfx，则 (0)(1)0FF, ( )(0)(1)( )Fxfffx ,( )( )Fxfx . 若()0fx，则()0Fx，()Fx在0,1上为凸的. 又(0)(1)0FF，所以当0,1x 时，()0Fx，从而()()g xfx. 故选 D. (4) 曲线22741xtytt上对应于1t 的点处的曲率半径是 （ ） (A)1050 (B)1010

12、0 (C)1010 (D)510 【答案】C 2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二 6 【解析】 111221122432212tttttdytdxtdydytdxdxt 3322211,101011ykRkqy 故选 C (5) 设函数()arctanfxx， 若( )( )f xx f， 则220l i mxx （ ） (A)1 (B)23 (C)12 (D)13 【答案】D 【解析】因为2()1()1fxfx，所以2()()xfxfx 222222000011()arctan11limlimlimlim()arctan33xxxxxfxxxxxxfxxxx 故选 D. (6) 设

13、函数( ,)u x y在有界闭区域D上连续， 在D的内部具有 2 阶连续偏导数， 且满足20ux y 及22220uuxy， 则 （ ） (A)( ,)u x y的最大值和最小值都在D的边界上取得 (B) ( ,)u x y的最大值和最小值都在D的内部上取得 (C) ( ,)u x y的最大值在D的内部取得，最小值在D的边界上取得 (D) ( ,)u x y的最小值在D的内部取得，最大值在D的边界上取得 2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二 7 【答案】A 【解析】记22222,0,uuuABCBA Cxx yy 相 反 数 则2=AC -B0,所以(x, y)u在D内无极值，则极值在

14、边界处取得. 故选 A (7) 行列式00000000ababcdcd ( ) (A)2()adbc (B)2()adbc (C)2222a db c (D)2222b ca d 【答案】B 【解析】由行列式的展开定理展开第一列 0000000000000000ababababa cdcbcddcdcd ()()ad adbcbc adbc 2()adbc . (8) 设123,aaa均为三维向量，则对任意常数,k l,向量组13aka,23ala线性无关是向量组123,aaa线性无关的 ( ) (A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件 【答案

15、】A 【解析】13231231001klkl. ) 记1323Akl，123B ，1001klC. 若123,线性无 2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二 8 关，则()()()2r Ar BCr C，故1323,kl线性无关. ) 举反例. 令30，则12,线性无关，但此时123,却线性相关. 综上所述，对任意常数,k l，向量1323,kl线性无关是向量123,线性无关的必要非充分条件. 故选 A 二、填空题：9二、填空题：914 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上. 指定位置上. (9) 1

16、2125dxxx_. 【答案】38 【解析】 111221111arctan252214132428xdxdxxxx (10) 设()fx是周期为4的可导奇函数， 且()fx2(1),x0, 2x ， 则( 7 )f _. 【答案】1 【解析】210, 2fxxx，且为偶函数 则 212,0fxxx ， 又 22fxxxc 且为奇函数，故=0c 222,0fxxxx ， 又fx的周期为 4， 711ff (11) 设( ,)zz x y是由方程2274yzexyz确定的函数，则1 1(,)2 2dz_. 【答案】1()2dxdy 【解析】对2274yzexyz方程两边同时对,x y求偏导 20

17、14 年全国硕士研究生入学统一考试数学二 9 22210(22)20yzyzzzeyxxzzezyyyy 当11,22xy时,0z 故1 11 1(,)(,)2 22 211,22zzxy 故1 1(,)2 2111()()222dzdxdydxdy (12) 曲线limnnnS 的极坐标方程是r ，则L在点( ,)(,)22r处的切线的直角坐标方程是_. 【答案】22yx 【解析】由直角坐标和极坐标的关系 coscossinsinxryr， 于是,22r对应于,0,2x y 切线斜率cossincossindydyddxdxd 0 ,22dydx 所以切线方程为202yx 即2=2yx (1

18、3) 一根长为1的细棒位于x轴的区间0,1上,若其线密度 221xxx ,则该细棒的质心坐标x _. 【答案】1120 2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二 10 【解析】质心横坐标1010 xxdxxxdx 31122100042112310005=2133211=2143212xxdxxxdxxxxxxxdxxxxdxx 111112=5203x (13) 设二次型22123121323,24fxxxxxax xx x的负惯性指数是 1，则a的取值范围_. 【答案】2, 2 【解析】配方法：22222123133233,24fxxxxaxa xxxx 由于二次型负惯性指数为 1，所

19、以240a，故22a. 三、解答题：1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸三、解答题：1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分) 求极限12121lim.1ln1xtxtetdtxx 【解析】11221122dd(e1)(e1)limlim11ln(1)xxttxxttttttxxxx 12lim (e1)xxxx 12000e1e11limlimlim222tttxtttttttt. (16)(本题满分 10 分) 2014 年全国硕士研究

20、生入学统一考试数学二 11 已知函数yyx满足微分方程221xyyy，且 20y，求 yx的极大值与极小 值. 【解析】 由221xyyy，得 22(1)1yyx 此时上面方程为变量可分离方程，解的通解为 331133yyxxc 由(2)0y得23c 又由可得 221()1xyxy 当()0yx时，1x ，且有： 1,()011,()01,()0 xyxxyxxyx 所以()y x在1x 处取得极小值，在1x 处取得极大值 (1)0,(1)1yy 即：()y x的极大值为 1，极小值为 0. (17)(本题满分 10 分) 设平面区域22,14,0,0 ,Dx yxyxy计算22sinDxxy

21、dxdyxy. 【解析】D 关于yx对称，满足轮换对称性，则： 2222sin()y sin()DDxxyxydxdydxdyxyxy 222222sin()sin()sin()12DDxxyxxyyxyIdxdydxdyxyxyxy 221sin()2Dxydxdy 2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二 12 2201211sin21()cos4drrdrrdr 22111cos|cos4rrrdr 211121sin|4r 34 (18)(本题满分 10 分) 设函数()fu具有二阶连续导数，(e cosy)xzf满足22222(4ecos) exxzzzyxy，若( 0 )0 ,

22、( 0 )0ff，求()fu的表达式. 【解析】由cos,xzfey(cos)cos,(cos)sinxxxxzzfeyeyfeyeyxy 22(cos)coscos(cos)cosxxxxxzfeyeyeyfeyeyx， 22(cos)sinsin(cos)cosxxxxxzfeyeyeyfeyeyy 由 22222+4cosxxzzzeyexy，代入得， 22cos4coscosxxxxxfeyefeyey e 即 cos4coscosxxxfeyfeyey， 令cos= ,xeyt得 4ftftt 特征方程 240,2 得齐次方程通解2212ttyc ec e 2014 年全国硕士研究生

23、入学统一考试数学二 13 设特解*yatb，代入方程得1,04ab ，特解*14yt 则原方程通解为 22121=4ttyftc ec et 由 00,00ff，得1211,1616cc , 则 22111=16164uuyfueeu. (19)(本题满分 10 分) 设函数(),()fxg x在区间,a b上连续，且()fx单调增加，0()1g x，证明： （I）0( ),xag t dtxa xa b, （II）( )() d() g()baagt dtbaafxxfxx dx. 【解析】 （I）由积分中值定理 ,xagtdtgxaa x 01gx，0gxaxa 0 xagtdtxa （I

24、I）直接由01gx，得到 01=xxaagtdtdtxa （II）令 uauag t dtaaFufxgxdxfxdx uauaFufugufagtdtgugufufagtdt 由（I）知 0uagtdtua uaaagtd tu 又由于fx单增，所以 0uafufagtdt 0FuFu，单调不减，0FuFa 取ub，得 0Fb，即（II）成立. 2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二 14 (20)(本题满分 11 分) 设函数(x),0,11xfxx，定义函数列 1211()(),()(),()(),nnfxfxfxffxfxffx， 记nS是由曲线()nyfx， 直线1x 及x轴所

25、围成平面图形的面积，求极限limnnnS . 【解析】123(),(),(),(),112131nxxxxfxfxfxfxxxxnx 11100011()11nnxxnnSfx dxdxdxnxnx 1110200111111ln(1)1dxdxnxnnnxnn 211ln(1)nnn ln(1)ln(1)1lim1lim1lim1lim1nnnxxnxnSnxx 101 (21)(本题满分 11 分) 已 知 函 数( ,)fx y满 足2 (1 )fyy， 且2(,)(1 )( 2) l n,fyyyyy求 曲 线(,)0fxy所围成的图形绕直线1y 旋转所成的旋转体的体积. 【解析】因为

26、2(1)fyy,所以2(,)2(),fx yyyx其中()x为待定函数. 又因为2(,)(1)2ln,fy yyyy则()12lnyyy，从而 22( ,)212ln(1)2lnfx yyyxxyxx. 令( ,)0,fx y可得2(1)2lnyxx，当1y 时，1x 或2x ，从而所求的体积为 2221122112lnln22Vydxxxdxxxdx 2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二 15 22211221ln(2)222552 ln 2(2)2 ln 22 ln 2.444xxxxdxxx (22)(本题满分 11 分) 设矩阵123401111203A，E为三阶单位矩阵. (

27、I)求方程组0Ax 的一个基础解系； (II)求满足ABE的所有矩阵B. 【解析】 123410012341000111010011101012030010431101A E 123410010012610111010010213100131410013141, (I)0Ax 的基础解系为1, 2,3,1T (II)1231, 0, 0,0,1, 0,0, 0,1TTTeee 1A xe的通解为111112,1,1, 02,12,13,TTxkkkkk 2Axe的通解为222226,3,4, 06,32,43,TTxkkkkk 3Axe的通解为333331,1,1, 01,12,13,TTxk

28、kkkk 123123123123261123212134313kkkkkkBkkkkkk（123,kkk为任意常数） (23)(本题满分 11 分) 证明n阶矩阵111111111与00100200n相似. 2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二 16 【解析】已知1111A，12001Bn=， 则A的特征值为n，0(1n 重). A属于n的特征向量为(1,1,1)T；()1r A，故0Ax 基础解系有1n 个线性无关的 解 向 量 ， 即A属 于0有1n 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 ； 故A相 似 于 对 角 阵0=0n. B的特征值为n，0(1n 重)，同理B属于0有1n 个线性无关的特征向量，故B相似于对角阵. 由相似关系的传递性，A相似于B.