16-17复变函数复习题3.pdf

《16-17复变函数复习题3.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《16-17复变函数复习题3.pdf（12页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第1页 （共 12 页）解下列方程.1 利用 Fourier 变换，解积分方程01, 01( )sin2, 120, 2tgtdtt解：设积分方程右端的分段函数为( )f t，即0( )sin( )gtdf t则1200122( )( )sinsin2sin122122coscos(1 cos2cos2 )01gf ttdttdttdttt 2.应用拉氏变换解满足初始条件(0)0,(0)1yy的微分方程2tyyye解：设( )( )y tY s，对方程两边取拉氏变换，得21( )1( )2 ( ).1s Y ssY sY ss 解得1111( )(1)(1)211Y sssss再取拉氏逆变换，

2、得1( )().2tty tee3.求如下微分方程组( )( )( )( )3 ( )2 ( )2ttx tx ty tey tx ty te满足初始条件：(0)(0)1xy的解.解：设 ( )( ), ( )( ).L x tX s L y tY s对方程组的每个方程两端取拉氏变换得：第2页 （共 12 页）1(1)( )( ) 112(2) ( )3( ) 11sX sY sssY sX ss 解之得1( )( )1X sY ss取拉氏逆变换得原方程组的解为( )( ).tx ty te计算题：1. 已知)()(2xzyixzf，求)2(if。解：2)(zzf，故zzf2)(则iif24)

3、2(2.计算积分dzzzzI21的值，其中为正向圆周：4z 。解：dzzdzzdzzzzzI1121) 1(2）（）（令1 . 0:1ZL,1 . 01:2ZL则由复合闭路定理可知：idzzdzzdzzdzzILLLL211121221213.计算积分dzzC)2Im(，其中 C 为从原点到 1+i 的直线段。解：yixz，yixz222故yz2)2Im(第3页 （共 12 页）设 C:ittiyxz，t从 0 到 1则在 C 上dtidz)1 ( dzzC)2Im(=dtit)1 (210=i16.已知sstfcos1)( L，求)(lim00dttfts L。解：ssFdttft)()(0

4、 L)()(sFtf L21)(lim00dttfts L7.已知vu,均是以yx,为自变量的实二元函数，且xvu2，试确定解析函数ivuzf)(，且0)0(f.解：xvu2且ivuzf)(解析则02yyxxxyyxvuvuvuvu求出cyxvcyxu,由于0)0(f，故0c则)()(yxiyxzf8.已知指数函数)(1Rketfkt （的 Laplace 变换第4页 （共 12 页）ksdteesFstkt1)(01若42ln)(sssF，求)(sF的 L 逆变换)(tf。解:由于指数函数ktetf)(1的 Laplace 变换，其中 k 为实数ksdteesFstkt1)(01)ks （故

5、4104sdteestt2102sdteestt故dsssdtdseeesssttt4121)(042即：4s2sln)(024dtdseeessttt4s2sln)(024dteteesttt故teetftt24)(9.解微分方程 1)0()0(65yyeyyyt.解：方程两边同时施加拉普拉斯变换，并代入初始条件得11)(6)0()( 5)0()0()(2ssYyssYysysYs611)()65(2sssYss1212332513277)(2sssssssssY第5页 （共 12 页）ttteeety21325)(231.已知yixz,iyzxzzzf3)(，求)1 (if 。解：32)(

6、zzzf232)(zzzfzzf62)( iif68)1 ( 2. 计算积分dzzzzI2122的值，其中为正向圆周：4z 。解：dzzdzzdzzzzzI212252)2(2125）（）（令1 . 0:1ZL,1 . 02:2ZL则由复合闭路定理可知：idzzdzzdzzdzzILLLL421212252252121）（）（3.计算积分dzzC)Im(2，其中 C 为从原点到 2+i 的直线段。解：yixz，xyiyxz2222故xyz2)Im(2设 C:ittiyxz2，t从 0 到 1则在 C 上dtidz)2( 第6页 （共 12 页）dzzC)Im(2=dtit)2(4102=i34

7、384.求ii）（43。解：ii）（43=iiLne)43( =)43(iiLne=)43(43ilniiArgie4arctan2ln53kie）（,.2, 1, 0k5.已知函数jetfj1)1(F，求1)(ttf(F。解：由jetfj1)1(F可知jtf11)(F2)1 (1)()(jFddjttf(F2)(1jttf(F6. 已知sstf2cos1)( L，求)(lim00dttfts L。(8 分)解：ssFdttft)()(0 L)()(sFtf L2)(lim00dttfts L7.已知vu,均是以yx,为自变量的实二元函数，且yvu2，第7页 （共 12 页）试确定解析函数iv

8、uzf)(，且0)0(f.(8 分)解：yvu2且ivuzf)(解析则20yyxxxyyxvuvuvuvu求出cyxucyxv,由于0)0(f，故0c则)()(yxiyxzf8.已知指数函数)(1Rketfkt （的 Laplace 变换ksdteesFstkt1)(01若11ln)(sssF，求)(sF的 L 逆变换)(tf。解:由于指数函数ktetf)(1的 Laplace 变换，其中 k 为实数ksdteesFstkt1)(01)ks （故110sdteestt110sdteestt故dsssdtdseeesssttt1111)(0即：1s1sln)(0dtdseeessttt1s1sl

9、n)(0dteteesttt第8页 （共 12 页）故teetftt)(9.解微分方程 1)0()0(34yyeyyyt.(10 分)解：方程两边同时施加拉普拉斯变换，并代入初始条件得21( )(0)(0) 4( )(0) 3 ( )1s Y ssyysY syY ss21(43) ( )51ssY sss 222221736666244( )(43)(1)(3)(1)(1)13ssssY sssssssss3173( )244ttty tteee8. 求 微 分 方 程,2tteyyy 满 足1)0(y和2)0( y的 解 .解 ： 设L ( )y t=( )Y s，对方程两端同时取拉氏变换

10、有：221( )2)2( ) 1)( )(1)s Y sssY sY ss 221(21) ( )(1)ssY sss所以：42421111( )(1)(1)(1)1(1)sY ssssss从而：31( )3!ttty tt eete=31(1)6tett 9. 解微分方程 1)0()0(65yyeyyyt解：方程两边同时施加拉普拉斯变换，并代入初始条件得11)(6)0()( 5)0()0()(2ssYyssYysysYs第9页 （共 12 页）611)()65(2sssYss1212332513277)(2sssssssssYttteeety21325)(231.求函数zzezfzsin92

11、)(2的解析区域，并求其导函数.解：由zezsin,均在复平面上解析，由092 z有3z，故)(zf的解析区域为3, 3C,由导数求导法则有zzzzezzezzezfzzzcos)9()29(2cos)9(22)9(2)(2222222.在映射2zw 下，求双曲线422 yx在w平面的像.解：令iyxz，ivuw，则xyiyxiyxivuw2)(222故422yxu，即该双曲线的像为平行于v轴的直线.3.计算ii1)1 (的值及其主值解：)24(221)1()1ln()1(1)1 (kiliniiiieei)2ln24()24221(kikline)2ln4sin()2ln4cos(224ie

12、k，2, 1, 0k令0k可得主值，)2ln4sin()2ln4cos(24ie第10页 （共 12 页）4.计算积分dzzzz311) 1(sin解：原式1sin)sin( )(sin! 2211izizizz5.计算积分dzzezz221解：分别以iz 和iz为圆心作两个小圆周1C和2C，则dz11121212222CzCzCzCzzzizizedzizizedzzedzzedzze1sin222iieeiii6.求正弦函数ttf0sin)(的 Fourier 变换解：根据 Fourier 变换公式，有：dtieeetdtetfFFtitititi2sin)()(000dteeititi)

13、()(0021)(2)(22100i)()(00 i7.求函数elsetttf, 010 , 101, 1)(的 Fourier 变换解：1001)()(dtedtedtetfFtititicos42111001iieieieieiititi第11页 （共 12 页）8.求函数ttf3cos)(的 Laplace 变换解：0330023cos)()(dteeetdtedtetfsFititststst0)3(0)3(2121dtedtetsitsi9)3131(212ssisis7.已知vu,均是以yx,为自变量的实二元函数，且yxvu3，试确定解析函数ivuzf)(，且0)0(f.解：yxv

14、u3且ivuzf)(解析则13yyxxxyyxvuvuvuvu求出cyxvcyxu2,2由于0)0(f，故0c则)()(yxiyxzf8.已知指数函数)(1Rketfkt （的 Laplace 变换ksdteesFstkt1)(01若32ln)(sssF，求)(sF的 L 逆变换)(tf。解:先求指数函数ktetf)(1的 Laplace 变换，其中 k 为实数ksdteesFstkt1)(01)ks （故3103sdteestt第12页 （共 12 页）2102sdteestt故dsssdtdseeesssttt3121)(032即：3s2sln)(023dtdseeessttt3s2sln)(023dteteesttt故teetftt23)(9.解微分方程 1)0()0(2yyeyyyt解：方程两边同时施加拉普拉斯变换，并代入初始条件得21( )(0)(0) ( )(0) 2 ( )1s Y ssyysY syY ss21(2) ( )51ssY sss 22221233( )(2)(1)(2)(1)12ssssY ssssssss 212( )33tty tee