1988考研数学一、二、三真题+答案【无水印】.pdf

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1、1 1988 年全国硕士研究生入学统一考试 数学 一、 （每小题 5，本题满分 15 分）数学 一、 （每小题 5，本题满分 15 分）（1）求幂级数133nnnxn的收敛域. （2）已知 2xf xe， 1fxx ，且 0 x.求 x并写出它的定义域.（3）设S为曲面2221xyz的外侧， 计算曲面积分333SIx dydzy dzdxz dxdy .二、填空题： （本题满分 12 分，每小题 3 分）二、填空题： （本题满分 12 分，每小题 3 分） （1）若 21lim1t xxf ttx，则 ft（2）设 f x是周期为 2 的周期函数，它在区间1,1上定义为 32, 10,01xf

2、 xxx ，则 f x的傅里叶级数在1x 处收敛于. （3）设 f x是连续函数，且 310 xf t dtx，则 7f . （4）设 4 阶矩阵234,A ，234,B ，其中，234, , 均为 4 维列向量，且已知行列式4A ，1B ，则行列式AB. 三、选择题（每小题 3 分，满分 15 分） 三、选择题（每小题 3 分，满分 15 分） （1） 若函数 yf x有012fx， 则当0 x 时， 该函数在0 xx处的微分dy是 （ ） （A）与x等价的无穷小 （B）与x同阶的无穷小 （C）比x低阶的无穷小 （D）比x高阶的无穷小 （2）设( )yf x是方程240yyy的一个解，若(

3、)0f x ，且0()0fx，则函数( )f x在点0 x（A）取得极大值 （B）取得极小值 （C）某个邻域内单调增加 （D）某个邻域内单调减少 （3）设有空间区域22221:,0 xyzR z及22222:xyzR，0,0,0 xyz，则（ ） （A）124xdvxdv（B）124ydvydv（C）124zdvzdv（D）124xyzdvxyzdv2 （4）若11nnnax在1x 处收敛，则此级数在2x 处（ ）（A）条件收敛 （B） 绝对收敛 （C）发散 （D）收敛性不能确定 （5）n维向量组12,3ssn 线性无关的充分必要条件是（ ）（A）有一组不全为 0 的数12,sk kk，使11

4、220sskkk （B）12,s 中任意两个向量都线性无关 （C）12,s 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出 （D）12,s 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出四、 （本题满分 6 分） 四、 （本题满分 6 分） 设xyuyfxgyx，其中, f g具有二阶连续导数，求222uuxyxx y . 五、 （本题满分 8 分） 五、 （本题满分 8 分） 设函数 yy x满足微分方程322xyyye，且图形在点0,1处的切线与曲线21yxx在该点的切线重合，求函数 yy x.六、 （本题满分 9 分） 六、 （本题满分 9 分） 设位于点0,1的质点A对质点M的引力大小为2kr（0k

5、 为常数，r为质点A与M之间的距离） ，质点M沿曲线22yxx自2,0B运动到0,0O.求在此运动过程中质点A对质点M的引力所做的功. 七、 （本题满分 6 分） 七、 （本题满分 6 分） 3 已知APPB，其中100000001B，100210211P，求A及5A. 八、 （本题满分 8 分） 八、 （本题满分 8 分） 已知矩阵20000101Ax与20000001By相似，（1）求x与y， （2）求一个满足1P APB的可逆矩阵P. 九、 （本题满分 9 分） 九、 （本题满分 9 分） 设函数 fx在区间, a b上连续，且在, a b内有 0fx.证明：在, a b内存在唯一的，使

6、曲线 yfx与两直线 yf，xa所围平面图形面积1S是曲线 yfx与两直线 yf，xb所围平面图形面积2S的 3 倍.十、填空题（每小题 2 分，满分 6 分）十、填空题（每小题 2 分，满分 6 分） （1）设三次独立试验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率等于1927，则事件A在一次试验中出现的概率为 （2）在区间0,1中随机地取两个数，则事件“两数之和小于65”概率为（3）设随机变量X服从均值为10，均方差为0.02的正态分布.已知 2212uxxedu，2.50.9938，则X落在区间9.95,10.05内的概率为十一、 （本题满分 6 分） 十一、 （本题满分 6 分

7、） 设随机变量X的概率密度函数为21( )1Xfxx，求随机变量31YX 的概率密度函数( )Yfy. 4 数学 一、 （本题满分 15 分，每小题 5 分） （1） 【数学 一、 （本题满分 15 分，每小题 5 分） （1） 【同数学第一（1）题】 （2） 【】 （2） 【同数学第一（2）题】 （3） 【】 （3） 【同数学第一（3）题】 二、填空题（本题满分 12 分，每小题 3 分） （1） 【】 二、填空题（本题满分 12 分，每小题 3 分） （1） 【同数学第二（1）题】 （2） 【】 （2） 【同数学第二（2）题】 （3） 【】 （3） 【同数学第二（3）题】 （4） 【】 （

8、4） 【同数学第二（4）题】 三、选择题（本题满分 15 分，每小题 3 分） （1）【】 三、选择题（本题满分 15 分，每小题 3 分） （1）【同数学第三（1）题】 （2）（2） 【同数学第三（2）题】 （3）（3） 【同数学第三（3）题】 （4）（4） 【同数学第三（4）题】 （5）（5） 【同数学第三（5）题】 四、 （本题满分 18 分，每小题 6 分） 】 四、 （本题满分 18 分，每小题 6 分） （1）【同数学第四题】 】 （2）计算24212sinsin22xxxxxdxdydxdyyy（3）求椭球面2222321xyz上某点M处的切平面的方程，使平面过已知直线6321:

9、212xyzl. 五、 （本题满分 8 分） 【五、 （本题满分 8 分） 【同数学第五题】 六、 （本题满分 9 分） 【】 六、 （本题满分 9 分） 【同数学第六题】 七、 （本题满分 6 分） 【】 七、 （本题满分 6 分） 【同数学第七题】 八、 （本题满分 8 分） 【】 八、 （本题满分 8 分） 【同数学第八题】 九、 （本题满分 9 分） 【】 九、 （本题满分 9 分） 【同数学第九题】 】 5 数学 一、填空题（每小题 4 分，满分 20 分） 数学 一、填空题（每小题 4 分，满分 20 分） （1）若 sincos,02,0 xexxxfxxax是, 上的连续函数，

10、则a （2）【同数学第二（1）题】 】 （3）【同数学第二（3）题】 】 （4）01lim()tanxxx （5）40 xe dx 二、选择题（每小题 4 分，满分 20 分） 二、选择题（每小题 4 分，满分 20 分） （1）3211( )6132f xxxx的图形在点0,1处切线与x轴交点的坐标是（ ）（A）1,06（B）1,0 （C）1,06 （D）1,0（2）若( )f x与( )g x在, 上皆可导，且( )( )f xg x，则必有（ ）（A）()()fxgx（B）( )( )fxg x（C）00lim( )lim( )xxxxf xg x（D）00( )( )xxf t dtg

11、 t dt（3） 【同数学第二（1）题】 】 （4）曲线32sin, 0yxx与x轴围成的图形绕x轴旋转所形成的旋转体体积是（ ） （A）43（B）43（C）223（D）23 （5） 【同数学第三（5）题】 三、 （本题满分 15 分，每小题 5 分） 三、 （本题满分 15 分，每小题 5 分） （1） 【同数学第一（2）题】 （2）已知1xyyxe ，求0y x及0y x （3）求微分方程2111yyxx x的通解（一般解）. 四、 （本题满分 12 分） 四、 （本题满分 12 分） 作函数2624yxx的图形，并填写下表. 6 单调增区间单调减区间极值点极值凹 区间凸 区间拐 点渐近线

12、五、 （本题满分 8 分） 五、 （本题满分 8 分） 将长为a的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形.问这两段铁丝各长为多少时，正方形与圆形的面积之和为最小？六、 （本题满分 10 分）六、 （本题满分 10 分）【同数学第五题（分值不同） 】 七、 （本题满分 7 分） 七、 （本题满分 7 分） 设1x ，求11 | |xt dt.八、 （本题满分 8 分） 八、 （本题满分 8 分） 设 fx在, 上有连续导数，且 mfxM.（1）求201lim4aaaf taf tadta；（2）证明 1,02aaf t dtfxMm aa. 7 数学 一、填空题（本题满分 12 分，每空

13、1 分） 数学 一、填空题（本题满分 12 分，每空 1 分） （一）已知函数 2120 xtfxedt，x （1） fx（2） fx的单调性：（3） fx的奇偶性：（4） fx图形的拐点：（5） fx图形的凹凸性：（6） fx图形的水平渐近线：（二）1110110110110111（三）10001001001001000（四）假设 0.4P A ，0.7P AB，那么（1）若A与B互不相容，则 P B （2）若A与B相互独立，则 P B 二、判断题（本题满分 10 分，每小题答对得 2 分，答错得-1 分，不答得 0 分，全题最低 0 分） 二、判断题（本题满分 10 分，每小题答对得 2

14、分，答错得-1 分，不答得 0 分，全题最低 0 分） （1）若极限 0limxxfx与 0limxxfx g x都存在，则极限 0limxxg x必存在.（ ） （2）若0 x是函数 fx的极值点，则必有 0fx .（ ）（3）等式 00aafx dxf ax dx ，对任何实数a都成立.（ ）（4）若A和B都是n阶非零方阵，且0AB ，则A的秩必小于n.（ ） （5）若事件A，B，C满足等式ABBC，则AB.（ ） 三、计算下列各题（每小题 4 分，满分 16 分） 三、计算下列各题（每小题 4 分，满分 16 分） 8 （1）求极限 11limlnxxxxx（2）已知uuexy，求2ux

15、 y . （3）求定积分301dxxx（4）求二重积分660cosyxdydxx四、 （本题满分 6 分，每小题 3 分）四、 （本题满分 6 分，每小题 3 分） （1）讨论级数111 !nnnn的敛散性（2）已知级数21nna与2ii nb都收敛，试证明级数1n nna b绝对收敛. 五、 （本题满分 6 分） 五、 （本题满分 6 分） 已 知 某 商 品 的 需 求 量D和 供 给 量S都 是 价 格P的 函 数 ： 2aDD pp， SS pbp， 其中0a 和0b 是常 数；价 格P是 时间t的 函数且 满足方 程 dpk d ps pdt， （k是常数） ，假设当0t 时价格为

16、1，试求：（1）需求量等于供给量时的均衡价格eP； （2）价格函数 P t；（3）极限 limtP t六、 （本题满分 8 分） 六、 （本题满分 8 分） 在曲线2,0yxx上某点A处作一切线，使之与曲线以及x轴所围成的面积为112，试求：（1）切点A的坐标； （2）过切点A的切线方程： （3）由上述所围平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积. 9 七、 （本题满分 8 分） 七、 （本题满分 8 分） 已给线性方程组123412341213412342231363315351012xxxxxxxxxxk xxxxxxk，问1k和2k各取何值时，方程组无解？有唯一解？无穷解？在方程组有无穷解

17、的情景下，试求出一般解. 八、 （本题满分 7 分） 八、 （本题满分 7 分） 已 知 向 量 组12,2sa aas 线 性 无 关 ， 设112aa，223aa， ，11sssaa，1ssaa，讨论向量组12,s 的线性相关性.九、 （本题满分 6 分） 九、 （本题满分 6 分） 设A是三阶方阵，A是A的伴随矩阵，A的行列式12A ，求行列式132AA的值. 十、 （本题满分 6 分） 十、 （本题满分 6 分） 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0,1,2只残次品的概率是0.8,0.1,0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯， 在购买时， 售货员随意取一箱， 而顾客开箱随机观察4只， 若

18、无残次品，则购买下该玻璃杯，否则退回.试求： （1）顾客买下该箱的概率； （2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率. 十一、 （本题满分 6 分） 十一、 （本题满分 6 分） 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数. （1）写出X的概率分布； （2）利用棣莫佛拉普拉斯定理.求出索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值. （附：(2.5)0.994,(1.5)0.993） 十二、 （本题满分 6 分） 十二、 （本题满分 6 分） 假设随机变量X在区间1,2上服从均匀分布.试求随机变量2xYe的概率

19、密度 fy.10 数学 一、数学 一、【同数学第一题】 二、 二、【同数学第二题】 三、 （每小题分，满分 16 分） 三、 （每小题分，满分 16 分） （）求极限21lim 1tan2xxx （）已知xyue，求2ux y （） 【同数学第三（3）题】 （） 【同数学第三（4）题】 四、 （本题满分四、 （本题满分 6 分）分） 确定常数a和b，使函数 2,1,1axb xfxxx处处可导. 五、 （本题满分 8 分） 【五、 （本题满分 8 分） 【同数学第五题】 六、 （本题满分 8 分） 【】 六、 （本题满分 8 分） 【同数学第六题】 七、 （本题满分 8 分） 【】 七、 （本

20、题满分 8 分） 【同数学第七题】 八、 （本题满分 6 分） 】 八、 （本题满分 6 分） 已知n阶方阵A满足矩阵方程2320AAE,E是单位矩阵.证明A可逆并求出其逆矩阵1A.九、 （本题满分 7 分）九、 （本题满分 7 分）【同数学第八题】十、 （本题满分 7 分）十、 （本题满分 7 分）【同数学第十题】 十一、 （本题满分 7 分） 十一、 （本题满分 7 分） 假设有十只同种电器元件，其中有两只废品，装配仪器时从这批元件中任取一只，如是废品，则扔掉重新任取一只：若仍是废品，则扔掉再取一只.试求在取到正品之前，已取出的废品只数的分布，数学期望与方差. 十二、 （本题满分 5 分）

21、十二、 （本题满分 5 分）【同数学第十二题】 1988 年 第 1 页 1988 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准数学试题参考解答及评分标准 数 学（试卷一） 数 学（试卷一） 一一(本题满分本题满分 15 分，每小题分，每小题 5 分分) (1) 求幂级数1(3)3nnnxn的收敛域. 解：解：因11(3)1(1) 3limlim33 ,(3)3(1)33nnnnnnxnnxxxnn故131 063xx即时，幂级数收敛. 3 分 当0 x 时，原级数成为交错级数11( 1)nnn，是收敛的. 4 分 当6x 时，原级数成为调和级数11nn

22、，是发散的. 5 分 所以，所求的收敛域为0,6.(2) 已知 f(x)= e2x,f( )x=1-x,且 (x)0.求 (x)并写出它的定义域.解：解：由2 ( )1xex ，得 ( )ln(1)xx. 3 分 由ln(1)0 x，得11x即0 x . 5 分 所以( )ln(1)xx，其定义域为(,0). (3)设 S 为曲面1222zyx的外侧， 计算曲面积分sdxdyzdxdxydydzxI333. 解：解：根据高斯公式，并利用球面坐标计算三重积分，有 2223()Ixyz dv（其中是由S所围成的区域） 2 分 21220003dsindrrdr 4 分 125. 5 分 1988

23、年 第 2 页 二、填空题：二、填空题：(本题满分本题满分 12 分，每小题分，每小题 3 分分) (1) 若 f(t)=xlimttxx2)11 ( ，则( )f t2(21)tte(2) 设 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在区间1 , 1上的定 f(x)= 01, 210 ,3xxx,则 f(x)的付立叶级数在 x=1 处收敛于23. (3) 设 f(x)是连续函数，且103,)(xxdttf则 f(7)=112. (4) 设 4*4 矩阵 A=),(4, 3, 2，B=),(4, 3, 2，其中，4, 32,均为 4 维列向量， 且已知行列式 , 1, 4BA则行列式BA=.40.

24、 三、选择题三、选择题 ( 本题满分本题满分 15 分，每小题分，每小题 3 分分) (1) 若函数 y=f(x)有21)(0 xf，则当0 x时，该函 x=0 x处的微分 dy 是 (B) (A) 与x等价的无穷小 (B) 与x同阶的无穷小 (C) 比x低阶的无穷小 (D) 比x高阶的无穷小 (2) 设( )yf x是方程042 yyy的一个解，若( )0f x ，且0)(0 xf，则函数( )f x在点0 x(A) (A) 取得极大值 (B) 取得极小值 (C) 某个邻域内单调增加 (D) 某个邻域内单调减少 (3) 设有空间区域 22221:Rzyx,; 0z及22222:Rzyx, 0

25、, 0, 0zyx则 (C)(A) 124xdvxdv (B) 124ydvydv (C) 124zdvzdv (D) 124xyzdvxyzdv (4) 若nnnxa) 1(1在 x=-1 处收敛， 则此级数在 x=2 处 (B) (A) 条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 收敛性不能确定 (5) n 维向量组 12,(3)ssn 线性无关的充分必要条件是(D) (A) 有一组不全为 0 的数12,sk kk使11220sskkk.(B) 12,s 中任意两个向量都线性无关.(C) 12,s 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出.(D) 12,s 中任意一个向量都不能用其余

26、向量线性表出.四四(本题满分本题满分 6 分分) 1988 年 第 3 页 设)()(xyxgyxyfu，其中 f,g 具有二阶连续导数，求222uuxyxx y . 解：解：.uxyyyfggxyxxx 2 分 22231.uxyyfgxyyxx 3 分 222.uxxyyfgx yyyxx 5 分 所以2220uuxyxx y . 6 分 五、五、(本题满分本题满分 8 分分) 设函数 y=y(x)满足微分方程,223xeyyy 且图形在点(0，1)处的切线与曲线12xxy在该点的切线重合，求函数).(xyy 解：解：对应齐次方程的通解为212xxYCeC e. 2 分 设原方程的特解为*

27、,xyAxe 3 分 得2A . 4 分 故原方程通解为2212( )2xxxy xCeC exe. 5 分 又已知有公共切线得00|1,|1xxyy，7 分 即12121,21cccc解得121,0cc. 8 分 所以2(1 2 ).xyx e 六、六、(本题满分本题满分 9 分分) 设位于点(0，1)的质点 A 对质点 M 的引力大小为2rk(k0 为常数，r 为质点 A 与 M 之间的距离)， 质点 M 沿曲线22xxy自 B(2,0)运动到 O(0， 0).求在此运动过程中质点 A 对质 M 点的引力所做的功. 解：解：0,1MAxy 2 分 22(1) .rxy 因引力f 的方向与M

28、A 一致， 故3,1kfxyr . 4 分 1988 年 第 4 页 从而3(1)BOkWxdxy dyr 6 分 1(1)5k. 9 分 七、七、(本题满分本题满分 6 分分) 已知PBAP ,其中112012001,100000001PB求 A 及5A. 解：解：先求出1100210411P. 2 分 因PBAP ，故1100100100210000210211001411APBP100100100200210200201411611. 4 分 从而555111511AAAAAAPBPPBPPBPPB PPBPA 个个（）() ()=. 6 分八、八、(本题满分本题满分 8 分分) 已知矩

29、阵xA10100002与10000002yB相似， (1) 求 x 与 y； (2) 求一个满足BAPP1的可逆矩阵P. 解：解：(1) 因A与B相似，故| |EAEB，即 1 分 200200010001001yx， 亦即22(2)(1)(2)(1)xyy. 1988 年 第 5 页 比较两边的系数得0,1xy.此时200001010A，200010001B. 3 分 (2) 从B可以看出A的特征值2,1, 1. 4 分 对2，可求得A的特征向量为1100p . 对1，可求得A的特征向量为2011p . 对1 ，可求得A的特征向量为3011p. 7 分 因上述123,ppp是属于不同特征值的

30、特征向量，故它们线性无关. 令123100(,)011011p ppP，则P可逆，且有BAPP1. 8 分 九、九、(本题满分本题满分 9 分分) 设函数)(xf在区间ba,上连续， 且在),(ba内有0)( xf.证明： 在),(ba内存在唯一的， 使曲线)(xfy 与两直线axy),(所围平面图形面积1s是曲线)(xfy 与两直线axy),(所围平面图形面积2s的 3 倍. 证：存在性证：存在性 在 , a b上任取一点t，令 bttadxtfxfdxxftftF)()(3)()()( ( )()( )3( )( )()tbatf t taf t dxf x dxf t b t3 分 则(

31、 )F t在 , a b上连续. 又因0)( xf,故( )f x在 , a b上是单调增加的. 于是在( , )a b内取定点c，有 ( )3 ( )( )3 ( )( )3 ( )( )bcbaacF af xf a dxf xf a dxf xf a dx 113 ( )( )3( )( ) ()0,bcf xf a dxff abccb . 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 6 页 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )bcbaacF bf bf x dxf bf x dxf bf x dx ( )( )caf bf x

32、 dx22( )() ()0,f bfcaac. 5 分 所以由介值定理知，在( , )a b内存在 ,使0)(F，即.321SS 6 分 唯一性唯一性 因( )( )()3()0F tf ttabt， 8 分 故)(tF在( , )a b内是单调增加的.因此，在( , )a b内只有一个 , 使.321SS 9 分 十、填空题十、填空题(共共 6 分，每个分，每个 2 分分) (1) 设三次独立实验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率等于2719，则事件A在一次试验中出现的概率为13. (2) 在区间) 1 , 0(中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为1725

33、. (3) 设随机变量X服从均值为 10，均方差为 0.02 的正态分布.已知)(x=dueux2221，9938. 0)5 . 2(，则X落在区间(9.95，10.05)内的概率为0.9876. 十一、十一、(本题满分本题满分 6 分分) 设随机变量X的概率密度函数为)1 (1)(2xxfx，求随机变量31XY的概率密度函数)(yfY. 解：解：因Y的分布函数 ( )()YFyP Yy 1 分 33311(1) PXyPXyP Xy 2 分 333(1)(1)211arctanar(ctan(11)2yydxxyx. 4 分 故Y的概率密度函数为)(yfY363(1)( )1 (1)YdyF

34、ydyy. 6 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 7 页 数 学（试卷二）数 学（试卷二）一一(本题满分本题满分 15 分，每小题分，每小题 5 分分) (1) 【 同数学一 第一、(1) 题 】 (2) 【 同数学一 第一、(2) 题 】 (3) 【 同数学一 第一、(3) 题 】 二、填空题：二、填空题：(本题满分本题满分 12 分，每小题分，每小题 3 分分) (1) 【 同数学一 第二、(1) 题 】 (2) 【 同数学一 第二、(2) 题 】 (3) 【 同数学一 第二、(3) 题 】 (4) 【 同数学一 第二、(4) 题

35、 】 三、选择题三、选择题(本题满分本题满分 15 分，每小题分，每小题 3 分分) (1) 【 同数学一 第三、(1) 题 】 (2) 【 同数学一 第三、(2) 题 】 (3) 【 同数学一 第三、(3) 题 】 (4) 【 同数学一 第三、(4) 题 】 (5) 【 同数学一 第三、(5) 题 】 四四(本题满分本题满分 18 分，每小题分，每小题 6 分分) (1) 【 同数学一 第四题 】 (2) 计算dyyxdxdyyxdxxxx422212sin2sin. 解：解：dyyxdxdyyxdxxxx422212sin2sin 221sin2yyxdydxy3 分 212coscos2

36、2yy dy. 4 分 33284cos()(2)2yttdtt 令. 6 分郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 第 8 页 (3) 求椭球面2132222zyx上某点 M 处的切平面的方程， 使平面过已知直线2121326:zyxl. 解：解：令222( , , )2321,F x y zxyz则2 ,4 ,6 .xyzFx Fy Fz 椭球面在点000(,)M x y z处的切平面的方程为0000002 ()4()6 ()0 x xxy yyz zz,即0002321x xy yz z. 2 分 因为平面过直线 L，故 L 上的任两点，比如

37、点17(6,3, )(0,0, )22A、B应满足的方程， 代入有000366212xyz (1) 02z (2) 又因 2220002321,xyz (3) 于是有0000003,0,21,2,2xyzxyz及.4 分 故所求切平面的方程为274 +621xzxyz和.6 分 五、 （本题满分五、 （本题满分 8 分）分） 【 同数学一 第五题 】 六、 （本题满分六、 （本题满分 9 分）分） 【 同数学一 第六题 】 七、 （本题满分七、 （本题满分 6 分）分） 【 同数学一 第七题 】 八、 （本题满分八、 （本题满分 8 分）分） 【 同数学一 第八题 】 九、 （本题满分九、 （

38、本题满分 9 分）分） 【 同数学一 第九题 】 1988 年 第 9 页 数 学（试卷三） 数 学（试卷三） 一、填空题一、填空题 (本题满分本题满分 20 分，每小题分，每小题 4 分分) (1) 若0,20),cos(sin)(2xxxxxexf是),(上的连续函数，则1. (2) 【 同数学一 第二、 （1）题 】 (3) 【 同数学一 第二、 （3）题 】 (4) 01lim()tgxxx1. (5) 40 xe dx 22(1)e 二、选择题二、选择题 (本题满分本题满分 20 分，每小题分，每小题 4 分分) (1) 162131)(23xxxxf的图形在点 （0， 1） 处切线

39、与x轴交点的坐标是 (A) (A) 1(,0)6 (B) ( 1,0)(C) 1(,0)6 (D) (1,0)(2) 若)(xf与)(xg在),(上皆可导，且)(xf)(xg，则必有 (C) (A) ()()fxgx (B) ( )( )fxg x (C) 00lim( )lim ( )xxxxf xg x(D) 00( )( )Xxf t dtg t dt(3) 【 同数学一 第二（1）题 】 (4) 曲线)0(sin23xxy与x轴围成的图形绕x轴旋转所形成的旋转 (B) (A) 43(B) 43 (C) 223(D) 23【B 】(5) 【 同数学一 第三（5）题 】 三、三、(本题满分

40、本题满分 15 分，每小题分，每小题 5 分分) (1) 【 同数学一第一、 （2）题 】 (2) 已知xyxey1，求0 xy及0 xy. 解：解： 显然0 x 时，1y . 1 分 2()(1)xyxyxyyxexyyeex yxy. 2 分 因此001xye； 3 分 1988 年 第 10 页 而22(2)(1)(1)xyxyyex yxyxyyex yxyxy，4 分 即得000|2xyee. 5 分 (3) 求微分方程) 1(112xxyxy的通解（一般解）. 解：解：1121(1)dxdxxxyeedxCx x3 分 2111dxCxx4 分 1arctanxCx，其中 C 是任

41、意常数. 5 分 四、四、(本题满分本题满分 12 分分) 作函数4262xxy的图形，并填写下表 单调增加区间 单调减少区间 极值点 极 值 凹)( 区间 凸)( 区间 拐 点 渐近线 解：解： 单调增加区间 (,1) （1 分） 单调减少区间 (1,)（2 分） 极值点 1 （3 分） 极值 2 （4 分） 凹区间 (,0)(2,)及（6 分） 凸区间 (0,2)（7 分） 拐点 33(0, )(2, )22及（9 分） 渐进线 0y （10 分） 1988 年 第 11 页 其图形为： 五、五、(本题满分本题满分 8 分分) 将长为a的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形.问这两

42、段铁丝各长为多少时，正方形与圆形的面积之和为最小？ 解：解： 设圆形的周长为x，则正方形的周长为ax，而两面积之和为 222244216816axxaaAxx， 3 分 4088aAx （令） ，得4ax. 5 分 408A. 7 分 故当圆的周长为4ax时，正方形的周长为44aax时，A 之值最小. 8 分 六、六、(本题满分本题满分 10 分分)【 同数学一 第五题（分值不同） 】 七、七、(本题满分本题满分 7 分分) 设1x，求 dttx)1 (1. 解：解：当10 x 时，11(1 | |)(1)xxt dtt dt1 分 211(1)2xt2 分 21(1)2x. 3 分 当0 x

43、 时，0110(1 | |)(1)(1)xxt dtt dtt dt5 分 211(1)2x . 7 分 八、八、(本题满分本题满分 8 分分) 1988 年 第 12 页 设)(xf在),(上有连续导数，且Mxfm)(. (1) 求dtatfatfaaaa)()(41lim20； (2) 证mMxfdttfaaa)()(21)0( a. 解：解：(1) 由积分中值定理和微分中值定理有 201lim ()()4aaaf taf ta dta01lim ()()2afafaa()aa 2 分 *00lim()lim()( 22 )affaaaa=(0)f . 4 分 (2) 证：证：由( )f

44、x的有界性及积分估值定理有 5 分 1( )2aamf t dtMa, 6 分 又 ( )Mf xm ， 7 分 故有 1()( )( )2aaMmf t dtf xMma， 即 1( )( )2aaf t dtf xMma. 8 分 1988 年 第 13 页 数 学（试卷四） 数 学（试卷四） 一、填空题（本题满分一、填空题（本题满分 12 分，每空分，每空 1 分）分） (一一) 已知函数xdtexfxt,)(0212. （1）)(xf221te. （2）)(xf的单调性： 单调增加 . （3）)(xf的奇偶性： 奇函数 . （4）)(xf图形的拐点： （0，0） （5）)(xf图形的凹

45、凸性：0 x 时上凹（下凸）,0 x 时下凹（上凸）. （6）)(xf图形的水平渐近线近线：,22yy (二二) 11101101101101113. (三三) 100010010010010000001001001001000. (四) 假设( )0.4()0.7P AP AB，那么（1）若 A 与 B 互不相容，则 P（B）=0.3. （2）若 A 与 B 相互独立，则 P（B）=0.5. 二、 （本题满分二、 （本题满分 10 分） （每小题，回答正确得分） （每小题，回答正确得 2 分，回答错误得分，回答错误得-1 分，不回答得分，不回答得 0 分；全题最低得分；全题最低得 0 分）分

46、） （1）若极限)(lim0 xfxx与)(lim0 xfxx)(xg都存在，则极限)(lim0 xgxx必存在. （） （2）若0 x是函数)(xf的极值点，则必有0)(0 xf. （） （3）等式aadxxafdxxf00,)()(对任何实数a都成立.（） （4）若 A 和 B 都是n阶非零方阵，且 AB=0，则 A 的秩必小于n. （） 1988 年 第 14 页 （5）若事件 A，B，C 满足等式,ACBC 则 A=B. （） 三、 （本题满分三、 （本题满分 16 分，每小题分，每小题 4 分分.） (1) 求极限 11limlnxxxxx解一：解一： 此极限为00型未定式，由罗必塔

47、法则，则 11(ln1)=limlim1ln1xxxxxxxx原式. 4 分 解二：解二： 令lntxx，则xtxe.由于当1x 时，0t ，可见 001=limlim1tttteet原式. 4 分 (2) 已知xyeu，求yxu2. 解：解：由于11uuuyuxxeye， 2 分 可见221(1)uuuueyeuuyx yyxe 3 分 311(1)uuuxyeee. 4 分 (3) 求定积分)1 (30 xxdx. 解一：解一： 由于2 ()dxdxx，可见 原式302=1dxx2 分 23. 4 分 解二：解二： 令2,2xtxt dxtdt，；当0 x 时，0t ；当3x 时，3t ；

48、1 分 于是，3202=1dtt原式2 分 302arctanx3 分 1988 年 第 15 页 23. 4 分 (4) 求二重积分660cosyxdydxx. 解：解： 在原式中交换积分次序，得 原式600cosxxdxdyx 2 分 60=cosxdx601=sin2x4 分 . 四、 （本题满分分，每小题分）四、 （本题满分分，每小题分） (1) 讨论级数11)!1(nnnn的敛散性 解：解：由111211(2)!(2)211(1)(1)11(1)!(1)nnnnnnnunnnnnunnnnnn，有 11limlim21111(11)nnnnnneuunn， 2 分 故由级数收敛的比值

49、判别法，知11)!1(nnnn收敛. 3 分 (2) 已知级数12na和2ii nb都收敛，试证明级数1nnnba绝对收敛. 证：证： 由于级数12na和2ii nb都收敛，所以2211()2iinab收敛. 2 分 而221()2n nnna bab， 故由比较判别法，知级数1|nnna b收敛，即1nnnba绝对收敛. 3 分 五、 （本题满分五、 （本题满分 8 分）分） 已知某商品的需求量和供给量都是价的函数：2( )aDD pp，( )SS pbp，其中a0和b0是常数： 价格p是时间t的函数且满足方程(),()(pspdkdtdpk是常数） ，假设当 t=0 时价格为 1.试求：

50、（1）需求量等于供给量时的均衡价格eP； （2）价格函数)(tp； （3）极限)(limtpt. 1988 年 第 16 页 解：解：(1) 当需求量等于供给量时，有2abpp，即3apb. 故13( )eapb. 1 分 (2) 由条件知322 ( )( )dpabak D pS pkbpkpdtppb. 因此有332edpbkppdtp，即233ep dpkbdtpp . 3 分 在该式两边同时积分得333kbteppce. 5 分 故由条件(0)1P，可得31ecp .于是价格函数为13333( )(1)kbteep tpp e. 6 分 (3) 13333lim ( )lim(1)kb