2015年数学三真题答案解析.pdf

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1、2015年2015年淘宝店铺：光速考研工作室又因级数区收敛，由正项级数比较审敛法的极限形式可知，原级数收敛n-l n易2 对于C选项：（:+1尸n= 2m, n=2m+l = = (m O), 故互(1) + 1 lnn = :z: 2 ln2ni=n-2 n-2n-2 由比较审敛法知，原级数发散对于D选项：Un+! . (n+l)! 旷n n l-n+l)五希!1! 工=!:.1! (n+l)n+l n! =!1!(n+l)=! 声(1n+l)=e-1 1.由比值审敛法知，原级数收敛故应选C.(5) D解1 1 1 IA I= 1 2 a = (a2)(a1)(21) = (a - 2) (

2、a1). 1 4 a2 由线性方程组有无穷多解，得IA l=O, 即a=l或a=2. 由题意，知r(A)r(Ab)。h;:)勹:)1 1 1 当aI时，(A,b)oIO dI 同理，当a2时，(A,b) 0 I I dI 0 0 0 (d1) (d2) 由题意，知r(A) = r CA , b) 3 , 即d=l或d=2.故应选D.(6) A解又因为QP: :J: :PAP IJ 所以1 0 QAQo1 0 0 : rn : ff PAP: ImI :1故应选A.(7) C: I:m : IJ: : mI:I J 解对于A,B选项：当事件A与B独立时，P(AB) =P(A)PCB).而当A,B

3、不独立时，P(AB)与P(A)P(B)没有确定的关系，所以A,B选项错误淘宝店铺：光速考研工作室对于C,D选项：由概率性质P(A)P(AB)平CB)P(AB),PCA) +PCB) 两式相加，得P(A)+PCB)2PCAB), 即P(AB)-.故应选C.(8) B解因为XB(m,0),所以DCX)=m0Cl-0). l n 设s2= ex, X几则E(S2)=D(X) =m0Cl-0). 区n-l i-1 所以E笘ex,一X)2=Cnl)E n1言ex,X)z=(nl)E(S2)=(nl)D (X)=m (n1)0(10).故应选B.二、填空题(9)1 2 解利用等价无穷小代换1 2 x ln

4、(cosx) lnl + (cosxl)cosx11 lim =lim =lim = lim2 =.2 2 工-oX x-oX工-oX2 2 ., o X 2 (10) 2解po)= I 1 (t) dt 矿(x)=xf:2f(t)dt=x Zxf(x2)+ f工f(t)dt故矿Cl)=ZJ(l) + f:Jt)dt = ZJ(l) + pCl).由题目中条件，知J(l)=1 2 (11)-dx了dy3 矿(1)p(1) =2. 解由方程e工+2y+3z+ xyz = l 知，当X=O,y =O时，z=0. 对方程两边分别关于x和y求偏导数，得e工+2y+3z(1 + 3勹+yz +xy生=O

5、,知吐e工+2y+3之(2 +3 lz 石）lz +xz +xy=O. 3y 将x=O,y =O,z=O代入两式，得生I=-上生 2 dX (O,O) 3dy CO,Ol 3 dz I =dxdy.(0,0) 3 3 (12) Ze工十e-2工，则解因 y(x)在X=O处取得极值3且y(x)可导，则y(O)=3,y(O) =0. 特征方程为入2十入-2=0,解得入I=l, 入2=2.所以微分方程的通解为y=C1e工+C2e-2勹代入y(O)=3,y(O) =O, 解得C1=Z,C2=l.淘宝店铺：光速考研工作室故y(x) = ze + e-2气(13) 21解由A的特征值为z2,1及B=A2-

6、A+E,则B的特征值为3,7, 1, 从而 B = 3 X 7 X 1 = 21. 1 (14)z解由于相关系数为o, 所以，X,Y都服从正态分布，即XN(l,l),YN(O,l),且X和Y相互独立由XN(l,l),可得XlN(O,l), 所以PXY-Y O =P(Xl)YO =PX-lO+PX-lO,YO = P X -1 O + P X1 O P Y O 长三三=三、解答题(15)解因为a 曰(x)= 屯1 + l + x+ b (sinx + XCOSX) = 1 +a,曰(x)四3kxo, f (x) J(x) 所以当l+a#-0时， lim=lim , =. 与题设矛盾x于o g (

7、x)尸O g (x)故l+a=O, 即a=-1.又四厂(x)= 叶(1:x)2 +b(Zcosxxsinx) =-a+ Zb = l + Zb,limg (x) c= lim6kx = 0, x-ox-o由题设，同理可知1+ 2b =0, 即b=.1 2 由于2a 尸(x)Cl +x)3 -b (3sinx + xcosx)hm 111 =lim x-0 g (x) x-06kf (x) 1 且lim=l, 所以=l, 即k=1 x-o g (x) 3k 3 (16)解因为区域D关于y轴对称，所以Jfxydxdy=0, (x+ y)dxd: xdxdy D =2 dx J厂正dya 1 3k

8、3k =2fx气立了一x勹dx。， 淘宝店铺：光速考研工作室=2 f xz互勹dx2x4dx.0 0 令x=荔sint,则xz年二dx= J: 4sin2tcos2tdt =J:ocos4t)dt=王，。8又rx4dx二，所以0 5 (x+y)dxdy=二I.4 5 (17)解(18)解所以定价模型为_1-f1-7， -c lM f-l p -li 171-7dp-dQ-MCQ11 (_+P P”rp 且， 益Qc M 收dR-d 于“V 边R R M 得M， Q有应p ， R大益最收司J 由利）使欲I （ C II)由题设知MC=ZQ, T/ = p dQ p Q dp 40-p 由 厂(x

9、)u(x)u2(x)un(x) +u1(x)u12Cx)Un (x) +u1(x)u2(x)u., (x). (20)解C I)由于A3=O, 所以a 1 0 A1 al=a3=0 , 0 1 a 千是a=O.C II)由于所以由CI)知X-XA2 -AX +AXA2 =E,(E -A)X(E -A 2) =E. E-A +:1:l E-A1 因为E-A,E-A2均可逆，所以21 120 1 312 x-mA)一CBA产+l -10 I O l+ I1 110 10 0 211 ， 、JIO2 OlO (21)解C I)由于矩阵A与矩阵B相似， 所以tr(A)=tr(B), IAl=IBI,

10、3 +a -z +b, 2a3 =b, 于是解得a=4, b=5. (ll)由(1)知A-i: -; . 由于矩阵A勹矩阵B气:三以I队H-HlC入1)气入-5),故A的特征值为入1=儿=l,儿=5 .2 -3 当A,儿1时，由方程组(;-A)xO,得线性尤关的特征向量尸Js,-:淘宝店铺：光速考研工作室1 当儿5时，由方程组(5E -A)xO, 得特征向量S,了令P-(卢心厂。3 。1100 （ p IP 贝,lA 丿llp 1 010 ， 005故P为所求可逆矩阵(22)解C I)每次观测中，观测值大千3的概率为PX 3 = J厂f(x) dx = r= 2-x ln2dx一1 8 故Y的

11、概率分布为C II) P Y = k = Ck 1) (;) k-z (!) 2 , k = 2 , 3 , EY = :z=k Ck 1) 7 k-2 1 2 k-2一厂）（习=(订(:r)1 2 2 =(百)(1儿.):1 I三7b” =16. (23)解C I)由于总体X服从区间0,1上的均匀分布，所以EX= 1+0 2 . 1+e 2令=X, 其中X为样本均值，得0的矩估计批ezx1 .C II)记X1立，Xn为样本X1,X2,，X的观测值，则似然函数为L ()=II f (x; ;(),-1 1 (1 0)0 1 -o0)o, 其他由此可知，当(=minx1 ,xz, ，工时，L()达到最大，故0的最大似然估计晕0 =minX1 ,X2, ，X )X, 之l(i=1,2, , n), 其他O冬minx1,立，工，淘宝店铺：光速考研工作室