1990考研数一真题及解析.pdf

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1、 1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).) (1) 过点(1,2, 1)M且与直线2341xtytzt 垂直的平面方程是_. (2) 设a为非零常数,则lim()xxxaxa=_. (3) 设函数1, | 1,( )0, | 1,xf xx 则 ( )f f x=_. (4) 积分2220yxdxedy的值等于_. (5) 已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7)

2、,则该向量的秩是_. 二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).) (1) 设( )f x是连续函数,且( )( )xexF xf t dt,则( )F x等于 ( ) (A) ()( )xxef ef x (B) ()( )xxef ef x (C) ()( )xxef ef x (D) ()( )xxef ef x (2) 已知函数( )f x具有任意阶导数,且2( ) ( )fxf x,则当n为大于2的正整数时,( )f x 的n阶导数( )( )nfx是 ( ) (A) 1! ( )nnf x (B)

3、 1 ( )nn f x (C) 2 ( )nf x (D) 2! ( )nnf x (3) 设为常数,则级数21sin1()nnnn ( ) (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性与的取值有关 (4) 已知( )f x在0 x的某个领域内连续,且(0)0f,0( )lim21 cosxf xx,则在点0 x处 ( )f x ( ) (A) 不可导 (B) 可导,且(0)0f (C) 取得极大值 (D) 取得极小值 (5) 已知1、2是非齐次线性方程组Axb的两个不同的解,1、2是对应齐次线性方 程组0Ax 的基础解系,12,k k为任意常数,则方程组Axb的通解(一

4、般解)必是( ) (A) 1211212()2kk (B) 1211212()2kk (C) 1211212()2kk (D) 1211212()2kk 三、三、( (本题满分本题满分 1515 分分, ,每小题每小题 5 5 分分.).) (1) 求 120ln(1)(2)xdxx. (2) 设(2, sin )zfxy yx,其中( , )f u v具有连续的二阶偏导数,求2zx y . (3) 求微分方程244xyyye的通解(一般解). 四、四、( (本题满分本题满分 6 6 分分.).) 求幂级数0(21)nnnx的收敛域,并求其和函数. 五、五、( (本题满分本题满分 8 8 分分

5、) ) 求曲面积分2,SIyzdzdxdxdy其中S是球面2224xyz外侧在0z 的部分. 六、六、( (本题满分本题满分 7 7 分分) ) 设不恒为常数的函数( )f x在闭区间 , a b上连续,在开区间( , )a b内可导,且 ( )( )f af b.证明在( , )a b内至少存在一点,使得( )0f. 七、七、( (本题满分本题满分 6 6 分分) ) 设四阶矩阵 1 1 0 00 1 1 00 0 1 10 0 0 1B,2 1 3 40 2 1 30 0 2 10 0 0 2C, 且矩阵A满足关系式1()TTA EC BCE,其中E为四阶单位矩阵,1C表示C的逆矩 阵,T

6、C表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵A. 八、八、( (本题满分本题满分 8 8 分分) ) 求一个正交变换,化二次型2221231 21 32344448fxxxx xx xx x为标准形. 九、九、( (本题满分本题满分 8 8 分分) ) 质点P沿着以AB为直径的半圆周,从点(1,2)A运动到点(3,4)B的过程中受变力F作用(见图).F的大小等于点P与原点O之间的距离,其方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于2,求变力F对质点P所作的功. 十、填空题十、填空题( (本题满分本题满分 6 6 分分, ,每小题每小题 2 2 分分.).) (1) 已知随机变量X的概率密度函数|

7、|1( ),2xf xex ,则X的概率分布函数 ()F X _. (2) 设随机事件A、B及其和事件AB的概率分别是 0.4、0.3 和 0.6,若B表示B的对立事件,那么积事件AB的概率()P AB _. (3) 已知离散型随机变量X服从参数为 2 的泊松(Poisson)分布,即22,!keP Xkk 0,1,2k ,则随机变量32ZX的数学期望( )E Z _. 十一、十一、( (本题满分本题满分 6 6 分分.).) 设二维随机变量(, )X Y在区域:01,|Dxyx内服从均匀分布,求关于X的边缘概率密度函数及随机变量21ZX的方差( )D Z. ( , )P x y x O y (1,2)A F (3,4)B