2001考研数一真题及解析.pdf

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1、 2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分，把答案填在题中横线上分，把答案填在题中横线上) (1) 设12( sincos )xye cxcx(12,c c为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 (2) 设222,rxyz则(1, 2,2)()|div gradr (3) 交换二次积分的积分次序：0112( , )ydyf x y dx (4) 设矩阵A满足2A40AE ,其中E 为单位矩阵，则1AE (5) 设随机变量X 的方差

2、为 2，则根据切比雪夫不等式有估计()2P XE X 二、选择题二、选择题(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设函数( )f x在定义域内可导，( )yf x的图形如右图所示， 则导函数( )yfx 的图形为 ( ) (2) 设函数( , )f x y在点(0,0)附近有定义，且(0,0)3,(0,0)1,xyff则 ( ) (A)(0,0)|3.dzdxdy (B)曲面( , )

3、zf x y在点(0,0,(0,0)f的法向量为3,1,1. (C)曲线( , )0zf x yy在点(0,0,(0,0)f的切向量为1, 0,3. (D)曲线( , )0zf x yy在点(0, 0, f (0,0)的切向量为3,0,1. (3) 设(0)0f，则( )f x在点0 x可导的充要条件为 ( ) (A)201lim(1 cosh)hfh存在. (B)h01lim(1)hfeh存在. (C)201lim(sinh)hf hh存在. (D)01lim(2 )( )hfhf hh存在. (4) 设1 1 1 140001 1 1 10000,1 1 1 100001 1 1 1000

4、0AB则 ( ) (A)合同且相似 . (B)合同但不相似. (C)不合同但相似 . (D)不合同且不相似. (5) 将一枚硬币重复掷n 次，以XY和分别表示正面向上和反面向上的次数，则XY和的相关系数等于 ( ) (A)-1 (B)0 (C)12 (D)1 三、三、(本题满分本题满分 6 分分) 求2arctanxxedxe 四、四、(本题满分本题满分 6 分分) 设函数( , )zf x y在点(1,1) 处可微，且(1,1)(1,1)1,3, ( )( ,( , ).ffxf x f x xx 求31( )xdxdx. 五、五、(本题满分本题满分 8 分分) 设21arctan ,0(

5、), 1, 0 xx xf xxx 试将( )f x 展开成x的幂级数，并求级数21( 1)1 4nnn的和. 六、六、(本题满分本题满分 7 分分) 计算222222()(2)(3),LIyzdxzxdyxydz其中L 是平面2xyz 与柱面1xy的交线，从z 轴正向看去，L为逆时针方向. 七、七、(本题满分本题满分 7 分分) 设( )yf x 在( 1,1) 内具有二阶连续导数且( )0,fx 试证： (1) 对于(1,1)内的任意0 x, 存在唯一的( )x(0,1) ，使( )(0) ( )f xfxfx x成立； (2) 01lim ( ).2xx 八、八、(本题满分本题满分 8

6、分分) 设 有 一 高 度 为( )h t (t为 时 间 ) 的 雪 堆 在 融 化 过 程 中 ， 其 侧 面 满 足 方 程222()( )( )xyzh th t(设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数 0.9)，问高度为 130 厘米的雪堆全部融化需多少小时？ 九、九、(本题满分本题满分 6 分分) 设12,s 为线性方程组0Ax 的一个基础解系， 1112221223121,sstttttt其中12,t t为实常数.试问12,t t满足什么关系时，12,s 也为0Ax 的一个基础解系. 十、十、(本题满分本题满分 8 分分) 已知 3 阶矩阵

7、A与三维向量x, 使得向量组2,x Ax A x线性无关，且满足 3232A xAxA x (1) 记2,Px Ax A x求 2 阶矩阵B, 使1;APBP (2) 计算行列式.AE 十一、十一、(本题满分本题满分 7 分分) 设某班车起点站上客人数X 服从参数(0) 的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为(01)PP，且途中下车与否相互独立，以Y 表示在中途下车的人数，求： (1)在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率； (2)二维随机变量(, )X Y的概率分布. 十二、十二、(本题满分本题满分 7 分分) 设 总 体X服 从 证 态 分 布2(,) (0 ) ,N 从 该

8、 总 体 中 抽 取 简 单 随 机 样 本122,(2 )nXXXn ，其样本均值为211,2niiXXn求统计量212nin iiYXXX的数学期望( )E Y. 2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析解析 一、填空题一、填空题 (1)【答案】220yyy. 【 详 解 】 因 为 二 阶 常 系 数 线 性 齐 次 微 分 方 程0ypyqy的 通 解 为12( sincos)xyecxcx时，则特征方程20rprq对应的两个根为一对共轭复根：1,2i，所以根据题设12( sincos )xye cxcx(12,c c为任意常数)为某二

9、阶常系数线性齐次微分方程的通解，知：1,1，特征根为1,2i1, i 从而对应的特征方程为：2(1)(1)220,ii 于是所求二阶常系数线性齐次微分方程为220yyy. (2)【答案】2.3 【分析】若, ,r x y z具有连续的一阶偏导数，梯度gradr在直角坐标中的计算公式为： rrrgradrijkxyz 设, , , , ,A x y zP x y z iQ x y z jR x y z k，其中,P Q R具有一阶连续偏导数，散度divA在直角坐标中的计算公式为： PQRdivAxyz 若, ,r x y z具有二阶连续偏导数，则在直角坐标中有计算公式： 222222()rrrd

10、iv gradrxyz 【详解】本题实际上是计算222222rrrxyz rx222xyzx22222xxyz222xxyzxr 22rxxxr 2rrxxr2xrxrxrxrr223rxr 类似可得 ryyr，22ry223ryr；rzzr，22rz223rzr 根据定义有 ()div gradr222222rrrxyz222222333rxryrzrrr 222233rxyzr2233rrr232rr2r2222xyz 于是 (1, 2,2)()|div gradr2221, 2,22xyz2222231( 2)2 (3)【答案】2110( , ).xdxf x y dy 【详解】由题设二

11、次积分的限，画出对应的积分区域， 如图阴影部分. 但在10y 内，21y ， 题设的二次积分并不是( , )f x y在某区域上的二重积分， 因此，应先将题设给的二次积分变形为： 01021211( , )( , ),yydyf x y dxdyf x y dx 其中( , )10,12 ,Dx yyyx 再由图所示，又可将D改写为 ( , )12,10 ,Dx yxxy 于是 0112( , )ydyf x y dx0211( , )ydyf x y dx 2011( , )xdxf x y dy 2110( , ).xdxf x y dy (4)【答案】 1(2 ).2AE 【详解】要求(

12、)AE的逆，应努力把题中所给条件化成()AE BE的形式. 由题设240AAE222AAEE22AEAEE O x y x+y=1 x=2 1 即 12,2AEAEE 故 1122AEAE. (5)【答案】1 2 【分析】切比雪夫不等式：2()()D XP XE X 【详解】根据切比雪夫不等式有 22()21()2222D XP XE X 二、选择题二、选择题 (1) 【答案】(D) 【详解】从题设图形可见，在y轴的左侧，曲线( )yf x是 严格单调增加的，因此当0 x时，一定有( )0fx ，对应 ( )yfx图形必在x轴的上方，由此可排除(A)，(C)； 又( )yf x的图形在y轴右侧

13、靠近y轴部分是单调增，所以在这一段内一定有( )0fx ，对应( )yfx图形必在x轴的上方，进一步可排除(B)，故正确答案为(D). (2)【答案】(C) 【详解】题目仅设函数( , )f x y在点(0,0)附近有定义及(0,0)3,(0,0)1,xyff未设( , )f x y在点(0,0)可微，也没设( , )zf x y，所以谈不上dz，因此可立即排除(A)； 令( , , )( , )F x y zzf x y，则有,1xxyyzFfFfF . 因此过点(0,0,(0,0)f的法向量为,xyzF F F,1xyff 3,1,1 ，可排除(B)； 曲线( , )0zf x yy可表示

14、为参数形式：0,( ,0)xxyzf x点(0,0,(0,0)f的切向量为 1,0,(0,0)1,0,3xf . 故正确选项为(C). (3)【答案】(B) 【详解】方法方法 1：因为 0001( )( )lim(1) 1limlimln(1)ln(1)hhhxxf xf xxfeexhxxx 0( )ln(1)limxf xxxxxx 00( )0( )lim0lim0 xxf xff xfxx 0f 可见，若( )f x在点0 x可导，则极限01lim(1)hhfeh一定存在；反过来也成立. 方法方法 2：排除法：举反例说明(A)，(C)，(D)说明不成立. 比如，( )f xx, 在0

15、x 处不可导，但 2220001 cos11 coslim(1 cos )limlimhhhhhfhhhh22012sin2limhhh 2201112sinlim22hhhhh12，故排除(A) 2200sin1lim(sin )limhhhhf hhhh30sinlimhhhhh 其中，30sinlimhhhh30sinlimhhhh201coslim3hhh洛22012sin2lim3hhh22012lim3hhh等16 根据有界量与无穷小的乘积为无穷小，所以30sinhlim0hhhh.故排除(C). 又如1,0( )0,0 xf xx在0 x处不可导，但0011 1lim(2 )(

16、)lim0hhfhf hhh存在，进一步可排除(D). (4)【答案】 (A) 【详解】方法方法 1：因为A是实对称矩阵，必相似于对角阵. 1111111111111111EA44442,3,41111111111111行分别加到 行 111111111(4)111141111行提出公因子() 11111000(4)000000行分别加到2,3,4行34 ()=0 得A的特征值为：12344,0,故必存在正交矩阵Q, 使得 14000000000000000TQ AQQ AQ 因此，AB与相似.由两矩阵合同的充要条件：实对称矩阵AB与合同的充要条件是AB与相似. 因此，AB与也合同. 即AB与

17、既合同且相似.应选(A). 方法方法 2：因为A是实对称矩阵，故A必相似于一对角阵. 又由相似矩阵有相同的特征值,相同的秩, 知A与有相同的秩，故( )( )1,rr A 即对角线上有 3 个元素为零.因此, 1230是A的特征值. 求 另 一 个 特 征 值 ， 由 特 征 值 的 和 等 于 矩 阵 主 对 角 线 元 素 之 和 ， 知444114.iiiiia 故，44. 即A有特征值40和(三重根)，和对角阵B的特征值完全一致，故A,B相似.又由两矩阵合同的充要条件：实对称矩阵AB与合同的充要条件是AB与相似. 知A,B合同. (5)【答案】A 【详解】 掷硬币结果不是正面向上就是反

18、面向上，所以XYn，从而YnX， 故 ()DYD nXDX 由方差的定义：22()DXEXEX, 所以 22()()()DYD nXE nXE nX222(2)()E nnXXnEX 222222()nnEXEXnnEXEX22()EXEXDX) 由协方差的性质：cov(, )0X c (c为常数)；cov(,)cov(, )aX bYabX Y 1212cov(, )cov(, )cov(, )XX YX YX Y) 所以 cov(, )cov(,)cov(, )cov(,)0X YX nXX nX XDXDX 由相关系数的定义，得 cov(, )(, )1X YDXX YDXDYDXDX

19、三三【详解】2arctanxxedxe2arctanxxee dx21arctan22xxee dx 21arctan2xxe d e 221arctanarctan2xxxxeeede分部 2221arctan2(1)xxxxxdeeeee 222111arctan21xxxxxeedeee 22211arctan21xxxxxxeeededee 21arctanarctan2xxxxeeeeC 四四【详解】 由题设， ( )dxdx( ,( , )df x f x xdx12( ,( , )( ,( , )( , )f x f x xfx f x xf x x 1212( ,( , )(

20、,( , )( , )( , )f x f x xfx f x xfx xfx x 这里1ffx，2ffy， 所以 1( )xdxdx12121( ,( , )( ,( , )( , )( , )xf x f x xfx f x xfx xfx x 1212(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)ffff23 23 17 又 (1,1)1,f( )( ,( , )xf x f x x， 所以 (1)(1,(1,1)ff(1,1)1 (1,1)ff 1, 所以 3211( )( )3( )xxddxxxdxdx 21( )3(1)xdxdx1( )(1)1,173 1 17xdxdx 51 五五

21、【详解】 首先将arctan x展开. 因为 arctanx2211( 1),( 1,1)1nnnxxx 故 0arctanarctan0arctanxxx dx2000( 1)xnnnxdx 221000( 1)( 1)21nxnnnnnx dxxn ， 1,1x 于是 21( )arctanxf xxx22101( 1)21nnnxxxn220( 1)(1)21nnnxxn 22200( 1)( 1)2121nnnnnnxxnn01 1210210( 1)( 1)( 1)2 0 121211nnnnnnxxxnn 12211( 1)( 1)12121nnnnnnxxnn 2211( 1)(

22、 1)12121nnnnnnxxnn 21111( 1)2121nnnxnn 221( 1) 211 4nnnxn ， 1, 1 ,0 xx 又0lim( )xf x2201( 1) 2lim 11 4nnxnxn1，且(0)1f，所以( )f x在0 x处连续，从而0 x时，( )f x221( 1) 211 4nnnxn 也成立. 进而( )f x221( 1) 211 4nnnxn ，( 1,1)x ， 又在1x 处级数22211( 1) 2( 1) 21 41 4nnnnnxnn收敛， 2111lim( )limarctanxxxf xxx2111limlimarctanxxxxx24

23、2 1f， 2111lim( )limarctanxxxf xxx2111limlim arctanxxxxx2142f ， 所以( )f x在1x处左连续，在1x 处右连续，所以等式可扩大到1x ， 从而 221( 1) 2( )11 4nnnf xxn ，1,1x ， 变形得 221( 1)( )1142nnnf xxn 因此 21( 1)1 4nnn221( 1)11 4nnnn1(1) 12f11221.42 六六【详解】方法方法 1：用斯托克斯公式之后化成第一型曲面积分计算. 记S为平面2xyz上由L所围成的有界部分的上侧，(曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则)D为S在xoy坐标

24、面上的投影， ( , )|1 Dx yxy 221cos,cos,cos,11xyxyzzzz 在2xyz中，左右两边关于x求偏导，得10 xz，得1xz . 在2xyz中，左右两边关于y求偏导，得10yz，得1yz . 代入上式得 111cos,cos,cos,333 为S指定侧方向的单位法向量，由斯托克斯公式得 I222222()(2)(3)Lyz dxzx dyxydz SdydzdzdxdxdyxyzPQR22222223Sdydzdzdxdxdyxyzyzzxxy ( 24 )( 26 )( 22 )Syz dydzzx dzdxxy dxdy 将题中的空间曲线积分化为第二类曲面积分

25、， 而对于第二类曲面积分， 一般的解答方法是将它先化为第一类曲面积分，进而化为二重积分进行计算. 把111,coscoscosdSdydz dSdzdx dSdxdy代入上式， I( 24 )cos( 26 )cos( 22 )cosSyzzxxydS 1( 24 )( 26 )( 22 )3Syzzxxy dS 18463Sxyz dS2(423 )3Sxyz dS 按第一型曲面积分的算法，将S投影到xoy，记为.dS与它在xoy平面上的投影d的关系是 2211cosxydSdzz d 故3dSd，将2xyz代入 2(423 )3SIxyz dS 2423(2)( 3)3Sxyxyd 2(6

26、)Dxyd 由于D关于y轴对称，利用区域的对称性，因为区域关于y轴对称，被积函数是关于x的奇函数，所以0Dxd.D关于x轴对称，利用区域的对称性，因为区域关于x轴对称，被积函数是关于y的奇函数，故0Dyd，所以 2(6)DIxyd 2212DDDxdydd 12Ddxdy 12 D 的面积(由二重积分的几何意义知，Ddxdy即D的面积) 其中，D为1xy，D的面积141 122 ，所以12 224.I 方法方法 2：转换投影法. 用斯托克斯公式， 取平面2xyz被L所围成的部分为S， 按斯托克斯公式的规定，它的方向向上 (曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则) ，S在xoy平面上的投影域记为

27、 ( , )|1 Dx yxy. 由斯托克斯公式得 I222222()(2)(3)Lyz dxzx dyxydz SdydzdzdxdxdyxyzPQR22222223Sdydzdzdxdxdyxyzyzzxxy ( 24 )( 26 )( 22 )Syz dydzzx dzdxxy dxdy 由 111,coscoscosdSdydz dSdzdx dSdxdy， 及 221cos,cos,cos,11xyxyzzzz 知 11coscosdSdydzdxdy，11coscosdSdzdxdxdy， 故 22221cos1cos1xxyxxyzzzdydzdxdydxdyz dxdyzz 2

28、2221cos1cos1yxyyxyzzzdzdxdxdydxdyz dxdyzz 因为S为2zxy，式子左右两端分别关于, x y求偏导，1,1,zzxy 于是 ( 24 )( 26 )( 26 )SIyz dydzzx dzdxxy dxdy 24 , 26 , 26,1Szzyzzxxydxdyxy 2(423 )2(6)SDxyz dxdyxydxdy 因为区域D关于y轴对称，被积函数是关于x的奇函数，所以0Dxd. 类似的，因为区域D关于x轴对称，被积函数是关于y的奇函数，故0Dyd，所以 2(6)DIxyd 2212DDDxdydd 12Ddxdy 12 D 的面积(由二重积分的几

29、何意义知，Ddxdy即D的面积) D为1xy，D的面积141 122 ，所以 12 224.I 方法方法 3：降维法. 记S为平面2xyz上由L所围成的有界部分的上侧 (曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则) ，D为S在xoy坐标面上的投影，( , )|1 Dx yxy 把2xyz代入I 中， 1L为L 在xoy平面上投影，逆时针. 1222222(2) )(2(2)(3)()LIyxydxxyx dyxydxdy 12222(42444)(324888)Lyxxyxydxyxxyxydy 12222(324888)(42444)Lyxxyxyyxxyxydxdyxy格林公式 2(6)24D

30、xydxdy 方法方法 4：用斯托克斯公式后用第二型曲面积分逐个投影法. 记S为平面2xyz上由L所围成的有界部分的上侧，(曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则) 221cos,cos,cos,11xyxyzzzz 在2xyz中，左右两边关于x求偏导，得10 xz，得1xz . 在2xyz中，左右两边关于y求偏导，得10yz，得1yz . 代入上式得 111cos,cos,cos,333 为S指定侧方向的单位法向量，由斯托克斯公式得 I222222()(2)(3)Lyz dxzx dyxydz SdydzdzdxdxdyxyzPQR22222223Sdydzdzdxdxdyxyzyzzxxy

31、 ( 24 )( 26 )( 22 )Syz dydzzx dzdxxy dxdy 用逐个投影法，先计算1( 24 ),SIyz dydz 其中(,)|21yzDy zyzy为S在yoz平 面 上 的 投 影 ， 分 别 令0,0,20,20yyyzyz, 可得到yzD的 4 条边界线的方程： 右：23yz；上：3z ；左：21yz；下：1z . 于是 13(3)2111(1)22(2 )16zzIdzyz dy 再计算2( 26 )SIzx dzdx， 其中( , )|21xzDx zxxz 为S在xoz平面上的投影， 分别令0,0,20,20 xxxzxz, 可得到xzD的 4 条边界线的

32、方程： 右：23yz；上：3z ；左：21yz；下：1z . 于是 13(3)321211(1)22(3 )(6)8zzIdzzx dxzdz 再计算3( 22 )DIxy dxdy，其中( , )|1xyDx yxy为S在xoy平面上的投影，因为区域关于y轴和x轴均对称，被积函数是关于x和y都是奇函数， 于是 32()0SIxy dxdy 故 12324.IIII 方法方法 5：参数式法. L是平面2xyz与柱面1xy的交线，是由 4 条直线段构成的封闭折 线，将题中要求的空间曲线积分分成四部分来求. 当0,0 xy时，1:1,2Lyx zxy , 则,dydx dzdx ，x从 1 到0.

33、 以x为参数，于是 222222()(2)(3)yzdxzx dyxydz 222222(1)(2) 2(2)() 3(1) ()xxydxxyxdxxxdx 22(1)1 (2)( 1)xxdx 则 1222222()(2)(3)Lyz dxzx dyxydz 0221(1)1(2)( 1)xxdx 7.3 当0,0 xy, 2:1,1 2Lyx zx , 则,2dydx dzdx ，x从 0 到1 于是 222222()(2)(3)yzdxzx dyxydz 222222(1)(1 2 ) 2(1 2 )3(1) ( 2)xxdxxx dxxxdx (24)xdx 所以 212222220

34、()(2)(3)(24)3Lyz dxzx dyxydzxdx 当0,0 xy, 3:1,3Lyx z ,则,0dydx dz ，x从1到 0，于是 222222()(2)(3)yzdxzx dyxydz 222222(1)3 2 3()3(1) 0 xdxxdxxx 2(2226)xxdx 所以 302222222179()(2)(3)(2226)3Lyz dxzxdyxydzxxdx 当0,0 xy, 4:1,32Lyxzx，则,2dydx dzdx ，x从 0 到 1， 于是 222222()(2)(3)yzdxzx dyxydz 222222(1)(32 ) 2(32 )3(1) (

35、2)xxdxxx dxxxdx ( 1812)xdx 所以 412222220()(2)(3)( 1812)3.Lyz dxzx dyxydzxdx 所以 123424.LLLLLI 七七【分析】拉格朗日中值定理：如果( )f x满足在闭区间, a b上连续，在开区间, a b内可导，则至少存在一点, a b，使等式 f bf afba成立 【详解】(1) 因为( )yf x 在( 1,1) 内具有二阶连续导数，所以一阶导数存在，由拉格朗 日 中 值定 理 得， 任给 非 零( 1,1)x ， 存 在( )x(0,1) ，( )( 1,1)xx ， 使( )(0)( )f xfxfxx，(0(

36、 )1)x成立. 因为 fx在( 1,1)内连续且( )0,fx 所以 fx在( 1,1)内不变号，不妨设( )0,fx 则 fx在( 1,1)内严格单调且增加，故( )x唯一. (2)方法方法 1：由(1)知( )(0)( )f xfxfxx，(0( )1)x 于是有 ( )( )( 0 )xfx xfxf，即 ( )(0)( )f xffx xx 所以 2( )(0)( )(0)(0)fx xff xffxxx 上式两边取极限，再根据导数定义，得 左端0( )(0)limxfx xfx0( )(0)lim( )( )xfx xfxx x 00( )(0)limlim ( )( )xxfx

37、xfxx x0(0)lim ( )xfx 右端20( )(0)(0)limxf xffxx0( )(0)lim2xfxfx洛 01( )(0)lim20 xfxfx1(0)2f导数定义 左边=右边，即01(0)lim ( )(0)2xfxf，故01lim ( ).2xx 方法方法 2：由泰勒公式得21( )(0)(0)( ),02f xffxfxx ， 再与(1)中的 ( )(0)( )(0( )1)f xfxfx xx 比较，所以 21( )( )( 0 )( 0 ) (),2x fx xfxffxfx 约去x，有 1( )(0)( ) ,2fx xffx 凑成 ( )(0)1( )( ),

38、( )2fx xfxfx x 由于 0( )(0)lim(0)( )xfx xffx x，00lim( )lim( )(0)xfxff 所以 01(0)lim ( )(0)2xfxf 故 01l i m( ).2xx 八八【详解】222222()1( )0( )( )2xyzh txyh th t，所以侧面在xoy面上的投影为：2221,:( )2Dx yxyh t 记V为雪堆体积，S为雪堆的侧面积，则由体积公式 V,Df x y dxdyDzdxdy222()( )( )Dxyh tdxdyh t 化为极坐标，令cos ,sinxryr ， 0,022h tr V 222002( )( )h

39、 trdh trdrh t 22022( )( )h trh trdrh t 2220022( )( )h th trh t rdrrdrh t 2422002( )22 ( )h th trrh th t 33( )( )248h th t3( )4h t 再由侧面积公式： 221xyDSffdxdy221xyDzzdxdy 22441( )( )Dxydxdyh th t22216()1( )Dxydxdyh t 化为极坐标，令cos ,sinxryr ， 0,022h tr S 222200161h trdrdrht 22201621h trrdrht 22220161h trdrht

40、22222201616116h thtrrdhtht 32222202161163h thtrht 32232228211163hththt 2227 1163ht213( )12h t 由题意知0.9 ( ),dVS tdt 将上述( )V t和( )S t代入，得 32( )13( )40.912dh th tdt 223( )13( )( )0.9412dh th th tdt ( )1.3dh tdt 积分解得 13( )10h ttC 由 01 3 0h, 得130C . 所以13( )130.10h tt 令 0h t ，即13130010t100t 因此高度为 130 厘米的雪堆

41、全部融化所需要时间为 100 小时. 九九【详解】由题设知，12,s 均为12,s 的线性组合，齐次方程组当有非零解时， 解向量的任意组合仍是该齐次方程组的解向量， 所以12,s 均为0Ax 的解. 下面证明12,s 线性无关. 设 11220sskkk ( ) 把11122,tt21223,tt121,sstt代入整理得， 1 1212 11 222110sssst kt kt kt kt kt k 由12,s 为线性方程组0Ax 的一个基础解系，知12,s 线性无关，由线性 无关的定义，知( )中其系数全为零，即 1 122 11221100 0ssst kt kt kt kt kt k

42、其系数行列式 122121210000000000tttttttt122211321211211100000000000( 1)sssttttttttttt （ ）1121111( 1)sssstttt 112( 1)ssstt (（ ）变换：把原行列式第i行乘以21tt加到第1i行，其中1,1.is) 由齐次线性方程组只有零解得充要条件，可见，当12( 1)0,sstt ，即12() ,sstt 即当s为偶数，12;tt 当s为奇数，12tt时，上述方程组只有零解120,skkk因此向量组12,s 线性无关， 故当12122 ,21,snttsntt 时，12,s 也是方程组0Ax 的基础解

43、系. 十十【详解】(1) 方法方法 1：求B，使1APBP成立，等式两边右乘P，即APPB成立. 由题设知，AP2,A x Ax A x23,Ax A x A x，又3232A xAxA x，故有 AP22,32Ax A xAxA x2000,103012x Ax A x000103012P 即如果取000103012B，此时的B满足1APBP ，即为所求. 方法方法 2：由题设条件2,Px Ax A x是可逆矩阵，由可逆的定义，知有1P使 11PPP P 121112,Px Ax A xP x P Ax P A xE100010001 即有11121000 ,1 ,0001P xP AxP

44、A x . 由题设条件，3232A xAxA x，有 131232P A xPAxA x11232P AxP A x003 12 001 032 由1APBP，得 1BP AP12,P A x Ax A x123,PAx A x A x 11213,P Ax P A x P A x000103012 (2) 由(1)及矩阵相似的定义知，A与B相似. 由矩阵相似的性质：若AB，则( )( )f Af B，则AE与AE也相似. 又由相似矩阵的行列式相等，得 100113011AEBE1001( 1)0132011 行加到 行1 113( 1)11 4 十一十一【分析】首先需要清楚二项分布的产生背景

45、. 它的背景是：做n次独立重复试验，每次试验的结果只有两个(要么成功，要么失败)，每次试验成功的概率都为p，随机变量X表示n次试验成功的次数， 则( , )XB n p. 在此题中， 每位乘客在中途下车看成是一次实验，每个人下车是独立的，有n个人相当于做了n次独立重复实验，把乘客下车看成实验成功，不下车看成实验失败，而且每次实验成功的概率都为p，则问题(1)成为n重伯努利实验中有m次成功. 【详解】 (1)求在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率，相当于求条件概率|P Ym Xn，由题设知，此条件概率服从二项分布，因此根据二项分布的分布律有: |(1),0,0,1,2mmn mnP

46、Ym XnC PPmn n (2) 求二维随机变量(, )X Y的概率分布， 其实就是求,P Xn Ym， 利用乘法公式， 有 ,|P Xn YmP Ym Xn P Xn 又X服从参数(0) 的泊松分布，由泊松分布的分布律有!nP Xnen 故 ,|(1)!mmn mnneP Xn YmP Ym Xn P XnC PPn， 其中0,0,1,2mn n 十二十二【详解】 记121111,nnin iiiXXXXnn，则1212XXX，即122XXX 且 1111niniiiEXnuEXEXunnn，211nn iiEXEXun 因此 221211( )2nnin iin iiiE YEXXXEX

47、XXX 22112212niin in iiEXXXXXXXX 2211221112nnniin in iiiiEXXEXXXXEXX 因为样本方差221111niiSXXn是总体方差的无偏估计，则22ES，即2221111niiESEXXn 所以 2211(1)niiEXXn，同理 2221(1)nn iiEXXn 而 12121122nnin iin iiiEXXXXEXXXX 1212nin iiEXXXX21121nin iin iiE X XX XX XX X 21121nin iin iiEX XEX XEX XEX X 由于122,(2)nXXXn 相互独立同分布，则2iXX与，1n iXX与，12XX与也独立(1,2in). 而由独立随机变量期望的性质(若随机变量,X Y独立，且,EX EY都存在，则EXYEXEY)，所以 2in iin iEX XEX EXu，222iiEX XEX EXu 211n in iEX XEX EXu，21212EX XEX EXu 故有 121nin iiEXXXX 21121nin iin iiEX XEX XEX XEX X222210niuuuu 即 221122111( )2nnniin in iiiiE YEXXEXXXXEXX 2221121nnn