1995考研数学二真题解析【无水印】.pdf

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1、19951995 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.).) (1) 设221cos()sinyxx=,则y =. (2) 微分方程2yyx+= 的通解为. (3) 曲线231xtyt = +=在2t =处的切线方程为. (4) 22212lim()12nnnnnnnnn+=+L. (5) 曲线22xyx e=的渐近线方程为. 二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,

2、每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中, ,只有一项符只有一项符合题目要求合题目要求, ,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内. .) ) (1) 设( )f x和( )x在(,) +内有定义,( )f x为连续函数,且( )0f x ,( )x有间断点,则 ( ) (A) ( )f x必有间断点 (B) 2 ( )x必有间断点 (C) ( )fx必有间断点 (D) ( )( )xf x必有间断点 (2) 曲线(1)(2)yx xx=与x轴所围图形的面积可表示为 ( ) (A) 20(1)(2)x

3、xx dx (B) 1201(1)(2)(1)(2)x xx dxx xx dx (C) 1201(1)(2)(1)(2)x xx dxx xx dx+ (D) 20(1)(2)x xx dx (3) 设( )f x在(,) +内可导,且对任意12,x x,当12xx时,都有12()()f xf x,则 ( ) (A) 对任意,( )0 x fx (B) 对任意,()0 x fx (C) 函数()fx单调增加 (D) 函数()fx单调增加 (4) 设函数( )f x在0,1上( )0fx,则(1)(0)(1)(0)ffff、或(0)(1)ff的大小顺序是 ( ) (A) (1)(0)(1)(0

4、)ffff (B) (1)(1)(0)(0)ffff (C) (1)(0)(1)(0)ffff (D) (1)(0)(1)(0)ffff (5) 设( )f x可导,( )( )(1 |sin|)F xf xx=+,若使( )F x在0 x =处可导,则必有 ( ) (A) (0)0f= (B) (0)0f = (C) (0)(0)0ff += (D) (0)(0)0ff = 三、三、( (本题共本题共 6 6 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,满分满分 3030 分分.).) (1) 求01coslim(1 cos)xxxx+. (2) 设函数( )yy x=由方程( )fyyx

5、ee=确定,其中f具有二阶导数,且1f ,求22d ydx. (3) 设222(1)ln2xf xx=,且 ( )lnfxx=,求( )x dx. (4) 设21arctan,0,( ) 0, 0,xxf xxx=试讨论( )fx在0 x =处的连续性. (5) 求摆线1 cossinxtytt= = 一拱(02t )的弧长. (6) 设单位质点在水平面内作直线运动,初速度00tvv=,已知阻力与速度成正比(比例常数为 1),问t为多少时此质点的速度为03v？并求到此时刻该质点所经过的路程. 四、四、( (本题满分本题满分 8 8 分分) ) 求函数20( )(2)xtf xt e dt=的最

6、大值和最小值. 五、五、( (本题满分本题满分 8 8 分分) ) 设xye=是微分方程( )xyp x yx+=的一个解,求此微分方程满足条件ln20 xy=的特解. 六、六、( (本题满分本题满分 8 8 分分) ) 如图,设曲线L的方程为( )yf x=,且0y ,又,MT MP分别为该曲线在点00(,)M xy处的切线和法线,已知线段MP的长度为32200(1)yy+(其中00(),yy x= 00()yy x=),试推导出点( , )P 的坐标表达式. 七、七、( (本题满分本题满分 8 8 分分) ) 设0sin( )xtf xdtt=,计算0( )f x dx. 八、八、( (本

7、题满分本题满分 8 8 分分) ) 设0( )lim1xf xx=,且( )0fx,证明( )f xx. x y O T L 00(,)M xy ( , )P 19951995 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析解析 一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .) ) (1)【答案】22222cos() sin12 sin() sinxxxxxx 【解析】该函数是由两个复合函数的乘积构成,满足复合函数求导法则, 222211cos()sincos() sinyxxxx=

8、+ 22221111sin() 2sincos() 2sincos( 1)xxxxxxx= + 22222cos() sin12 sin() sinxxxxxx= . 【相关知识点】复合函数求导法则：( ( )yf x=的导数为( ( )( )yf xfx=. (2)【答案】12cossin2ycxcxx=+ 【解析】微分方程2yyx+= 对应的齐次方程0yy+=的特征方程为210r + =, 特征根为1,2ri= ,故对应齐次方程的通解为12cossinCxCx+. 设非齐次方程的特解Yaxb=+,则Ya =,0Y =,代入微分方程2yyx+= ,得 02axbx+= , 比较系数得2,0,

9、ab= =故2Yx= .所以通解为 12cossin2yCxCxx=+. 【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设*( )yx是二阶线性非齐次方程 ( )( )( )yP x yQ x yf x+=的一个特解.( )Y x是与之对应的齐次方程 ( )( )0yP x yQ x y+=的通解,则*( )( )yY xyx=+是非齐次方程的通解. 2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解( )Y x,可用特征方程法求解：即( )( )0yP x yQ x y+=中的( )P x、( )Q x均是常数,方程变为0ypyqy+=.其特征方程写为20rpr

10、q+=,在复数域内解出两个特征根12,r r； 分三种情况： (1) 两个不相等的实数根12,r r,则通解为1212;rxr xyC eC e=+ (2) 两个相等的实数根12rr=,则通解为()112;rxyCC x e=+ (3) 一对共轭复根1,2ri=,则通解为()12cossin.xyeCxCx=+其中12,C C为常数. 3.对于求解二阶线性非齐次方程( )( )( )yP x yQ x yf x+=的一个特解*( )yx,可用待定系数法,有结论如下： 如果( )( ),xmf xP x e=则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*( )( )kxmyxx Qx e= 的特解,其中(

11、 )mQx是与( )mP x相同次数的多项式,而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取 0、1 或 2. 如果( )( )cos( )sinxlnf xeP xxP xx=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程( )( )( )yp x yq x yf x+=的特解可设为 *(1)(2)( )cos( )sinkxmmyx eRxxRxx=+, 其中(1)( )mRx与(2)( )mRx是m次多项式,max,ml n=,而k按i+(或i)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1. (3)【答案】370yx+= 【解析】切线的斜率为 2222233322ttttdy

12、dytdttdxdxtdt=. 当2t =时,5,8xy=.故所求切线方程为 83(5)yx=.化简得 370yx+=. 【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果( )( )xtyt=,则( )( )dytdxt=. (4)【答案】12 【解析】应用夹逼准则求数列的极限.令 2221212nnannnnnnn=+ 则 22212nnannnnnnnnn+ 221(1)1222211.22n nnnnnnnn+=+=+ 又 222221(1)1212122nn nnnannnnnnnnnn+=+, 即 111222nnan+, 所以 11111limlimlim22222nnnnnan+=

13、+. 由夹逼准则,得1lim2nna=.即 222121lim()122nnnnnnnnn+=+. (5)【答案】0y = 【解析】函数22xyx e=的定义域为全体实数,且 22limlim0 xxxyx e=, 所以曲线只有一条水平渐近线0y =. 【相关知识点】铅直渐近线：如函数( )yf x=在其间断点0 xx=处有0lim( )xxf x= ,则 0 xx=是函数的一条铅直渐近线； 水平渐近线：当lim( )xf xa=(a为常数),则ya=为函数的水平渐近线. 二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.

14、.) ) (1)【答案】(D) 【解析】方法一方法一：反证法,利用连续函数的性质,即有限多个在同一点处连续的函数之乘积,仍然在该点处连续. 设函数( )( )xf x无间断点,因为( )f x是连续函数,则( )( )( )( )xxf xf x=必无间断点,这与( )x有间断点矛盾,故应选择(D). 方法二方法二：排除法,举出反例排除. 设 1,0,( )1, ( )1,0,xf xxx时,12xx ,则函数12()()fxfx ,故()fx是单调增加的.应选择(D). 对于(A)(B)(C)可令3( )f xx=,则对任意12,x x,当12xx时,都有12()()f xf x, 但 20

15、(0)30 xfx=, 2()3()0fxx =, 3()fxx= ,在其定义域内单调减少. 故排除(A)(B)(C). (4)【答案】(B) 【解析】由( )0fx可知( )fx在区间0,1上为严格的单调递增函数,故 (1)( )(0),(01)ffxfx 由微分中值定理,(1)(0)( ),(01)fff=,(01) ,知曲线是向上凹的,容易看出0y,所以可化为 20001yyy+=, 且 2000000(1)()yyxyyy+= = , 于是得 200002000(1),1(1).yxyyyyy=+=+ 七、七、( (本题满分本题满分 8 8 分分) ) 【解析】方法一方法一：这是一个积

16、分上限函数求定积分,可以考虑用定积分的分部积分法. 由于 sin( )xfxx=, 因而由分部积分法和00sin(0)0tfdtt=,有 0000( )( ) ()( )()( )()f x dxf x d xf x xfxx dx=+ 000sin()sincos2xxdxxdxxx= =. 方法二方法二：对于二重积分000sin( )xtf x dxdt dxt= ,可以通过变换积分次序来求解. 000sinsin( )xDttf x dxdt dxdtdxtt= , 其中 ( , ) 0,0( , ) 0,.Dx txtxx tttx= = 于是 0000sinsin( )sin2ttttf x dxdx dtdtdxtdttt= . 八、八、( (本题满分本题满分 8 8 分分) ) 【解析】由于 0( )lim1xf xx=,所以必有(0)0f=,且 00( )(0)( )(0)limlim10 xxf xff xfxx=. 证法一证法一：用函数单调性证明不等式. 令 ( )( )xf xx=, 则 ( )( ) 1( )(0)xfxfxf= =. 由于( )0fx,所以函数( )fx单调增加, ( )( )(0)0,0,( )( )(0)0,0,xfxfxxfxfx=,所以 21( )02fx. 所以 21( )( )2f xxfxx=+.