1999考研数学二真题解析【无水印】.pdf

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1、1999 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试数二数二试题试题 一、填空题一、填空题(本题共本题共5小题，每小题小题，每小题3分，满分分，满分15分。把答案填在题中横线上。分。把答案填在题中横线上。) (1) 曲线sin2costtxetyet =，在点()0,1 处的法线方程为 (2) 设函数( )yy x=由方程()23lnsinxyx yx+=+确定，则0 xdydx= (3) 25613xdxxx+=+ (4) 函数22xyx=在区间13,22上的平均值为 (5) 微分方程24xyye=的通解为 二、选择题二、选择题(本题共本题共5小题，每小题小题，每小题3分，满分

2、分，满分15分。每小题给出得四个选项中，只有一个是分。每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。把所选项前的字母填在提后的括号内。) (1) 设( )21 cos,0( ),0 xxxf xx g xx = ，其中( )g x是有界函数，则( )f x在0 x =处 ( ) (A) 极限不存在. (B) 极限存在，但不连续. (C) 连续，但不可导. (D) 可导. (2) 设( )( )()15sin00sin,1xxttxdtxtdtt= =+，则当0 x 时( )x是( )x的 ( ) (A)高阶无穷小 (B)低阶无穷小 (C)同

3、阶但不等价的无穷小 (D)等价无穷小 (3) 设( )f x是连续函数，( )F x是( )f x的原函数，则 ( ) (A) 当( )f x是奇函数时，( )F x必是偶函数. (B) 当( )f x是偶函数时，( )F x必是奇函数. (C) 当( )f x是周期函数时，( )F x必是周期函数. (D) 当( )f x是单调增函数时，( )F x必是单调增函数. (4) “对任意给定的()0,1 ， 总存在正整数N， 当nN时， 恒有2nxa”是数列 nx收敛于a的 ( ) (A)充分条件但非必要条件. (B)必要条件但非充分条件. (C)充分必要条件. (D)既非充分条件又非必要条件.

4、 (5)记行列式212322212223333245354435743xxxxxxxxxxxxxxxx为( )f x，则方程( )0f x =的根的个数为( ) (A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4. 三、三、(本题满分本题满分5分分) 求 ()201tan1 sinlimln 1xxxxxx+. 四、四、(本题满分本题满分6分分) 计算 21arctan xdxx+. 五、五、(本题满分本题满分7分分) 求初值问题 ()2210(0)0 xyxydxxdyxy=+=的解. 六、六、(本题满分本题满分7分分) 为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口 见图，已

5、知井深30m30m,抓斗自重400N, 缆绳每米重50N ，抓斗抓 起的污泥重2000N，提升速度为3/m s,在提升过程中，污泥以20/N s 的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重 力需作多少焦耳的功？(说明：111 ;NmJ=其中, ,m N s J分别表示 米，牛顿，秒，焦耳；抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不 计.) 七、七、(本题满分本题满分 8 分分) 已知函数()321xyx=，求 (1)函数的增减区间及极值； (2)函数图形的凹凸区间及拐点 (3)函数图形的渐近线. 八、八、(本题满分本题满分 8 分分) 设函数( )f x在闭区间1,1上具有三

6、阶连续导数，且()10f =，( )11f=，( )00f =，证明：在开区间()1,1内至少存在一点，使( )3f=. 九、九、(本题满分本题满分 9 分分) 设函数( )()0y xx 二阶可导，且( )0yx，( )01y=.过曲线( )yy x=上任意一点(),P x y 作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为1S，区间0, x 上以( )yy x=为曲边的曲边梯形面积记为2S，并设122SS恒为 1，求此曲线( )yy x=的方程. 十、十、(本题满分本题满分 6 分分) 设( )f x是区间)0, +上单调减少且非负的连续函数，( )( )11nnni

7、af kf x dx= ()1,2,n =，证明数列 na的极限存在. 十一、十一、(本题满分本题满分 8 分分) 设矩阵111111111A= ， 矩阵X满足*12A XAX=+， 其中*A是A的伴随矩阵，求矩阵X. 十二、十二、(本题满分本题满分 5 分分) 设向量组()11,1,1,3T=，()21, 3,5,1T= ，()33,2, 1,2Tp=+，()42, 6,10,Tp= (1)p为何值时， 该向量组线性无关？并在此时将向量()4,1,6,10T=用124, 3 线性表出； (2)p为何值时，该向量组线性相关？并此时求出它的秩和一个极大线性无关组. 1999 年全国硕士研究生入学

8、统一考试数二试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数二试题解析 一、填空题一、填空题 (1)【答案】210yx+ = 【详解】点()0,1 对应0t =，则曲线在点()0,1 的切线斜率为 cossincossinsin22cos2sin22cos2ttttdydyetetttdtdxdxetetttdt=+， 把0t =代入得12dydx=，所以改点处法线斜率为2，故所求法线方程为210yx+ =. (2)【答案】1 【详解】( )y x是有方程()23lnsinxyx yx+=+所确定，所以当0 x =时，1y =. 对方程()23lnsinxyx yx+=+两边非别对x求导，得 23223

9、cosxyx yx yxxy+=+， 把0 x =和1y =代入得0(0)1xdyydx= (3)【答案】213ln(613)4arctan22xxxC+ 【详解】通过变换，将积分转化为常见积分，即 222538613613613xxdxdxdxxxxxxx+=+ 2221(613)82613(34d xxdxxxx+=+） 223(1ln(613)432(1xdxxx=+）2）2 213ln(613)4arctan22xxxC=+ (4)【答案】3112+ 【详解】按照平均值的定义有 322122131122xydxx=， 作变换令sinxt=，则cosdxtdt=，所以 23261sinc

10、os311 sin22ttydtt=2362sin31tdt= 3366111131( 31)(cos2 )( 31)sin2222212t dttt+=+=+= (5)【答案】22121,4xxyC eCx e=+其中12,C C为任意常数. 【分析】先求出对应齐次方程的通解，再求出原方程的一个特解. 【详解】原方程对应齐次方程 40yy=的特征方程为：240,=解得122,2= ，故 40yy=的通解为22112,xxyC eC e=+ 由于非齐次项为2( ),xf xe=因此原方程的特解可设为*2,xyAxe=代入原方程可求得14A =，故所求通解为*2211214xxyyyC eCx

11、e=+=+ 二、选择题二、选择题 (1)【答案】( D ) 【详解】由于可导必连续，连续则极限必存在，可以从函数可导性入手. 因为 20001( )(0)1 cos2(0)limlimlim0,0 xxxxf xfxfxx xx x+= 2000( )(0)( )(0)limlimlim( )0,0 xxxf xfx g xfxg xxx= 从而，(0)f 存在，且(0)0f =，故正确选项为(D). (2)【答案】( C ) 【详解】当0 x 有， 5011000sinsin0sinsin55( )5limlimlim( )(1)(1 sin )cosxxxxxtxtxdtxtxxtdtxx

12、=+ 10sinsin00sin51155lim5 151lim (1 sin )limcosxxxxxxeexx= =+ 所以当0 x 时( )x是( )x同阶但不等价的无穷小. (3)【答案】( A ) 【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性. ( )f x的原函数( )F x可以表示为0( )( ),xF xf t dtC=+于是()00()( )().utxxFxf t dtCfu duC=+=+ 当( )f x为奇函数时，()( )fuf u= ，从而有 00()( )( )( )xxFxf u duCf t dtCF x=+=+= 即 F(x)为偶函数. 故(A)为正

13、确选项. (B)、(C)、(D)可分别举反例如下： 2( )f xx=是偶函数，但其原函数31( )13F xx=+不是奇函数，可排除(B)； 2( )cosf xx=是周期函数，但其原函数11( )sin224F xxx=+不是周期函数，可排除(C)； ( )f xx=在区间(,) +内是单调增函数， 但其原函数21( )2F xx=在区间(,) +内非单调增函数，可排除(D). (4)【答案】( C ) 【详解】 【方法方法 1】 “必要性”： 数列极限的定义 “对于任意给定的10， 存在10N ， 使得当1nN时恒有1|nxa，取11min,3 3=，这时(0,1)，由已知，对于此存在0

14、N ，使得当nN时，恒有| 2nxa时，恒有112|3nxa， 总存在0N ， 使得当nN时|nxa，总存在10N ，使得当1nNN时，有1| 2nxa所以0C ，去掉根号，得 21uuCx+=，即21 ( )yyCxxx+=， 把10 xy=代入并化简，得 211,022yxx= 六六【详解】建立坐标轴如图所示， 解法解法1： 将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功123WWWW=+， 其中1W是克服抓斗自重所作的功；2W是克服缆绳重力作的功；3W为提出污泥所作的功. 由题意知 14003012000 .WNmJ= 将抓斗由x处提升到xdx+处，克服缆绳重力所作的功为 2dW= 缆绳每米重缆绳长提

15、升高度 50(30),x dx= 从而 302050(30)22500 .Wx dxJ= 在时间间隔 ,t tdt+内提升污泥需做功为 3(3)dWdt=原始污泥重漏掉污泥重） 提升高度 (200020 )3tdt= 将污泥从井底提升至井口共需时间3010 ,3/msm s= 所以 10303(200020 )57000 .Wt dtJ= 因此，共需做功 123120002250057000)91500WWWWJJ=+=+=（ 解法解法2： 将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功记为W， 当抓斗运动到x处时， 作用力( )f x包括抓斗的自重400N, 缆绳的重力50(30)x N， 污泥的重力(2

16、00020),3xN 即 20170( )40050(30)20003900,33f xxxx=+= 于是 30230001708539003900117000245009150033Wx dxxxJ= 七七【详解】函数的定义域为(,1)(1,)+，对函数求导，得 23(3)(1)xxyx =，46(1)xyx = 令0y =得驻点0,3xx=；令0y =得0 x =. 因此，需以0,1,3为分界点来讨论，列表讨论如下： x (,0) 0 (0,1) (1,3) 3 (3,)+ y 0 + + + + y + 0 + 0 + y 凸，增 拐点 凹，增 凹，减 极小值 凹，增 由此可知， (1)

17、函数的单调增区间为(,1)(3,)+，单调减区间为(1,3)，极小值为3274xy=. (2)函数图形在区间(,0)内是向上凸的，在区间(0,1),(1,)+内是向上凹的，拐点为(0,0)点. (3)由321lim(1)xxx= +，可知1x =是函数图形的铅直渐近线. 又因为 32limlim1(1)xxyxxx x= 3322222(1)2lim()lim()limlim2(1)(1)(1)xxxxxxx xxxyxxxxx= 故2yx=+是函数的斜渐近线. 八八、(本题满分 8 分) 设函数( )f x在闭区间1,1上具有三阶连续导数，且()10f =，( )11f=，( )00f =，

18、证明：在开区间()1,1内至少存在一点，使( )3f=. 【详解】解法解法 1：由麦克劳林公式得 2311( )(0)(0)(0)( )2!3!f xffxfxfx=+，其中介于0与x之间， 1,1x 分别令1,1xx= =并结合已知条件得 1111( 1)(0)(0)()0, 1026ffff=+= 2211(1)(0)(0)()1,0126ffff=+= 因此( )10y x (0)x 于是 211.22 yySy xxyy= 又 20( )xSy t dt= 根据题设1221,SS= 得202( )1,2 xyy t dty= 两边对x求导并化简得()2yyy= 这是可降阶的二阶常微分方

19、程，令,py= 则dpdp dydpypdxdy dxdy =， 上述方程化为2,dpyppdy=分离变量得dpdypy=，解得1pC y=，即1,dyC ydx= 从而有 12xyC eC=+，根据(0)1,(0)1,yy=可得121,0,CC= 故所求曲线得方程为 xye=. 十十【详解】利用单调有界必有极限的准则来证明.先将na形式化简， 因为 123111211( )( )( )( )( )nnnknkkf x dxf x dxf x dxf x dxf x dx+=+= 所以 ( )11111( )( )nnknkikaf kf nf x dx+=+( )111( )( )nkkkf

20、 kf x dxf n+=+ 又因为( )f x单调减少且非负，1kxk+，所以有 ( )111( )0( )0nkkkf kf x dxf n+=，故0na ； 又因为 ( )( )( )( )1111111 nnnnnniiaaf kf x dxf kf x dx+= ( )( )( )( )111111 nnnniif kf kf x dxf x dx+= 1(1)( )nnf nf x dx+=+1 (1)( )0nnf nf x dx+=+ 所以 na单调减少，因为单调有界必有极限，所以limnna存在. 十一十一【详解】题设条件 *12A XAX=+ 上式两端左乘A，得 *12AA

21、 XAAAX=+ 因为*1,AAA E AAE=，所以 2(2 )A XEAXA EA XE=+= 根据可逆矩阵的定义： 对于矩阵nA， 如果存在矩阵nB， 使得ABBAE=， 则称A为可逆矩阵，并称B是A的逆矩阵，故(2 ),A EA X均是可逆矩阵，且 1(2 )XA EA= 又 111111111A= 1112102031200+行行行+ 行0111130202200行行 0011120202200行行4= 因为常数k与矩阵A相乘，A的每个元素都要乘以k，故 4004040004A EE=，2222222222A= 所以 2A EA2(2)EA=222222222=1112 111111

22、=(对应元素相减) 1111111111(2 )2 1111112111111XA EA=(111()kAk A=) 用初等行变换求逆，当用初等行变换将矩阵A化为单位矩阵时，经过相同的初等行变换，单位矩阵E化成了1A，即()()1AEEA初等行变换 111 100111 010111 0011111002102211031002101+行行行行 111 10023020 011002 101+ 行行11111002201001/21/213001 1/201/22行行 110 1/201/21301001/21/2001 1/201/2 行行100 1/21/201201001/21/2001

23、 1/201/2+行行 故 1/21/201101101/21/2011241/201/2101X= 十二十二【概念】向量组1234, 线性无关以,1,2,3,4ii=为列向量组成的线性齐次方程组1 12233441234,0 xxxxX +=只有零解 向量能否由向量组1234, 线性表出以,1,2,3,4ii=为列向量组成的线性非齐次方程组1 1223344xxxx+=是否有解 【详解】作方程组1 1223344xxxx+=，并对增广矩阵作初等行变换， 12341132 41326 1,15110 631210pp + 1132421021433106412241304762pp+ 行行行行

24、行行11324323 021430070742200928pp+行行行行 113240214313()00101700928pp 行113240214343(9)001010002 1ppp行行 (1) 当2p 时，12341234(,)(, )4rr =， 方程组有唯一解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且等于未知量的个数，故1234, 线性无关，且方程组1234(,)X =有唯一解，其同解方程组为 1234234343242431(2)1xxxxxxxxpxp+= += = = ，解得12343412,1,22ppxxxxpp= 代入1 1223344xxxx+=中，即可由1234

25、, 线性表出，且表出式为 1234341222pppp=+ (2) 向量组1234, 线性相关以,1,2,3,4ii=为列向量组成的线性齐次方程 组1 12233441234,0 xxxxX +=有非零解 当2p =时， 12341132 41326 1,15110 63142 10 1132 4021430010100001 初等变换不改变向量组的秩，1234(,)3r =，系数矩阵的秩小于未知量的个数， 1 12233441234,0 xxxxX += 有非零解，故向量组1234, 线性相关，列向量组经过初等行变换，其对应的部分列向量组具有相同的线性相关性. 在1132 4021430010100001中，由11302120001 = 或13201440010=知，123, (或134, )线性无关，是其极大线性无关组.