2008年数学三真题答案解析.pdf

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1、- 1 -2008 年考研数学（三）真题解析年考研数学（三）真题解析一、选择题(1)【答案】B【详解】 0000( )lim ( )limlim0 xxxxf t dtg xf xfx，所以0 x 是函数( )g x的可去间断点(2)【答案】C【详解】00000( )( )( )( )( )( )aaaaaxfx dxxdf xxf xf x dx af af x dx其中( )af a是矩形 ABOC 面积，0( )af x dx为曲边梯形 ABOD 的面积，所以0( )axfx dx为曲边三角形的面积(3)【答案】B【详解】240000( ,0)(0,0)11(0,0)limlimlim0

2、 xxxxxxf xfeefxxx0011limlim1xxxxeexx，0011limlim1xxxxeexx 故(0,0)xf不存在242020000(0, )(0,0)11(0,0)limlimlimlim00yyyyyyyfyfeeyfyyyy所以(0,0)yf存在故选B.(4)【答案】A【详解】用极坐标得222()222011,()vuuf rrDf uvF u vdudvdvrdrvf r druv所以2Fvf uu.(5)【答案】C【详解】23()()EA EAAEAE，23()()EA EAAEAE.故,EA EA均可逆(6)【答案】D【详解】记1221D，则2121421ED

3、，- 2 -又2121421EA，所以A和D有相同的特征多项式，所以A和D有相同的特征值.又A和D为同阶实对称矩阵，所以A和D相似由于实对称矩阵相似必合同，故D正确.(7)【答案】A【详解】 2max,ZZZZF zP ZzPX YzP Xz P YzF z F zFz.(8)【答案】D【详解】 用排除法. 设YaXb，由1XY，知道,X Y正相关，得0a ，排除 A、 C由(0,1),(1,4)XNYN，得0,1,EXEY所以( )()E YE aXbaEXb01,ab 所以1b . 排除 B. 故选择D.二、填空题(9)【答案】1【详解】由题设知| 0cx，所以22,( )1,2,xxcf

4、 xxcxcxxc 因为 22limlim(1)1xcxcf xxc， 22limlimxcxcf xxc又因为( )f x在(,) 内连续，( )f x必在xc处连续所以 limlim( )xcxcf xf xf c，即2211ccc .(10)【答案】1ln32【详解】222111112xxxxfxxxxxx，令1txx，得 22tf tt所以 2 22 22 222222111ln2ln6ln2ln32222xf x dxdxxx.(11)【答案】4【详解】22221()2DDDxy dxdyx dxdyxy dxdy利用函数奇偶性21200124dr rdr.- 3 -(12)【答案】

5、1yx【详解】由dyydxx，两端积分得1lnlnyxC，所以1xCy，又(1)1y，所以1yx.(13)【答案】3【详解】A的特征值为1,2,2，所以1A的特征值为1,1 2,1 2，所以14AE的特征值为4 1 13 ，4 1 2 11 ，4 1 2 11 所以143 1 13BE .(14)【答案】112e【详解】由22()DXEXEX，得22()EXDXEX，又因为X服从参数为 1 的泊松分布，所以1DXEX，所以21 12EX ，所以21111222P Xee！.三、解答题(15) 【详解】方法一方法一：22001sin1sinlimlnlimln 11xxxxxxxx32000si

6、ncos1sin1limlimlim366xxxxxxxxxx 方法二方法二：2230001sincossincossinlimlnlimlim2sin2xxxxxxxxxxxxxxx洛必达法则20sin1lim66xxxx 洛必达法则(16) 【详解】(I) 22xdxydydzxyzdxdydz122dzx dxy dy 221x dxy dydz 1 (II) 由上一问可知22,11zxzyxy，所以11221222,()()1111zzxyyxu x yxyxyxyxy- 4 -所以223322(1)2(1)2(12)2(12 )11111xzuxxxx .(17) 【详解】 曲线1x

7、y 将区域分成两个区域1D和23DD，为了便于计算继续对区域分割，最后为max,1Dxydxdy123DDDxydxdydxdydxdy11222221110002211xxdxdydxdydxxydy1512ln2ln24 19ln24(18) 【详解】方法一方法一：(I) 由积分的性质知对任意的实数t， 202202ttttf x dxf x dxf x dxf x dx令2xu，则 202002ttttf x dxfu duf u duf x dx 所以 2020200ttttf x dxf x dxf x dxf x dxf x dx(II) 由(1)知，对任意的t有 2220tf x

8、 dxf x dx，记 20af x dx，则 0( )2xG xf u duax. 所以，对任意的x， 200(2)( )2(2)2xxG xG xf u dua xf u duax 22022220 xxf u duaf u dua所以 G x是周期为 2 的周期函数.方法二方法二： (I) 设2( )( )ttF tf x dx， 由于( )(2)( )0F tf tf t， 所以( )F t为常数， 从而有( )(0)F tF.而20(0)( )Ff x dx，所以20( )( )F tf x dx，即220( )( )ttf x dxf x dx.(II) 由(I)知，对任意的t有

9、2220tf x dxf x dx，记 20af x dx，则O0.52xD1D3D2- 5 - 0( )2xG xf u duax， 20(2)2(2)xG xf u dua x由于对任意x，(2)2 (2)2 ( )G xf xaf xa，( )2 ( )G xf xa所以(2)( )0G xG x，从而(2)( )G xG x是常数即有(2)( )(2)(0)0G xG xGG所以 G x是周期为 2 的周期函数.(19) 【详解】方法一方法一：设nA为用于第n年提取(109 )n万元的贴现值，则(1)(109 )nnArn故1111110919102009(1)(1)(1)(1)nnn

10、nnnnnnnnnnAArrrr设1( )( 1,1)nnS xnxx 因为21( )()()( 1,1)1(1)nnxxS xxxxxxx 所以11()()42011.05SSr(万元)故2009 4203980A (万元)，即至少应存入 3980 万元.方法二方法二：设第t年取款后的余款是ty，由题意知ty满足方程1(1 0.05)(109 )ttyyt， 即11.05(109 )ttyyt (1)(1)对应的齐次方程11.050ttyy的通解为(1.05)ttyC设(1)的通解为*tyatb，代入(1)解得180a ，3980b 所以(1)的通解为(1.05)1803980ttyCt由0

11、yA，0ty 得3980AC0C 故A至少为 3980 万元(20) 【详解】(I)证法一证法一：- 6 -2222122121213210122122112221301240134(1)2(1)3231(1)0nnnaaaaaaaaaAraraaaaaaanaanararanannnan 证法二证法二：记|nDA，下面用数学归纳法证明(1)nnDna当1n 时，12Da，结论成立当2n 时，2222132aDaaa，结论成立假设结论对小于n的情况成立将nD按第 1 行展开得221221221210212121222(1)(1)nnnnnnnaaaaDaDaaaDa Danaanana故| (

12、1)nAna证法三证法三：记|nDA，将其按第一列展开得2122nnnDaDa D，所以211212()nnnnnnDaDaDa Da DaD222321()()nnnnaDaDaDaDa- 7 -即12122()2nnnnnnnnDaaDaa aaDaa D2121(2)(1)nnnnnaaDnaaD1(1)2(1)nnnnaaana(II) 因为方程组有唯一解，所以由AxB知0A ，又(1)nAna，故0a 由克莱姆法则，将nD的第 1 列换成b，得行列式为2221122(1) (1)112102121221122nnn nnnaaaaaaaaDnaaaaa 所以11(1)nnDnxDna

13、(III) 方程组有无穷多解，由0A ，有0a ，则方程组为12101101001000nnxxxx 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n，所以方程组有无穷多解，其通解为10000100,TTkk为任意常数(21)【详解】(I)证法一证法一：假设123, 线性相关因为12, 分别属于不同特征值的特征向量，故12, 线性无关，则3可由12, 线性表出，不妨设31122ll，其中12,l l不全为零(若12,l l同时为 0，则3为 0，由323A可知20，而特征向量都是非 0 向量，矛盾)11,A 22A32321122All，又311221122()AA llll 112221122l

14、lll，整理得：11220l- 8 -则12, 线性相关，矛盾. 所以，123, 线性无关.证法二证法二：设存在数123,k k k，使得1122330kkk(1)用A左乘(1)的两边并由11,A 22A得1123233()0kkkk(2)(1)(2)得113220kk(3)因为12, 是A的属于不同特征值的特征向量，所以12, 线性无关，从而130kk，代入(1)得220k，又由于20，所以20k ，故123, 线性无关.(II) 记123(,)P ，则P可逆，123123(,)(,)APAAAA 1223(,) 123100(,)011001 100011001P所以1100011001P

15、 AP.(22)【详解】(I)1201(0,)11112(0)(0)()122(0)22P XYP ZXP XYXP YdyP X(II)( )ZFzP ZzP XYz,1,0,1P XYz XP XYz XP XYz X 1,1,01,1P YzXP Yz XP YzX 1 1 01 1P YzP XP Yz P XP YzP X 1113P YzP YzP Yz1(1)( )(1)3YYYFzFzFz- 9 -所以1( )(1)( )(1)3ZYYYfzfzfzfz1,1230,z 其它(23) 【详解】(I) 因为2( ,)XN ，所以2( ,)XNn，从而2,EXDXn因为221( )

16、()E TE XSn221()EXE Sn221()()DXEXE Sn222211nn所以，T是2的无偏估计(II)方法一方法一：22( )()D TETET，( )0E T ，22()1E S所以2( )D TET442222()SE XXSnn4224221()() ()()E XE XE SE Snn因为(0,1)XN，所以1(0, )XNn，有10,EXDXn，221EXDXEXn所以22422221()()()()()E XD XEXDnXD XEXn2221()DnXD Xn2221132nnn 2422222()1ESESDSESDS因为2222(1)(1)(1)nSWnSn，所以2(1)DWn，又因为22(1)DWnDS，所以22(1)DSn,所以4211(1)1nESnn 所以22232 11111nETnn nnn 2(1)n n.方法二方法二：当0,1时- 10 -221( )()D TD XSn(注意X和2S独立)222222221111(1)(1)DXDSDnXDnSnnnn