初高中数学衔接教案学生版.pdf

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1、第一讲绝对值1：绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即a2：绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离3：两个数的差的绝对值的几何意义：ba表示在数轴上，数a和数b之间的距离例 1：解方程（1）21x（2）21962xx例 2：若关于x的方程132mmx的解是 3，试求m的值例 3 解不等式：（1）2x（2）31x（3）21x*（4）13xx4练习1填空：（ 1）若5x，则 x=_；若4x，则 x=_. （ 2）如果5ba，且1a，则 b _；若21c，则 c _. 2选择题：下列叙述正确的是（）（A）若ab，则ab（B）若

2、ab，则ab（C）若ab，则ab（D）若ab，则ab3化简： |x5| |2x13|（x5） 第二讲乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式baba（2）完全平方公式2ba= 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式2233()()ab aabbab；（2）立方差公式2233()()ab aabbab；（3）三数和平方公式2222()2()abcabcabbcac；（4）两数和立方公式33223()33abaa babb；（5）两数差立方公式33223()33abaa babb例 1 ：证明（ 1）2233()()ab aabbab（2）2222()2(

3、)abcabcabbcac例 2：计算：22(1)(1)(1)(1)xxxxxx例 3 已知4abc，4abbcac，求222abc的值练习1填空：（ 1）221111()9423abba（） ；（ 2）(4m22)164(mm)；(3 )2222(2)4(abcabc)2选择题：（1）若212xmxk是一个完全平方式，则k等于（ 2）不论a，b为何实数，22248abab的值（）（A）总是正数（B）总是负数（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数第三讲根式一般地，形如(0)a a的代数式叫做二次根式 根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式 . 例如232aabb，22ab等是无理

4、式， 而22212xx，222xxyy，2a等是有理式1分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程2二次根式2a的意义2aa,0,0.aaa a例1将下列式子化为最简二次根式：（1）12b；（ 2）2(0)a b a；（3）64(0)x y x例 2计算：3(33)例 3试比较下列各组数的大小：（1）1211和1110；（2）264和2 26. 例 4化简：20042005( 32)( 32)例 5 化简： （1）94 5；（2

5、）2212(01)xxx例 6 已知3232,3232xy，求22353xxyy的值练习1填空：（ 1）1313_ _；（ 2）若2(5)(3)(3) 5xxxx，则x的取值范围是 _ _ _；（ 3）4 246 543 962 150_ _；（ 4）若52x，则11111111xxxxxxxx_ _2选择题：等式22xxxx成立的条件是（）（ A）2x（B）0 x（C）2x（ D）02x3若22111aaba，求ab的值4比较大小：23 54（填 “ ” ，或 “ ” ） 第四讲分式1分式的意义形如AB的式子，若B 中含有字母，且0B，则称AB为分式 当 M0 时，分式AB具有下列性质：AA

6、MBBM；AAMBBM上述性质被称为分式的基本性质2繁分式像abcd，2mnpmnp这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式 例 1若54(2)2xABx xxx，求常数,A B的值例 2 （1） 试证：111(1)1n nnn（其中 n 是正整数）；（ 2） 计算：111122 39 10；（3）证明：对任意大于1 的正整数 n， 有11112 334(1)2n n例 3设cea，且 e 1，2c25ac 2a20，求 e 的值练习1填空题：对任意的正整数n，1(2)n n(112nn)；2选择题：若223xyxy，则xy3正数,x y满足222xyxy，求xyxy的值4计算1111.1

7、 2233499 100第五讲：习题课A 组题1解不等式：(1) 13x；(2) 327xx；(3) 116xx已知1xy，求333xyxy的值3填空：（1）1819(23) (23)_；（2）若22(1)(1)2aa，则a的取值范围是_；（3）111111223344556_B 组1填空：（1）12a，13b，则2223352aabaabb_ _；（2）若2220 xxyy，则22223xxyyxy_ _；2已知：11,23xy，求yyxyxy的值C 组1选择题：（ 1）若2ababba，则（）（A）ab（B）ab（C）0ab（D）0ba（2）计算1aa等于= 2解方程22112()3()1

8、0 xxxx3计算：11111 324359 114试证：对任意的正整数n，有11112 3234(1)(2)n nn14第六讲： 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法1十字相乘法例 1 分解因式：（1）x23x2；（2）x24x12；（3）22()xab xyaby；（4）1xyxy解： （1）如图 121，将二次项x2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2 分解成 1 与 2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是 x23x2 中的一次项，所以，有x23x2(x1)(x2)2提取公因式法与分组分解法例 2

9、分解因式：（ 1）32933xxx；（ 2）222456xxyyxy3关于 x 的二次三项式ax2+bx+c(a0 )的因式分解若关于 x 的方程20(0)axbxca的两个实数根是1x、2x， 则二次三项式2(0)axbxc a就可分解为12()()a xxxx. 1 2 x x 图 121 1 2 1 1 图 122 2 6 1 1 图 123 ayby x x 图 124 例 3把下列关于x 的二次多项式分解因式：（ 1）221xx；（ 2）2244xxyy练习1选择题：多项式22215xxyy的一个因式为（）（A）25xy（B）3xy（C）3xy（D）5xy2分解因式：（ 1）x26x

10、8；（2）8a3b3；（ 3）x22x1；（4）4(1)(2 )xyy yx3分解因式：（1）31a；（2）424139xx；（3）22222bcabacbc；（4）2235294xxyyxy4在实数范围内因式分解：（1）253xx；（2）22 23xx；（3）2234xxyy；（4）222(2 )7(2 )12xxxx5ABC三边a，b，c满足222abcabbcca，试判定ABC的形状6分解因式：x2x(a2a)第七讲：一元二次方程根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax2bxc 0（a0 ） ，用配方法可以将其变形为2224()24bbacxaa由此可知，一元二次方程ax2bxc0（a0

11、 ）的根的情况可以由b24ac 来判定，我们把b2 4ac叫做一元二次方程ax2bxc 0（a0 ）的 根的判别式 ，通常用符号“”来表示综上所述， 对于一元二次方程ax2 bxc 0（a0 ） ，有（1）当 0 时，方程有两个不相等的实数根x1，2242bbaca；（2）当 0 时，方程有两个相等的实数根x1x22ba；（3）当 0 时，方程没有实数根例 1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根（1）x23x30；（2） x2 ax1 0；（3） x2ax (a1)0；（4）x22xa0说明： 在第 3，4 小题中，方程的根的判别式的符号随着

12、a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论 分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题例 2已知方程2560 xkx的一个根是2，求它的另一个根及k 的值例 3已知关于x 的方程x22(m2)xm240 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求 m 的值练习1选择题：（ 1）方程222 330 xkxk的根的情况是（）（A）有一个实数根（ B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根（ D）没有实数根（ 2）若关于x 的方程mx2(2m1)xm0 有两个不相等的实数根

13、，则实数m 的取值范围是（）（A）m14（B）m14（C）m14，且 m0 （D）m14，且 m0 2填空 : （1）若方程x2 3x1 0 的两根分别是x1和 x2，则1211xx（2）方程 mx2x2m0（m0 ）的根的情况是（3）以 3 和 1 为根的一元二次方程是3已知2816|1|0aab，当 k 取何值时，方程kx2axb0 有两个不相等的实数根？4已知方程x23x 10 的两根为x1和 x2，求 (x13)( x23)的值第八讲：习题课A 组1选择题 : （1）已知关于x 的方程 x2kx20 的一个根是1，则它的另一个根是（）（A） 3 （B）3 （C） 2 （D）2 （2）下

14、列四个说法：方程 x22x70 的两根之和为2，两根之积为7；方程 x22x70 的两根之和为2，两根之积为7；方程 3 x270 的两根之和为0，两根之积为73；方程 3 x22x0 的两根之和为2，两根之积为0其中正确说法的个数是（）（A）1 个（B） 2 个（C）3 个（D）4 个（3）关于 x 的一元二次方程ax25xa2a0 的一个根是0，则 a 的值是（）（A）0 （B）1 （C） 1 （D）0，或 1 2填空 : （1）方程 kx24x10 的两根之和为2，则 k（2）方程 2x2x40 的两根为 ， ，则 22（3）已知关于x 的方程 x2ax3a0 的一个根是 2，则它的另一

15、个根是（4）方程 2x22x10 的两根为x1和 x2，则 | x1x2|3试判定当m 取何值时，关于x 的一元二次方程m2x2(2m1) x10 有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？B 组1选择题 : 若 关 于x的 方 程x2 (k2 1)x k 1 0的 两 根 互 为 相 反 数 ， 则k的 值 为（）（A）1，或 1 （B）1 （C） 1 （ D）0 2填空 : （1）若 m，n 是方程 x22005x 10 的两个实数根，则m2nmn2mn 的值等于（2）如果 a，b 是方程 x2x10 的两个实数根，那么代数式a3a2b ab2b3的值是3已知关于x 的方程 x

16、2kx20（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x1和 x2，如果 2(x1x2) x1x2，求实数k 的取值范围4关于 x 的方程 x2 4xm0 的两根为 x1，x2满足 | x1x2|2，求实数m 的值C 组1选择题：（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x28x70 的两根，则这个直角三角形的斜边长等于（）（A）3（ B）3 （ C）6 （D）9 （2）若 x1，x2是方程 2x2 4x1 0的两个根，则1221xxxx的值为（）（A）6 （B）4 （C）3 （D）32（ 3） 如 果 关 于x 的 方 程x2 2(1 m)x m2 0 有 两 实 数

17、根 ， ， 则 的 取 值 范 围 为（）（A） 12（B） 12（C） 1 （ D） 1 （ 4 ） 已 知a ， b， c 是 ABC的 三 边 长 ， 那 么 方 程cx2 (a b)x 4c 0 的 根 的 情 况 是（）（A）没有实数根（B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根（D）有两个异号实数根2填空：若方程 x28xm0 的两根为x1，x2，且 3x12x218，则 m3 已知 x1， x2是关于 x 的一元二次方程4kx2 4kxk10 的两个实数根（1）是否存在实数k，使(2x1x2)( x12 x2)32成立？若存在，求出k 的值； 若不存在，说明理由；（2）求使

18、1221xxxx 2 的值为整数的实数k 的整数值；（3）若 k 2，12xx，试求的值4已知关于x 的方程22(2)04mxmx（1）求证：无论m 取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x1， x2满足 |x2| |x1|2，求 m 的值及相应的x1，x2第九讲：二次函数例 1 求二次函数y3x2 6x1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当 x 取何值时， y 随 x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象例 2 某种产品的成本是120 元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示：x /元1

19、30 150 165 y/件70 50 35 若日销售量y 是销售价x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？例 3 把二次函数yx2bxc 的图像向上平移2 个单位，再向左平移4 个单位，得到函数yx2的图像，求b，c 的值* 例 4 已知函数yx2， 2 x a，其中 a 2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值分析： 本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a 的取值进行讨论解： （1）当 a 2 时，函数yx2的图象仅仅对应着一个点( 2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是 4

20、，此时 x 2；（2）当 2a 0 时，由图 22 6可知，当x 2 时，函数取最大值y4；当 xa 时，函数取最小值 ya2；（3）当 0 a2 时，由图2 26可知，当x 2 时，函数取最大值y4；当 x 0 时，函数取最小值 y0；（4）当 a2 时，由图226可知，当xa 时，函数取最大值ya2；当 x0 时，函数取最小值y0练习1选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（）（A）y2x2（B）y2x24x 2 （C）y2x21 （D）y2x24x（2）函数 y2(x 1)22 是将函数y2x2（）（A）向左平移1 个单位、再向上平移2 个单位得到的（B）向右平移2 个单位、

21、再向上平移1 个单位得到的（C）向下平移2 个单位、再向右平移1 个单位得到的（D）向上平移2 个单位、再向右平移1 个单位得到的2填空题（1）二次函数y2x2mxn 图象的顶点坐标为(1， 2)，则 m，n（2）已知二次函数yx2+(m2)x2m，当 m时，函数图象的顶点在y 轴上； 当 m时，函数图象的顶点在x 轴上；当m时，函数图象经过原点（3）函数 y 3(x 2)25 的图象的开口向，对称轴为，顶点坐标为；当 x时，函数取最值 y；当 x时， y 随着 x 的增大而减小3求下列抛物线的开口方向、对称轴、 顶点坐标、 最大（小） 值及 y 随 x 的变化情况， 并画出其图象（1）yx2

22、2x3；（2）y16 xx24已知函数 y x22x3，当自变量x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x 的值：（1）x 2； （2）x2 ； （ 3） 2 x1 ； （4）0 x3 第十讲：二次函数的三种表示方式y x y O 2 a a2 4 图 2.26 x y O a 2 2 4 a2 2 x y O a a2 4 通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：1一般式： yax2 bxc(a0) ；2顶点式： ya(x h)2k (a0) ，其中顶点坐标是(h，k)除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示

23、为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数yax2bxc(a0) 的图象与x 轴交点个数若抛物线yax2bx c(a0) 与 x 轴交于 A(x1，0)，B(x2，0)两点， 则其函数关系式可以表示为ya(x x1) (x x2) (a 0) 这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3交点式： ya(x x1) (xx2) (a 0) ，其中 x1，x2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题例 1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线yx1 上，并且图象经过点（3，1）

24、 ，求二次函数的解析式说明： 在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题例 2 已知二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式例 3已知二次函数的图象过点(1， 22)，(0， 8)，(2，8)，求此二次函数的表达式练习1选择题 : （1）函数 y x2x1 图象与 x 轴的交点个数是（）（A）0 个（B）1 个（C）2 个（D）无法确定（2）函数 y12(x1)22 的顶点坐标是（）（A）(1，2) （B）(

25、1， 2) （C）(1，2) （ D）(1， 2) 2：函数 y x24x2 在 0 x3上的最大值为，最小值为3 某市空调公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5km 以内，票价2 元；（ 2）5km 以上，每增加5km，票价增加1 元（所增加的里程，不足5km 的按 5km 的按 5km 计算） 已知两个相邻的公共汽车站间相距1km，如果沿途（包括起点站和终点站）有21 个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式，并画出函数图象第十一讲：一元二次不等式解法二次函数yx2x 6 的对应值表与图象如下：x 3 2 1 0 1 2 3 4 y 6 0 4 6 6 4 0 6 由对应值表及

26、函数图象(如图 2.31)可知当 x 2，或 x3 时， y0，即 x2x60；当 x 2，或 x3 时， y0，即 x2x60；当 2x3 时， y0，即 x2x 60这就是说，如果抛物线y= x2 x6 与 x 轴的交点是 ( 2，0)与(3，0)，那么一元二次方程x2x60 的解就是x1 2， x2 3；同样，结合抛物线与x 轴的相关位置，可以得到一元二次不等式x2 x60 的解是x 2，或 x 3；一元二次不等式x2x60 的解是2x3上例表明：由抛物线与x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集例 1解不等式：（1）x22x30 ；（2）xx260；（3）4x24x 10 ；（4）x26x 90 ；（5） 4xx20例 2 已知不等式20(0)axbxca的解是2,3xx或求不等式20bxaxc的解练习1解下列不等式：（1）3x2x4 0；（2）x2x120 ；（3）x23x4 0；（4） 168xx20 *2.解关于 x 的不等式 x22x1 a20 （a 为常数）