北京中考数学二次函数综合题难题压轴题解析汇总.pdf

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1、北京中考数学 -二次函数综合题24、 （2007?北京）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=mx2+2mx+n 经过 P （，5） ，A（0，2）两点（1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B，将直线 AB沿 y 轴向下平移两个单位得到直线l，直线 l 与抛物线的对称轴交于C 点，求直线l 的解析式；（3）在（ 2）的条件下，求到直线OB，OC ，BC距离相等的点的坐标考点 ：二次函数综合题。专题 ：代数综合题。分析：（1）把 P， A 坐标代入抛物线解析式即可（2）先设出平移后的直线l 的解析式，然后根据（1）的抛物线的解析式求出C点的坐标，然后将C 点的坐标代入直线l 中即可得出

2、直线l 的解析式（3）本题关键是找出所求点的位置，根据此点到直线OB、OC、BC 的距离都相等，因此这类点应该有4个，均在 OBC 的内角平分线上（OBC 外有 3 个，三条角平分线的交点是一个），可据此来求此点的坐标解答： 解： （1）根据题意得，解得，所以抛物线的解析式为：（2）由得抛物线的顶点坐标为B（，1） ，依题意，可得C（， 1） ，且直线过原点，设直线的解析式为y=kx，则，解得，所以直线l 的解析式为（3）到直线OB、OC、BC距离相等的点有四个，如图，由勾股定理得OB=OC=BC=2 ，所以 OBC为等边三角形易证 x 轴所在的直线平分BOC ，y 轴是 OBC的一个外角的平

3、分线，作 BCO的平分线，交x 轴于 M1点，交 y 轴于 M2点，作OBC的 BCO相邻外角的角平分线，交y 轴于 M3点，反向延长线交x 轴于 M4点，可得点M1，M2，M3，M4就是到直线OB、OC、BC距离相等的点可证 OBM2、BCM4、OCM3均为等边三角形，可求得： OM1= 2=，所以点M1的坐标为（，0） 点 M2与点 A 重合，所以点M2的坐标为（ 0，2） ， 点 M3与点 A 关于 x 轴对称，所以点M3的坐标为（ 0， 2） ， 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为N，M4N=，且 ON=M4N，所以点 M4的坐标为（，0）综合所述，到战线OB、OC、BC距离相等的点的坐

4、标分别为：M1（，0） 、M2（ 0，2） 、M3（0， 2） 、M4（，0） 点评： 本题主要考查了二次函数解析式的确定，一次函数的平移以及角平分线定理的应用等知识点综合性强，能力要求较高考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法24、（2008?北京）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A， B两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点C，点 B的坐标为 （3，0） ，将直线 y=kx 沿 y 轴向上平移3 个单位长度后恰好经过B，C两点（1）求直线BC及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，点 P在抛物线的对称轴上，且APD= ACB，求点

5、P的坐标；（3）连接 CD，求 OCA与 OCD两角和的度数考点 ：二次函数综合题。专题 ：综合题。分析： （ 1）依题意设直线BC的解析式为y=kx+3，把 B 点坐标代入解析式求出直线BC的表达式然后又已知抛物线y=x2+bx+c 过点 B，C，代入求出解析式（2）由 y=x24x+3 求出点 D，A 的坐标得出三角形OBC是等腰直角三角形求出OBC，CB 的值过A点作 AE BC于点 E，求出 BE，CE的值证明 AEC AFP求出 PF可得点 P在抛物线的对称轴，求出点P 的坐标（3）本题要靠辅助线的帮助作点A（1，0）关于 y 轴的对称点A，则 A（ 1，0） ，求出 AC=AC ，

6、由勾股定理可得CD，AD 的值得出 ADC是等腰三角形后可推出OCA+OCD=45度解答： 解： （1） y=kx 沿 y 轴向上平移3 个单位长度后经过y 轴上的点C，C（0，3） 设直线 BC的解析式为y=kx+3B（ 3，0）在直线BC上，3k+3=0解得 k=1直线 BC的解析式为y=x+3 （1 分）抛物线y=x2+bx+c 过点 B，C，解得抛物线的解析式为y=x24x+3 （2 分）（2）由 y=x24x+3可得 D（2， 1） ，A（1，0） OB=3，OC=3，OA=1，AB=2可得 OBC是等腰直角三角形， OBC=45 ，CB=3如图 1，设抛物线对称轴与x 轴交于点 F

7、，AF= AB=1过点 A 作 AEBC于点 E AEB=90度可得 BE=AE=，CE=2在AEC与AFP中， AEC= AFP=90 ， ACE= APF ， AEC AFP，解得 PF=2 点 P在抛物线的对称轴上，点 P的坐标为（ 2， 2）或（ 2， 2） （5 分）（3）解法一：如图 2，作点 A（1，0）关于 y 轴的对称点A，则 A（ 1，0） 连接 AC，AD，可得 AC=AC=， OCA=OCA由勾股定理可得CD2=20，AD2=10又 AC2=10，AD2+AC2=CD2 ADC是等腰直角三角形，CAD=90 ， DCA=45 度 OCA+OCD=45度 OCA+OCD=

8、45度即 OCA与 OCD两角和的度数为45 度 （ 7 分）解法二：如图 3，连接 BD同解法一可得CD=， AC=在 RtDBF中， DFB=90 ，BF=DF=1 ，DB=在CBD和COA中， CBD COA BCD= OCA OCB=45 ， OCA+OCD=45度即 OCA与 OCD两角和的度数为45 度 （ 9 分）点评： 本题设计得很精致，将几何与函数完美的结合在一起，对学生综合运用知识的能力要求较高，本题3 问之间层层递进，后两问集中研究角度问题中等层次的学生能够做出第（1）问，中上层次的学生可能会作出第（2）问，但第（ 2）问中符合条件的P点有两个，此时学生易忽视其中某一个，

9、成绩较好的学生才可能作出第（3）问，本题是拉开不同层次学生分数的一道好题本题考点：函数图形的平移、一次函数解析式的确定、二次函数解析式的确定、相似三角形、等腰直角三角形的判定及性质、勾股定理25、 （2009?北京）如图，在平面直角坐标系xOy 中， ABC三个机战的坐标分别为A（ 6，0） ，B（6，0） ，C（0，4） ，延长 AC到点 D，使 CD= AC，过点 D 作 DEAB交 BC的延长线于点E（1）求 D 点的坐标；（2）作 C点关于直线DE的对称点F，分别连接DF、EF ，若过 B 点的直线y=kx+b 将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设 G

10、 为 y 轴上一点，点P从直线 y=kx+b 与 y 轴的交点出发，先沿y 轴到达 G 点，再沿 GA 到达 A 点，若 P点在 y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2 倍，试确定G 点的位置，使P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短 （要求：简述确定G 点位置的方法，但不要求证明）考点 ：坐标与图形变化-对称；坐标与图形性质。专题 ：综合题；压轴题；数形结合。分析：（1）借助 DMC AOC ，根据相似三角形的性质得点D 的坐标；（2）先说明四边形CDFE是菱形， 且其对称中心为对角线的交点M，则点 B 与这一点的连线即为所求的直线，再结合全等三角形性质说明即可，由点B、M

11、的坐标求得直线BM 的解析式；（3）过点 A 作 MB 的垂线， 该垂线与y 轴的交点即为所求的点G，再结合由 OB、OM 的长设法求出BAH，借助三角函数求出点G 的坐标，本题第三问是难点，学生主要不会确定点G 的位置解答： 解：（1） A（ 6，0） ，C（0，4）OA=6，OC=4设 DE 与 y 轴交于点M 由 DEAB 可得 DMC AOC 又 CD= AC CM=2， MD=3 同理可得EM=3 OM=6D 点的坐标为（3，6） ；（2）由（ 1）可得点 M 的坐标为（ 0，6）由 DEAB，EM=MD 可得 y 轴所在直线是线段ED的垂直平分线点 C关于直线DE 的对称点 F在

12、y 轴上ED与 CF互相垂直平分CD=DF=FE=EC 四边形CDFE为菱形，且点M 为其对称中心作直线 BM，设 BM 与 CD、EF分别交于点S 、点 T 可证 FTM CSM FT=CS FE=CD TE=SD EC=DF TE+EC+CS+ST=SD+DF+FT+TS 直线 BM 将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，由点 B（6，0） ，点 M（ 0，6）在直线y=kx+b 上，可得直线BM 的解析式为y=x+6（3）确定 G 点位置的方法：过A 点作 AHBM 于点 H，则 AH 与 y 轴的交点为所求的G 点由 OB=6，OM=6可得 OBM=60 BAH=30 在 RtOA

13、G中， OG=AO?tan BAH=2G 点的坐标为 （或 G 点的位置为线段OC的中点）点评： 本题综合考查了图形的性质和坐标的确定，是综合性较强，难度较大的综合题，其中本题第三问是难点，学生主要不会确定点G 的位置对第三问的解释：因为 OBM=60 ，所以 GM=2GH 又因为在y 轴上的速度是在直线GA 上的两倍 ,所以在 MG 线段上花的时间相当于以1 倍速度在GH 上的时间，总时间就是以一倍速度在线段AH 上的时间，作为对比，在y 轴上取另外一点P，做 P点到 MB 的垂线，连接AP 显然，线段A 24、 （2010?北京） 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 y=x2+x+m23m+

14、2 与 x 轴的交点分别为原点 O 和点 A，点 B（2，n）在这条抛物线上（1）求点 B的坐标；（2）点 P 在线段 OA 上，从 O 点出发向点运动，过P点作 x 轴的垂线，与直线OB交于点 E延长 PE到点D使得 ED=PE 以 PD 为斜边， 在 PD右侧作等腰直角三角形PCD （当 P点运动时， C点、D 点也随之运动）j 当等腰直角三角形PCD的顶点 C落在此抛物线上时， 求 OP的长；k 若 P点从 O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1 个单位，同时线段OA 上另一点 Q 从 A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2 个单位（当Q 点到达 O 点时停止运动，P 点也同时停

15、止运动） 过 Q 点作 x 轴的垂线，与直线AB 交于点 F延长 QF到点 M，使得 FM=QF，以 QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN（当 Q 点运动时， M 点， N点也随之运动） 若 P点运动到t 秒时， 两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值考点 ：二次函数综合题。专题 ：综合题。分析：（1）由抛物线y=x2+x+m23m+2 与 x 轴的交点分别为原点O，令 x=0，y=0，解得 m 的值，点 B（2，n）在这条抛物线上，把该点代入抛物线方程，解得n（2）设直线OB 的解析式为y=k1x，求得直线OB的解析式为y=2x，由 A 点是抛物线与

16、x 轴的一个交点，可求得 A 点的坐标，设P点的坐标为（ a，0） ，根据题意作等腰直角三角形PCD ，如图 1可求得点C的坐标，进而求出OP的值，依题意作等腰直角三角形QMN，设直线AB的解析式为y=k2x+b，求出直线AB的解析式，当P 点运动到 t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况，解出各种情况下的时间t解答： 解：（1）抛物线y=x2+x+m23m+2 经过原点，m23m+2=0，解得 m1=1，m2=2，由题意知m 1，m=2，抛物线的解析式为y=x2+ x，点 B（2，n）在抛物线y=x2+ x 上，n=4，B 点的坐标为（ 2，4） （2）

17、设直线OB 的解析式为y=k1x，求得直线OB的解析式为y=2x，A 点是抛物线与x 轴的一个交点，可求得A 点的坐标为（10，0） ，设 P点的坐标为（a， 0） ，则 E点的坐标为（ a， 2a） ，根据题意作等腰直角三角形PCD ，如图 1，可求得点C的坐标为（ 3a，2a） ，由 C 点在抛物线上，得： 2a= （3a）2+ 3a，即 a2a=0，解得 a1=，a2=0（舍去），OP=依题意作等腰直角三角形QMN，设直线AB 的解析式为y=k2x+b，由点 A（10，0） ，点 B（2， 4） ，求得直线AB的解析式为y=x+5，当 P点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰

18、好落在同一条直线上，有以下三种情况：第一种情况：CD与 NQ 在同一条直线上如图 2 所示可证 DPQ为等腰直角三角形此时OP、DP、AQ 的长可依次表示为t、4t、2t 个单位PQ=DP=4t，t+4t+2t=10 ，t=第二种情况：PC与 MN 在同一条直线上如图3 所示可证 PQM 为等腰直角三角形此时OP、AQ 的长可依次表示为t、2t 个单位OQ=102t，F点在直线 AB 上，FQ=t，MQ=2t ，PQ=MQ=CQ=2t，t+2t+2t=10 ，t=2第三种情况：点P、Q 重合时， PD、QM 在同一条直线上，如图4 所示此时OP、AQ 的长可依次表示为t、2t 个单位t+2t=

19、10 ，t=综上，符合题意的t 值分别为，2，点评： 本题是二次函数的综合题，要会求抛物线的解析式，讨论分类情况，此题比较繁琐， 做题多加用心25、 （2011?北京）如图，在平面直角坐标系xOy 中，我把由两条射线AE ，BF和以 AB 为直径的半圆所组成的图形叫作图形C（注：不含AB 线段） 已知 A（ 1，0） ，B（1，0） ，AEBF，且半圆与y 轴的交点D在射线 AE的反向延长线上（1）求两条射线AE，BF所在直线的距离；（2）当一次函数y=x+b 的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b 的取值范围；当一次函数y=x+b 的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b 的取值范围；

20、（3）已知 ?AMPQ（四个顶点A，M，P，Q 按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C 上，且不都在两条射线上，求点M 的横坐标x 的取值范围考点 ：一次函数综合题；勾股定理；平行四边形的性质；圆周角定理。专题 ：综合题；分类讨论。分析： （1）利用直径所对的圆周角是直角，从而判定三角形ADB 为等腰直角三角形，其直角边的长等于两直线间的距离；（2）利用数形结合的方法得到当直线与图形C有一个交点时自变量x 的取值范围即可；（3）根据平行四边形的性质及其四个顶点均在图形C上，可能会出现四种情况，分类讨论即可解答： 解： （1）分别连接AD、DB，则点 D 在直线 AE上，如图 1，点 D 在以 A

21、B为直径的半圆上， ADB=90 ，BDAD，在 RtDOB中，由勾股定理得，BD=，AEBF，两条射线AE、BF所在直线的距离为（2）当一次函数y=x+b 的图象与图形C恰好只有一个公共点时，b 的取值范围是b=或 1b1；当一次函数y=x+b 的图象与图形C恰好只有两个公共点时，b 的取值范围是1b（3）假设存在满足题意的平行四边形AMPQ，根据点M 的位置，分以下四种情况讨论： 当点 M 在射线 AE上时，如图2AMPQ 四点按顺时针方向排列，直线 PQ必在直线AM 的上方，PQ两点都在弧AD 上，且不与点A、D 重合，0 PQAM PQ且 AM=PQ，0 AM 2x 1， 当点 M 不

22、在弧 AD上时，如图3，点 A、M、P、Q 四点按顺时针方向排列，直线 PQ必在直线AM 的下方，此时，不存在满足题意的平行四边形 当点 M 在弧 BD上时，设弧 DB 的中点为R，则 ORBF，当点 M 在弧 DR上时，如图4，过点 M 作 OR的垂线交弧DB于点 Q，垂足为点S ，可得 S是 MQ 的中点四边形AMPQ 为满足题意的平行四边形，0 x当点 M 在弧 RB上时，如图5，直线 PQ 必在直线AM 的下方，此时不存在满足题意的平行四边形 当点 M 在射线 BF上时，如图6，直线 PQ 必在直线AM 的下方，此时，不存在满足题意的平行四边形综上，点M 的横坐标x 的取值范围是2 x

23、 1 或 0 x点评： 本题是一道一次函数的综合题，题目中还涉及到了勾股定理、平行四边形的性质及圆周角定理的相关知识，题目中还渗透了分类讨论思想2008 海淀二模24、已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象分别经过点（0，3） ， （ 3，0） ， （ 2， 5） 求：（1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数的最值；（3）若设这个二次函数图象与x 轴交于点C，D（点 C 在点 D 的左侧），且点 A 是该图象的顶点，请在这个二次函数的对称轴上确定一点B，使 ACB是等腰三角形，求出点B 的坐标考点 ：二次函数综合题。分析：（1）根据三点坐标代入求出a，b，c 来确定二次函数解析式；

24、（2）先看二次函数的二次项系数为负，函数开口向下，则求其定点y 值即可；（3）当 CA=CB时，可求得B 点的坐标，当AC=AB时，当 BA=BC时即能求得点B 坐标即可解答： 解： （1）因为二次函数y=ax2+bx+c 的图象经过（ 0，3）所以 c=3所以 y=ax2+bx+3又二次函数y=ax2+bx+3 的图象经过点（3，0） ， （4， 5） ，解这个方程组得：，所以这个二次函数的解析式为：y=x2+2x+3；（2）因为 a=10，所以函数有最大值，当 x=1 时，函数的最大值为：4；（3）当 CA=CB时，可求得B点的坐标为： （1， 4） ；当 AC=AB时，可求得B点的坐标为

25、：；当 BA=BC时，可求得B 点的坐标为：综上所述 B 点的坐标分别为 （1，4） ，点评： 本题考查了二次函数的综合运用，考查了三点求其函数式，有二次函数的一般式求得其顶点坐标，以及函数图象与三角形的结合求解2009 海淀一模25、已知抛物线经过点A（0，4） 、B（1，4） 、C（3， 2） ，与 x 轴正半轴交于点D（1）求此抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）在 x 轴上求一点E，使得 BCE是以 BC为底边的等腰三角形；（3）在（ 2）的条件下，过线段ED上动点 P作直线 PFBC，与 BE 、CE分别交于点F、G，将 EFG沿 FG翻折得到 EFG设 P （x，0） ， EFG

26、与四边形FGCB重叠部分的面积为S ，求 S与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围考点 ：二次函数综合题。专题 ：动点型。分析：（1）根据抛物线经过点A（0，4） 、B（1， 4） 、C（ 3，2） ，于是可设出一般式，用待定系数法求出解析式，再根据解析式求出D 点坐标；（2）设出 E点坐标，作出辅助直角三角形，运用等腰三角形的性质和勾股定理建立等式，求出E点坐标；（3）由于 P点为动点，故根据x 的不同取值会得到不同的重叠图形由于BC的中点横坐标为=2，抛物线与 x 轴的交点横坐标4，所以分 1 x2 ，2x4等情况讨论解答： 解： （1）依题意，设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx

27、+4，则， （1 分）解得，所求抛物线的解析式为 （2 分）由，解得 x1=4， x2=3D（4，0） （3 分）（2）如图，过点C作 CNx 轴于 N，过点 E、B 分别作 x 轴、 y 轴的垂线，两线交于点M M= CNE=90度设 E（a，0） ，EB=EC BM2+EM2=CN2+EN2（ 1a）2+（ 40）2=（20）2+（3 a）2解得 a=1E（ 1，0） （4 分）（3）可求得直线BC的解析式为y=x+5从而直线BC与 x 轴的交点为H（5，0） 如图，根据轴对称性可知SE FG=SEFG，当点 E 在 BC上时，点F是 BE的中点FGBC， EFP EBH可证 EP=PH

28、E（ 1，0） ，H（5，0） ，P（ 2，0） （5 分）（i）如图，分别过点B、C作 BK ED于 K，CJ ED于 J，则 SBCE=S BEHS CEH= EH?（BKCJ ）=6当 1x2 时，PFBC， EGP ECH ，EFG EBC ，P（ x，0） ，E（ 1，0） ，H（5，0） ，EP=x+1 ，EH=6S=SE FG=SEFG= x2+ x+ （ 1x2 ） （6 分）（ii）如图，当2x4时，在 x 轴上截取一点Q，使得 PQ=HP ，过点Q 作QMFG，分别交EB、EC于 M、N可证 S=S四边形MNGF，ENQ ECH ，EMN EBC =，=P（ x，0） ，E

29、（ 1，0） ，H（5，0） ，EH=6，PQ=PH=5x， EP=x+1 ，EQ=62（5x）=2x4SEMN=（7 分）同（ i）可得 S EFG=，S=SEFGSEMN=x2+3x（2x4 ） （8 分）综上，点评： 此题不仅考查了用待定系数法求二次函数解析式，还结合等腰三角形的性质考查了运用勾股定理求线段的长，解（3）时要注意进行分类讨论2009 海淀二模24、如图，已知抛物线y=（3m） x2+2（m3） x+4mm2的顶点 A 在双曲线 y= 上，直线y=mx+b 经过点 A，与 y 轴交于点B，与 x 轴交与点C（1）确定直线AB 的解析式；（2）将直线AB 绕点 O 顺时针旋转

30、90 ，与 x 轴交与点D，与 y 轴交与点E，求 sinBDE的值；（3）过点 B 作 x 轴的平行线与双曲线交与点G，点 M 在直线 BG 上，且到抛物线的对称轴的距离为6设点 N 在直线 BG上，请直接写出使得AMB+ANB=45 的点 N 的坐标考点 ：二次函数综合题。专题 ：代数几何综合题。分析：（1）由抛物线解析式得顶点坐标为（1， m2+5m3） ，代入双曲线y= 中，可求m 的值，再把A点坐标代入直线y=mx+b 中，确定直线AB的解析式；（2）由旋转的性质可知，OD=OB，OE=OC ，根据B、D、E 三点坐标，作EHBD，垂足为H，可知 BEH为等腰直角三角形，分别求EH，

31、DE，再求 sinBDE的值；（3）即 AMN 的顶点 A 的外角为45 ，过 M 点作直线AN 的垂线，得到等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求N 点坐标解答： 解： （1）抛物线对称轴x=1，抛物线顶点坐标为（1， m2+5m3） ，代入双曲线y= 中，得， m2+5m3=3，解得 m=2 或 3，二次项系数3 m 0 ，m=2，A（1，3） ，把 A 点代入直线y=2x+b 中，得 b=1，直线 AB的解析式为y=2x+1；（2）由直线AB 解析式可知OB=1， OC= ，由旋转的性质可知，OD=OB=1 ，OE=OC= ，作 EH BD，垂足为H， OBD=45 ， BEH为等腰

32、直角三角形，又 BE=OB OE= ，EH=，在 RtODE中， DE=，sinBDE=；（3） N 点坐标为（ 5，1）或（ 3，1） 点评： 本题考查了二次函数的综合运用关键是根据条件确定抛物线和直线AB 的解析式，根据旋转的性质，三角形外角的性质解题2010 海淀一模24、点 P 为抛物线y=x2 2mx+m2（ m 为常数， m0）上任一点，将抛物线绕顶点G 逆时针旋转90 后得到的新图象与y 轴交于 A、B两点（点A 在点 B 的上方），点 Q 为点 P旋转后的对应点（1）当 m=2，点 P横坐标为 4 时，求 Q 点的坐标；（2）设点 Q（a，b） ，用含 m、b 的代数式表示a；

33、（3）如图，点Q 在第一象限内，点D 在 x 轴的正半轴上，点C为 OD 的中点， QO 平分 AQC，AQ=2QC ，当 QD=m 时，求 m 的值考点 ：二次函数综合题。专题 ：综合题。分析：（1）首先根据m 的值确定出原抛物线的解析式，进而可求得P、G 的坐标，过P作 PE x 轴于 E，过 Q 作 QFx 轴于 F，根据旋转的性质知： GQF PGE ，则 DF=GE 、 PE=GF ，可据此求得点Q 的坐标（2）已知了Q 点坐标，即可得到QF、FG的长，仿照（1）的方法可求出点P的坐标，然后代入原抛物线的解析式中，可求得a、b、m 的关系式（3）延长 QC到 E，使得 QC=CE ，

34、那么 AQ=QE ；由于 OD、QE互相平分， 即四边形OEDQ是平行四边形 （或证QCD ECO ） ，那么 QD=OE=m，而 AQ=QE ，且 QO 平分 AQC，易证得 AQO EQO，则 OA=OE=m，即 A 点坐标为（ 0， m） ，然后将点A 的坐标代入（ 2）的关系式中，即可求得m 的值解答： 解： （1）当 m=2 时， y=（x2）2，则 G（2，0） ，P（4，4） ， （1 分）如图，连接QG、PG，过点 Q 作 QFx 轴于 F，过点 P作 PE x轴于 E ，依题意，可得GQF PGE ；则 FQ=EG=2 ， FG=EP=4 ，FO=2Q（ 2， 2） （2 分

35、）（2）已知 Q（a，b） ，则 GE=QF=b ，FG=ma；由（ 1）知： PE=FG=m a，GE=QF=a ，即 P（m+b，ma） ，代入原抛物线的解析式中，得：ma=（m+bm）2，即 a=m b2；故用含 m，b 的代数式表示a：a=mb2 （4 分）（3）如图，延长QC到点 E，使 CE=CQ ，连接 OE；C 为 OD 中点，OC=CD ， ECO= QCD， ECO QCD ，OE=DQ=m； （5 分）AQ=2QC，AQ=QE ，QO 平分 AQC ， 1=2， AQO EQO ， （6 分）AO=EO=m，A（0，m） ， （ 7 分）A（0，m）在新的图象上，0=mm

36、2m1=1，m2=0（舍），m=1 （8 分）点评： 此题主要考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定和性质、函数图象上点的坐标意义等知识，难度较大2010 海淀二模24、如图，已知平面直角坐标系xOy 中的点 A（0，1） ，B（1，0） ，M、N 为线段 AB 上两动点，过点M 作x 轴的平行线交y 轴于点E，过点N 作 y 轴的平行线交x 轴于点F，交直线EM 于点P（x，y） ，且SMPN=SAEM+SNFB（1） SAOB=S矩形EOFP（填 “ ” 、“=”、“ ” ） ， y 与 x 的函数关系是（不要求写自变量的取值范围）；（2）当时，求 MON 的度数；（3）证明： MON 的

37、度数为定值考点 ：勾股定理；三角形的面积；直角三角形全等的判定；矩形的性质；相似三角形的判定与性质。专题 ：综合题；数形结合。分析： （ 1）由于 AOB与矩形 EOFP有公共部分五边形OEMNF，而不同的部分是 AEM、BFN和PMN，若比较 AOB和矩形 EOFP的面积大小， 只需比较不同部分的面积大小即可，由已知得 SMPN=SAEM+SNFB，故两者的面积相等；y 与 x 的函数关系：可根据P点坐标，求出矩形EPFO的面积，根据 AOB 和矩形的面积相等，即可得到关于x、y 的函数关系式；（2） 将 x 的值代入题 （1） 所得的函数关系式中，即可得到y 的值，也就确定了P点的坐标；

38、过 O 作 OHAB于 H，在等腰Rt OAB 中，通过解直角三角形，可求得AB、OH 的长，此时发现OH=OE，则可证得RtEMORtHMO，由此可得 1=2，同理可证得3=4，由于 EOF=90 ，则 2+3=MON=45 ，由此得解（3） 方法同（2） 类似，可用 P点的横坐标， 分别表示出EM、 HN 的长，通过证 EMO HNO， 得到 1=3，同理可通过证MHO NFO，得到 2=4，而 EOF=90 ，即可得到 MON=45 解答： 解： （1）解： SMPN=SAEM+SNFBSAOB=S矩形EOFP； （1 分）SAOB= OA?OB= 1 1= ，S矩形EOFP=frac1

39、2，y 与 x 的函数关系是； （2 分）（2）当时，点 P的坐标为 （3 分）可得四边形EOFP为正方形，过点O 作 OHAB于 H，在 Rt AOB中， OA=OB=1，H 为 AB 的中点，在 RtEMO 和 RtHMO 中，RtEMORt HMO 1=2 （4 分）同理可证 3=4 1+2+ 3+4=90 ， 2+3=45 即 MON=45 （5 分）（3）过点 O 作 OHAB于 H，依题意，可得， OEM=OHN=90 ， EMO HNO， 1=3 （6 分）同理可证 2=4， 1+2+ 3+4=90 ， 2+3=45 即 MON=45 （ 7 分）点评： 此题考查了矩形、等腰直角

40、三角形的性质，全等三角形、相似三角形的判定和性质；（ 2） （3）题中，通过辅助线来构造出与已知和所求相关的相似或全等三角形，是解答此题的关键2011 门头沟区一模25、在平面直角坐标系xOy 中，关于 y 轴对称的抛物线y=x2+ （m2）x+4m 7 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点C，P是这条抛物线上的一点（点P不在坐标轴上） ，且点 P关于直线 BC的对称点在x 轴上， D（0， 3）是 y 轴上的一点（1）求抛物线的解析式及点P的坐标；（2）若 E、F是 y 轴负半轴上的两个动点（点E在点 F的上面），且 EF=2 ，当四边形PBEF的周长最

41、小时，求点 E、F的坐标；（3）若 Q 是线段 AC上一点，且SCOQ=2SAOQ，M 是直线 DQ 上的一个动点，在x 轴上方的平面内存在一点 N，使得以O、D、M、N 为顶点的四边形是菱形，请你直接写出点N 的坐标考点 ：二次函数综合题。专题 ：代数几何综合题；数形结合。分析：（1）本题需先根据已知条件求出抛物线的解析式，再根据A、B 两点求出 OBC的度数和 OBD的度数，再证出直线BD 与 x 轴关于直线BC对称，再设直线BD的解析式为y=kx+b，再把各点代入，最后求出结果即可（2）本题可先过点P作 PGx 轴于 G，在 PG上截取 PH=2，证出四边形PHEF为平行四边形得出HE=

42、PF ，再根据已有的条件证出Rt AOERtAGH，最后即可求出点E、F的坐标（3）本题根据已有的条件，再结合图形，可以直接写出点N 的坐标解答： 解： （1）抛物线+（m2）x+4m 7 关于 y 轴对称，m2=0m=2抛物线的解析式是y=+1 令 y=0，得 x=A（， 0） ，B（，0）在 RtBOC中， OC=1，OB=，可得 OBC=30 在 RtBOD中， OD=3，OB=，可得 OBD=60 BC是 OBD的角平分线直线 BD 与 x 轴关于直线BC对称因为点 P关于直线BC的对称点在x轴上，则符合条件的点P就是直线BD与抛物线y=+1 的交点设直线 BD 的解析式为y=kx+b

43、直线 BD 的解析式为点 P在直线 BD上，设 P点坐标为又因为点P在抛物线 y=+1 上，=+1 y1=0，y2=3 点 P的坐标是（2）过点 P作 PGx轴于 G，在 PG上截取 PH=2，连接 AH 与 y 轴交于点 E，在 y 轴的负半轴上截取EF=2PHEF ， PH=EF ，四边形PHEF为平行四边形，有HE=PF 又 PB、EF的长为定值，此时得到的点E、F使四边形PBEF的周长最小OEGH，RtAOERtAGHOE=OF=OE+EF= +2=点 E的坐标为（ 0，） ，点 F的坐标为（ 0，） （3）点 N 的坐标是）或）或，点评： 本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象

44、交点的求法等知识点主要考查学生数形结合的数学思想方法2011 门头沟区二模25、如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB与 x 轴交于点A，与 y 轴交于点B，且 OA=3， AB=5点 P从点 O 出发沿 OA 以每秒 1 个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AO 返回；点 Q 从点 A 出发沿 AB以每秒 1 个单位长的速度向点B匀速运动伴随着P、Q 的运动， DE 保持垂直平分PQ，且交 PQ 于点 D，交折线QB BOOP 于点 E点 P、Q 同时出发，当点Q 到达点 B 时停止运动，点P也随之停止设点P、Q 运动的时间是t 秒（ t0） （1）求直线AB

45、的解析式；（2）在点 P从 O 向 A 运动的过程中， 求 APQ的面积 S与 t 之间的函数关系式（不必写出t 的取值范围） ；（3）在点 E从 B向 O 运动的过程中，完成下面问题：四边形QBED能否成为直角梯形？若能，请求出t 的值；若不能，请说明理由；当 DE经过点 O 时，请你直接写出t 的值考点 ：相似三角形的判定与性质；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；直角梯形。专题 ：代数几何综合题；数形结合；方程思想。分析： （ 1）首先由在RtAOB 中， OA=3，AB=5，求得 OB的值，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（2）过点 Q 作 QFAO 于点 F，由 AQF

46、 ABO，根据相似三角形的对应边成比例，借助于方程即可求得 QF 的长，然后即可求得APQ的面积 S与 t 之间的函数关系式；（3）分别从DEQB与 PQBO 去分析，借助于相似三角形的性质，即可求得t 的值；根据题意可知即OP=OQ时，则列方程即可求得t 的值解答： 解： （1）在 RtAOB 中， OA=3，AB=5，由勾股定理得OB=4A（3，0） ，B（0，4） 设直线 AB的解析式为y=kx+b解得直线 AB的解析式为；（2）如图 1，过点 Q 作 QFAO 于点 FAQ=OP=t， AP=3t由 AQF ABO，得=QF= t，S= （3t）? t，S=t2+ t；（3）四边形QB

47、ED能成为直角梯形如图 2，当 DEQB 时，DEPQ，PQQB，四边形QBED是直角梯形此时 AQP=90 由 APQ ABO，得=解得 t=；如图 3，当 PQBO 时，DEPQ，DEBO，四边形 QBED是直角梯形此时 APQ=90 由 AQP ABO，得即=3t=5（3 t） ，3t=155t，8t=15，解得 t=；当 DE经过点 O 时，DE垂直平分PQ，EP=EQ=t ，由于 P与 Q 相同的时间和速度，AQ=EQ=EP=t ， AEQ= EAQ， AEQ+ BEQ=90 ， EAQ+EBQ=90 ， BEQ= EBQ，BQ=EQ ，EQ=AQ=BQ= AB 所以 t=点评： 此

48、题考查了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质等知识的应用此题综合性较强，注意数形结合与方程思想的应用2009 西城一模24. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线与 x 轴、 y 轴的交点分别为A、 B，将 OBA对折，使点O 的对应点H 落在直线AB 上，折痕交x 轴于点 C（1）直接写出点C的坐标，并求过A、 B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T， Q 为线段 BT上一点，直接写出|QA QO| 的取值范

49、围考点 ：二次函数综合题。专题 ：开放型。分析：（1）点 A 的坐标是纵坐标为0，得横坐标为8，所以点 A 的坐标为（ 8，0） ；点 B 的坐标是横坐标为0，解得纵坐标为6，所以点B的坐标为（ 0，6） ；由题意得： BC是 ABO 的角平分线，所以OC=CH ，BH=OB=6 AB=10， AH=4，设 OC=x，则 AC=8 x 由勾股定理得：x=3 点 C的坐标为（ 3， 0）将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得；（2）求得直线BC的解析式，根据平行四边形的性质，对角相等，对边平行且相等，借助于三角函数即可求得；（3）如图，由对称性可知QO=QH，|QA QO|=|QA QH

50、| 当点 Q 与点 B 重合时， Q、H、A 三点共线，|QA QO|取得最大值4（即为 AH 的长） ；设线段 OA 的垂直平分线与直线BC的交点为K，当点 Q 与点 K重合时， |QA QO| 取得最小值0解答： 解： （1）点 C的坐标为（ 3， 0） （1 分）点 A、B的坐标分别为A（8，0） ，B（0，6） ，可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x3） （ x8） 将 x=0，y=6 代入抛物线的解析式，得 （2 分）过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为 （3 分）（2）可得抛物线的对称轴为，顶点 D 的坐标为，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G直线 BC的解析式为y=