均值不等式及其应用导学案.pdf

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1、名师精编优秀教案均值不等式及其应用备课人李英时间 2013.10.16 教学目标及重点1. 掌握基本不等式及变式，会比较数（式）的大小。2. 利用基本不等式求最值。3. 利用基本不等式解决实际问题课前预习，自主学习一有甲、乙两个超市同时进行降价活动，分别采用两种降价方案：甲超市第一次打m折销售，第二次打n 折销售 ; 乙超市两次都(m+n)/2 折销售。请问：哪个超市的价格更优惠? 二定理如果 a、b 是正数，那么（当且仅当a=b 是取等号）如何证明定理？对于负数a、b, 以上定理成立吗？三定理变式如何证明？四最值定理：（1）若 a,b R+ 且 ab=p（ p 为常数）则（当且仅当a=b 时

2、取等号）（2）若 a+b=S(a,b R+,则（当且仅当a=b 时取等号）五求函数的最值 1. 配方法 2.利用均值不等式（一正、二定、三相等） 3 若等号不成立时，利用函数单调性abba22221122abababab名师精编优秀教案合作探究，问题解决均值定理在比较大小中的应用：例 1：若)2lg(),lg(lg21,lglg, 1baRbaQbaPba，则RQP,的大小关系是 . 例 2：求下列函数的值域（1）y3x 212x 2（2）yx1x变式： 1. 若实数满足2ba，则ba33的最小值是 . 2. 若44loglog2xy，求11xy的最小值 . 并求 x,y 的值例 3 均值不等

3、式变式应用1. 当时，求(82 )yxx的最大值。2. 。 已知x，y为正实数， 3x2y10，求函数W 3x2y的最值 . 3. 求函数152152 ()22yxxx的最大值。名师精编优秀教案例 4 “ 1”的整体替换已知0,0 xy，且191xy，求xy的最小值。例 5. 拼凑利用函数单调性 1 已知54x，求函数14245yxx的最大值。 2 求函数2254xyx的值域。例 6 ：利用均值不等式证明不等式1已知cba,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba222名师精编优秀教案例 7 均值不等式与恒成立问题1 已知0,0 xy且191xy，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。综合练习，巩固提高练习 1 求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值 . （1）231,(0)xxyxx（2）12,33yxxx（3） (12sin,(0,)sinyxxx2. 若Ryx,且12yx，求yx11的最小值已知Ryxba,且1ybxa，求yx的最小值3 已知01x，求函数(1)yxx的最大值 . ；4 203x，求函数(2 3 )yxx的最大值 . 5. 设230 x，求函数)23(4xxy的最大值。6. 正数a，b，c满足abc1，求证： (1 a)(1 b)(1 c) 8abc已知 a、b、cR，且1abc。求证：1111118abc