对数及对数函数教案.pdf

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1、学习必备欢迎下载对数教学目的：（ 1）理解对数的概念；（ 2）能够说明对数与指数的关系；（ 3）掌握对数式与指数式的相互转化教学重点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化教学难点：对数概念的理解教学过程：一、引入课题1 （对数的起源）价绍对数产生的历史背景与概念的形成过程，体会引入对数的必要性；设计意图：激发学生学习对数的兴趣，培养对数学习的科学研究精神2 尝试解决本小节开始提出的问题二、新课教学1对数的概念一般地，如果Nax) 1,0(aa，那么数x叫做以a为底N的对数（ Logarithm ） ，记作：Nxaloga 底数，N 真数，Nalog 对数式说明： 1注意底数的限制0a，且1a；

2、2xNNaaxlog； 3注意对数的书写格式思考：1为什么对数的定义中要求底数0a，且1a； 2是否是所有的实数都有对数呢？设计意图：正确理解对数定义中底数的限制，为以后对数型函数定义域的确定作准备两个重要对数： 1常用对数（ common logarithm） ：以 10 为底的对数Nlg； 2自然对数（ natural logarithm） ：以无理数71828. 2e为底的对数的对数Nln2 对数式与指数式的互化xNalogNax对数式指数式对数底数a 幂底数对数x指数真数N幂例 1 （教材 P73例 1）巩固练习：（教材 P74练习 1、2）设计意图：熟练对数式与指数式的相互转化，加深

3、理解对数概念学习必备欢迎下载说明：本例题和练习均让学生独立阅读思考完成，并指出对数式与指数式的互化中应注意哪些问题3 对数的性质（学生活动）1阅读教材P73例 2，指出其中求x的依据； 2独立思考完成教材P74练习 3、4，指出其中蕴含的结论对数的性质（1）负数和零没有对数；（2）1 的对数是零：01loga；（3）底数的对数是1：1log aa；（4）对数恒等式：NaNalog；（5）nanalog三、归纳小结，强化思想 1 引入对数的必要性； 2 指数与对数的关系；3对数的基本性质四、作业布置教材 P86习题 22（A组）第 1、2 题， （ B组）第 1 题课题： 2.2.1对数的运算性

4、质教学目的：（ 1）理解对数的运算性质；（ 2）知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；（ 3）通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用教学重点：对数的运算性质，用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数教学难点：对数的运算性质和换底公式的熟练运用教学过程：五、引入课题3 对数的定义：bNNaablog；4 对数恒等式：baNabaNalog,log；六、新课教学1对数的运算性质提出问题：根据对数的定义及对数与指数的关系解答下列问题：1设ma2log，na3log，求nma；2设mMalog，nNalog，试利用m、n表示Ma(log)N（学生独立思考完成解答，教师组

5、织学生讨论评析，进行归纳总结概括得出对数的运算性质，并引导学生仿此推导其余运算性质）学习必备欢迎下载运算性质：如果0a，且1a，0M，0N，那么：1Ma(log)NMalogNalog； 2NMalogMalogNalog； 3naMlognMalog)(Rn（引导学生用自然语言叙述上面的三个运算性质）学生活动： 1阅读教材75例 3、4， ；设计意图：在应用过程中进一步理解和掌握对数的运算性质 2完成教材79练习 13 设计意图：在练习中反馈学生对对数运算性质掌握的情况，巩固所学知识4 利用科学计算器求常用对数和自然对数的值设计意图：学会利用计算器、计算机求常用对数值和自然对数值的方法思考：

6、对于本小节开始的问题中，可否利用计算器求解1318log01. 1的值？从而引入换底公式5 换底公式abbccalogloglog（0a，且1a；0c，且1c；0b） 学生活动1根据对数的定义推导对数的换底公式设计意图：了解换底公式的推导过程与思想方法，深刻理解指数与对数的关系2思考完成教材P76问题（即本小节开始提出的问题）； 3利用换底公式推导下面的结论（1）bmnbanamloglog；（2）abbalog1log设计意图：进一步体会并熟练掌握换底公式的应用说明：利用换底公式解题时常常换成常用对数，但有时还要根据具体题目确定底数6 课堂练习1教材79练习 4 2已知的值。试求： 12lg

7、,4771.03lg,3010.02lg3试求：5lg5lg2lg2lg2的值。 （对换 5 与 2，再试一试）4的值。，试求：333335lg2lg35lg2lgbaabba5设a2lg,b3lg，试用a、b表示12log5学习必备欢迎下载七、归纳小结，强化思想本节主要学习了对数的运算性质和换底公式的推导与应用，在教学中应用多给学生创造尝试、思考、交流、讨论、表达的机会，更应注重渗透转化的思想方法八、作业布置1 基础题：教材P86习题 22（ A组）第 3 5 、11 题；2 提高题： 1设a3log8,b5log3，试用a、b表示5lg；2设a7log14,514b，试用a、b表示28lo

8、g35；3设a、b、c为正数，且cba643，求证：bac21113 课外思考题：设正整数a、b、c（abc）和实数x、y、z、满足：30zyxcba，1111zyx，求a、b、c的值对数函数教学任务：（1）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；（ 2）能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；（ 3）通过比较、 对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法教学重点：掌握对数函数的图象和性质教学难点：对数函数的定义

9、，对数函数的图象和性质及应用教学过程：九、引入课题1 （知识方法准备）1学习指数函数时，对其性质研究了哪些内容，采取怎样的方法？设计意图： 结合指数函数， 让学生熟知对于函数性质的研究内容，熟练研究函数性质的方法借助图象研究性质2对数的定义及其对底数的限制设计意图：为讲解对数函数时对底数的限制做准备2 （引例）教材 P81引例处理建议：在教学时，可以让学生利用计算器填写下表：碳 14 的含量 P 0.5 0.3 0.1 0.01 0.001 生物死亡年数t 然后引导学生观察上表，体会“对每一个碳14 的含量 P的取值，通过对应关系Pt215730log， 生物死亡年数t 都有唯一的值与之对应，

10、从而 t 是 P的函数” （进学习必备欢迎下载而引入对数函数的概念）十、新课教学（一）对数函数的概念1定义：函数0(logaxya，且)1a叫做对数函数（logarithmic function）其中x是自变量，函数的定义域是（0，+） 注意：1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义， 注意辨别 如：xy2log2，5log5xy都不是对数函数，而只能称其为对数型函数 2对数函数对底数的限制：0(a，且)1a巩固练习：（教材 P68例 2、3）（二）对数函数的图象和性质问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的

11、性质研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性探索研究：1在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；（可用描点法， 也可借助科学计算器或计算机）（1）xy2log（2）xy21log（3）xy3log（4）xy31log2类比指数函数图象和性质的研究，研究对数函数的性质并填写如下表格：图象特征函数性质1a1a01a1a0函数图象都在y 轴右侧函数的定义域为（0，）图象关于原点和y 轴不对称非奇非偶函数向 y 轴正负方向无限延伸函数的值域为R函数图象都过定点（1，1）11自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都

12、大于0 0log,1xxa0log, 10 xxa第二象限的图象纵坐标都小于0 第二象限的图象纵坐标都小于0 0log, 10 xxa0log, 1xxa 3思考底数a是如何影响函数xyalog的 （学生独立思考，师生共同总结）学习必备欢迎下载规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大（三）典型例题例 1 （教材 P83例 7） 解： （略）说明：本例主要考察学生对对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对对数函数的理解巩固练习：（教材 P85练习 2） 例 2 （教材 P83例 8）解： （略）说明：本例主要考察学生利用对数函数的单调性“比较两个数的大小”的方法，熟悉对数函

13、数的性质，渗透应用函数的观点解决问题的思想方法注意：本例应着重强调利用对数函数的单调性比较两个对数值的大小的方法，规范解题格式巩固练习：（教材 P85练习 3） 例 2 （教材 P83例 9）解： （略）说明：本例主要考察学生对实际问题题意的理解，把具体的实际问题化归为数学问题注意：本例在教学中，还应特别启发学生用所获得的结果去解释实际现象巩固练习：（教材 P86习题 22 A 组第 6 题） 十一、归纳小结，强化思想本小节的目的要求是掌握对数函数的概念、图象和性质 在理解对数函数的定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质是本小节的重点十二、作业布置1 必做题：教材P86习题 22（ A组）第

14、7、8、9、12 题2 选做题：教材P86习题 22（ B组）第 5 题课题： 2.2.2对数函数（二）教学任务：（ 1）进一步理解对数函数的图象和性质；（ 2）熟练应用对数函数的图象和性质，解决一些综合问题；（ 3）通过例题和练习的讲解与演练，培养学生分析问题和解决问题的能力教学重点：对数函数的图象和性质教学难点：对对数函数的性质的综合运用教学过程：十三、回顾与总结1 函 数xyxyxylg,log,log52的图象如图所示，回答下列问题（1）说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么？（2）函数xyalog与xya1log,0(a且)0a有什么关系？图象之间又有什么特殊的关系？123学习必备

15、欢迎下载（ 3）以xyxyxylg,log,log52的图象为基础，在同一坐标系中画出xyxyxy1015121log,log,log的图象（4）已知函数xyxyxyxyaaaa4321log,log,log,log的图象， 则底数之间的关系：教logyxa1 logyxa2 logyxa3 logyxa4 学习必备欢迎下载2 完成下表（对数函数xyalog,0(a且)0a的图象和性质）10a1a图象定义域值域性质3 根据对数函数的图象和性质填空 1已 知 函 数xy2log， 则 当0 x时 ，y； 当1x时 ，y；当10 x时，y；当4x时，y 1已知函数xy31log，则当10 x时，y

16、；当1x时，y；当5x时，y；当20 x时，y；当2y时，x十四、应用举例例1比较大小：1alog，ealog,0(a且)0a； 221log2，)1(log22aa)(Ra解： （略）例 2已知) 13(logaa恒为正数，求a的取值范围解： （略） 总结点评 ： （由学生独立思考，师生共同归纳概括）例 3求函数)78lg()(2xxxf的定义域及值域解： （略）学习必备欢迎下载注意：函数值域的求法例 4 （1）函数xyalog在2 ， 4 上的最大值比最小值大1，求a的值；（2）求函数)106(log23xxy的最小值解： （略）注意：利用函数单调性求函数最值的方法，复合函数最值的求法例

17、5 （20XX年上海高考题）已知函数xxxxf11log1)(2，求函数)(xf的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性解： （略）注意：判断函数奇偶性和单调性的方法，规范判断函数奇偶性和单调性的步骤例 6求函数)54(log)(22. 0 xxyxf的单调区间解： （略）注意：复合函数单调性的求法及规律：“同增异减”练习：求函数)23(log221xxy的单调区间十五、作业布置考试卷一套对数函数教学目标：知识与技能理解指数函数与对数函数的依赖关系，了解反函数的概念，加深对函数的模型化思想的理解过程与方法通过作图，体会两种函数的单调性的异同情感、态度、价值观对体会指数函数与对数函数内在的对称统一教学

18、重点：重点难两种函数的内在联系，反函数的概念难点反函数的概念教学程序与环节设计：创设情境组织探究尝试练习由函数的观点分析例题，引出反函数的概念两种函数的内在联系，图象关系简单的反函数问题，单调性问题学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载教学过程与操作设计：环节呈现教学材料师生互动设计创设情境材料一：当生物死亡后， 它机体内原有的碳14 会按确定的规律衰减， 大约每经过 5730 年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”根据些规律，人们获得了生物体碳 14含量 P与生物死亡年数t 之间的关系 回答下列问题：（ 1）求生物死亡t 年后它机体内的碳14 的含量 P，并用函数的观点来解释P和 t 之间的关

19、系，指出是我们所学过的何种函数？（2）已知一生物体内碳14 的残留量为P，试求该生物死亡的年数t ，并用函数的观点来解释P和 t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（3）这两个函数有什么特殊的关系？（4）用映射的观点来解释P 和 t 之间的对应关系是何种对应关系？（5）由此你能获得怎样的启示？生：独立思考完成，讨论展示并分析自己的结果师：引导学生分析归纳，总结概括得出结论：（1） P和 t 之间的对应关系是一一对应；（2） P关于 t 是指数函数xP)21(5730；t 关于 P是对数函数xt573021log，它们的底数相同， 所描述的都是碳 14 的衰变过程中，碳 14 含量 P 与死

20、亡年数 t 之间的对应关系；（3）本问题中的同底数的指数函数和对数函数，是描述同一种关系（碳 14 含量 P 与死亡年数 t 之间的对应关系）的不同数学模型材料二：由对数函数的定义可知，对数函数xy2log是把指数函数xy2中的自变量与因变量对调位置而得出的，在列表画xy2log的图象时，也是把指数函数xy2的对应值表里的x和y的数值对换，而得到对数函数xy2log的对应值表， 如下：表一xy2学习必备欢迎下载环节呈现教学材料师生互动设计x-3 -2 -1 0 1 2 3 y8141211 2 4 8 表二xy2log在同一坐标系中，用描点法画出图象x-3 -2 -1 0 1 2 3 y814

21、1211 2 4 8 生：仿照材料一分析：xy2与xy2log的关系师：引导学生分析，讲评得出结论， 进而引出反函数的概念组织探究材料一：反函数的概念：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数由反函数的概念可知，同底数的指数函数和对数函数互为反函数材料二：以xy2与xy2log为例研究互为反函数的两个函数的图象和性质有什么特殊的联系？师：说明：（1）互为反函数的两个函数是定义域、 值域相互交换， 对应法则互逆的两个函数；（2）由反函数的概念可知“单调函数一定有反函数”；（3）互为反函数的两个函数

22、是描述同一变化过程中两个变量关系的不同数学模型师：引导学生探索研究材料二生：分组讨论材料二，选出代表阐述各自的结论，师生共同评析归学习必备欢迎下载纳尝试练习求下列函数的反函数：（1）xy3；（2）xy6log生：独立完成巩固反思从宏观性、关联性角度试着给指数函数、对数函数的定义、图象、性质作一小结作业反馈1 求下列函数的反函数：x1 2 3 4 y3 5 7 9 环节呈现教学材料师生互动设计x1 2 3 4 y3 5 7 9 2 （1）试着举几个满足 “对定义域内任意实数a、b，都有 f (ab) = f ( a ) + f ( b ) ”的函数实例，你能说出这些函数具有哪些共同性质吗？（2）

23、 试着举几个满足 “对定义域内任意实数a、b，都有 f (a + b) = f ( a )f ( b ) ”的函数实例，你能说出这些函数具有哪些共同性质吗？答案：1互换x、y的数值2略课外活动我们知道，指数函数0(aayx， 且) 1a与对数函数0(logaxya，且)1a互为反函数，那么，它们的图象有什么关系呢？运用所学的数学知识，探索下面几个问题，亲自发现其中的奥秘吧！问题1 在同一平面直角坐标系中，画出指数函数xy2及其反函数xy2log的图象，你能发现这两个函数的图象有什么特殊的对称性吗？问题2 取xy2图象上的几个点，说出它们关于直线xy的对称点的坐标，并判断它们是否在xy2log的图象上，为什么？问题 3 如果 P0（ x0，y0）在函数xy2的图象上 ， 那 么P0关 于 直 线xy的 对 称 点 在 函 数xy2log的图象上吗，为什么？问题 4 由上述探究过程可以得到什么结论？问题 5 上述结论对于指数函数xay结论：互 为反 函 数 的两个函数的图象关于直线xy对称学习必备欢迎下载0(a，且)1a及其反函数0(logaxya，且)1a也成立吗？为什么？