全国初中数学联赛试题30套.pdf

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1、全国初中数学联赛试题第一试一、选择题本题共有 8 个小题，每小题都给出了（A） 、 （B） （C） 、 （D）四个答案结论，其中只有一个是正确的。请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。1设等式yaaxayaaxa)()(在实数范围内成立，其中a，x，y 是两两不同的实数，则22223yxyxyxyx的值是（） 。（A）3 （B）31（C）2 （D）352如图， ABEFCD，已知 AB=20，CD=80，BC=100，那么 EF 的值是（） 。（A）10 （B）12 （C）16 （D）18。3方程012xx的解是（） 。（A）251（B）251（C）251或251（D）2514已知：)19

2、911991(2111nnx（n 是自然数）。那么nxx)1(2的值是（） 。（A）11991（B）11991（C）1991)1(n（D）11991)1(n5若Mn1210099321， 其中 M 为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则M（） 。（A）能被 2 整除，但不能被3 整除（B）能被 3 整除，但不能被2整除（C）能被 4 整除，但不能被3整除（D）不能被 3 整除，也不能被2 整除6若 a，c，d 是整数， b 是正整数，且满足cba，dcb，adc，那么dcba的最大值是（） 。（A）1（B）5（C） 0（D）1 7如图，正方形 OPQR 内接于 AB（C）已知AOR、B

3、OP 和CRQ 的面积分别是11S，32S和13S，那么，正方形 OPQR的边长是（） 。（A）2（B）3（C）2 （D）3 8在锐角 ABC 中，1AC，cAB，60A，ABC 的外接圆半径 R1，则（） 。（A）21 c 2 （B）0 2 （D）c = 2 二、填空题1E 是平行四边形 ABCD 中 BC 边的中点， AE 交对角线 BD 于 G，如果 BEG 的面积是 1，则平行四边形ABCD 的面积是。2已知关于 x 的一元二次方程02cbxax没有实数解。 甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2 和 4 乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为1 和 4，那么，acb32。3设 m

4、，n，p，q 为非负数，且对一切x 0，qpnmxxxx) 1(1) 1(恒成立，则qpnm22)2(。11S3S=1 32S4四边形 ABCD 中， ABC135，BCD120，AB6 ，BC35，CD = 6，则 AD = 。第二试一、x + y，x y， xy，yx四个数中的三个有相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（ x，y） 。二、 ABC 中，ABACBC，D 点在 BC 上，E 点在 BA 的延长线上，且BDBEAC，BDE 的外接圆与 ABC 的外接圆交于 F 点（如图） 。求证：BFAFCF。三、将正方形 ABCD 分割为2n个相等的小方格（ n 是自然数），把相对的顶点

5、A，C 染成红色，把 B，D 染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色。证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数。1201351992 年年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题本题共有 8 个题，每小题都给出了（ A） ， （B） ， （C） ， （D）四个结论，其中只有一个是正确的。请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。1满足1abba的非负整数),(ba的个数是（） 。（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 2若0 x是一元二次方程)0(02acbxax的根，则判别式acb42与平方式20)2(baxM的关系是（） 。（A）M（B）=M（C）M（D）不确定3若01132xx

6、，则44xx的个位数字是（） 。（A）1 （B）3 （C）5 （D）7 4在半径为 1 的圆中有一内接多边形， 若它的边长皆大于1 且小于2， 则这个多边形的边数必为（） 。（A）7 （B）6 （C）5 （D）4 5如图，正比例函数)0(aaxyxy和的图像与反比例函数)0(kxky的图像分别相交于A 点和 C 点。若AOBRt和COD的面积分别为 S1和 S2，则S1与 S2的关系是（） 。（A）21SS（B）21SS（C）21SS（D）不确定6在一个由88个方格组成的边长为8 的正方形棋盘内放一个半径为4 的圆，若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S， 把圆周经过的所有小方格

7、的圆内部分的面积之和记为2S，则21SS的整数部分是（） 。（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 7如图，在等腰梯形ABCD 中，AB/CD，AB=2CD，60A，又 E 是底边 AB 上一点，且 FE=FB=AC，FA=A（B）则 AE:EB 等于（） 。（A）1:2 （B）1:3 （C）2:5 （D）3:10 8设9321,xxxx均为正整数，且921xxx，220921xxx，则当54321xxxxx的值最大时，19xx的最小值是（） 。（A）8 （B）9 （C）10 （D）11 二、填空题1若一等腰三角形的底边上的高等于18cm，腰上的中线等15cm，则这个等腰三角形的面积等于 _

8、。2若0 x，则xxxx44211的最大值是 _。3在ABC中，BAC和,90的平分线相交于P 点，又ABPE于 E点，若32ACBC，则EBAE。4若ba,都是正实数，且0111baba，则33)()(baab。第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062axx的两根，当这样的三角形只有一个时，求a的取值范围。二、如图，在ABC中，DACAB,是底边BC上一点， E 是线段 AD 上一点，且ACEDBED2。求证：CDBD2。三、某个信封上的两个邮政编码M 和 N 均由 0，1，2，3，5，6 这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A：320651 B：105263 C：61230

9、5 D：316250 已知编码 A、B、C、D 各恰有两个数字的位置与M 和 N 相同。D 恰有三个数字的位置与 M 和 N 相同。试求： M 和 N。1993 年年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题本题共有 8 个小题，每小题都给出了（ A） ， （B） ， （C） ， （D）四个结论，其中只有一个是正确的。请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。1多项式1612xx除以12x的余式是（） 。（A）1 （B）-1 （C）1x（D）1x2对于命题：内角相等的圆内接五边形是正五边形；内角相等的圆内接四边形是正四边形。以下四个结论中正确的是（） 。（A），都对（B）对，错（C）错，对（D），都

10、错3设 x是实数，11xxy。下列四个结论： y 没有最小值；只有一个 x 使 y取到最小值有有限多个 x （不止一个）使 y 取到最大值；有无穷多个 x 使 y 取到最小值。其中正确的是（） 。（A）（B）（C）（D）4实数54321,xxxxx满足方程组52154154354324321321axxxaxxxaxxxaxxxaxxx其中54321,aaaaa是实常数，且54321aaaaa，则54321,xxxxx的大小顺序是（） 。（A）54321xxxxx（B）53124xxxxx（C）52413xxxxx（D）24135xxxxx5不等式73) 1(12xxx的整数解的个解（） 。（

11、A）等于 4 （B）小于 4 （C）大于 5 （D）等于 5 6在ABC中，BCAOOA,是垂心是钝角，则)cos (OCBOBC的值是（） 。（A）22（B）22（C）23（D）217锐角三角 ABC 的三边是 a， b，c， 它的外心到三边的距离分别为m， n，p，那么 m:n:p 等于（） 。（A）cba1:1:1（B）cba:（C）CBAcos:cos:cos（D）CBAsin:sin:sin813333)919294(3可以化简成（） 。（A）) 12(333（B）) 12(333（C）123（D）123二、填空题1当 x 变化时，分式15632212xxxx的最小值是 _ 。2放有

12、小球的 1993 个盒子从左到右排成一行，如果最左面的盒里有7 个小球， 且每四个相邻的盒里共有30 个小球， 那么最右面的盒里有 _个小球。3若方程kxx)4)(1(22有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则 k =_ 。4锐角三角形 ABC 中，30A。以 BC 边为直径作圆，与 AB， AC 分别交于 D， E，连接 DE， 把三角形 ABC 分成三角形 ADE 与四边形 BDEC，设它们的面积分别为 S1， S2，则 S1:S2=_。第二试一、设 H 是等腰三角形 ABC 垂心，在底边 BC 保持不变的情况下让顶点A至底边 BC 的距离变小，这时乘积HBCABCSS的值

13、变小，变大，还是不变?证明你的结论。二、ABC中，BC=5， AC=12， AB=13， 在边 AB ，AC 上分别取点 D，E，使线段 DE 将ABC分成面积相等的两部分。试求这样的线段DE 的最小长度。三、已知方程0022bcxxcbxx及分别各有两个整数根21, xx及21,xx，且,021xx021xx。（1）求证:; 0,0,0, 02121xxxx（2）求证:1bc1b（3）求cb,所有可能的值。1994 年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题（本题满分48 分，每小题 6 分）本题共有 8个小题都给出了 A，B、C，D四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写

14、在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得 0分。1若0 a1，则aaaa11)11(2122可化简为（） 。（A）aa11（B）11aa（C）21a（D）12a2设a，b，c是不全相等的任意实数，若x=a2- bc ，y=b2- ca，z=c2- ab，则x，y，z（） 。（A）都不小于 0 （B）都不大于 0 （C）至少有一个小于 0 （D）至少有一个大于 0 3如图 1所示，半圆 O的直径在梯形 ABCD的底边 AB上，且与其余三边 BC，CD，DA相切，若 BC=2，DA=3，则AB的长（）（A）等于 4 （B）等于 5

15、（C）等于6 （D）不能确定。4当219941x时，多项式20013)199419974(xx的值为（） 。（A）1 （B）-1 （C）22001（D）-22001 5若平行直线 EF，MN与相交直线 AB，CD相交成如图 2所示的图形，则共得同旁内角（）（A）4对（B）8对（C）12对（D）16对。6若方程xpx是两个不相等的实根，则实数p的取值范围是（） 。（A）p0 （B）p41（C）0p41（D）p417设锐角三角形 ABC的三条高 AD， BE， CF相交于 H。 若BC=a， AC=b， AB=c，则AHAD+BHBE+CHCF的值是（） 。（A）)(21cabcab（B）)(21

16、222cba（C）)(32cabcab（D）)(32222cba8若21994yxba（其中 a，b是自然数），且有zyx111，则2a+b的一切可能的取值是（） 。（A）1001 （B）1001，3989 （C）1001，1996 （D）1001，1996，3989 二、填空题（本题满分32 分，每小题 8 分）各小题只要求在所给横线上直接填写结果。1若在关于 x的恒等式bxcaxxxNMx222中，12xxNMx为最简分式，且有cbaba，则N= 。2当61x时，函数12xxxy的最大值是。3在 ABC中，设 AD是高， BE是角平分线，若 BC=6，CA=7，AB=8，则DE= 。4把两

17、个半径为 5和一个半径为 8的圆形纸片放在桌面上， 使它们两两外切，若要有用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于。第二试考生注意：本试共三道大题，满分60分。一、（本题满分 20分）如图所示， 在ABC中，AB=AC任意延长 CA到P，再延长 AB到Q，使AP=BQ。求证： ABC的外心 O与A，P，Q四点共圆。二、（本题满分 20分）周长为 6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明若存在，请证明共有几个？三、（本题满分 20分）某次数学竞赛共有 15个题。下表是对于做对 n（n=0，1，2， 15）个题的人数的一个统计。n0123121314

18、15做对n个题的人数78102115631如果又知其中做对 4个题和 4个题以上的学生每人平均做对6个题，做对 10个题和10个题以下的学生每人平均做对4个题。问这个表至少统计了多少人？1995 年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题1已知 a355，b444，c533，则有（） 。（A）abc（B）cba（C）cab（D）acb 2方程组2363yzxzyzxy的正整数解的组数是（） 。（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 3如果方程（x1） （x22xm）0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数 m的取值范围是（） 。（A）0m1 （B）m43（C）43m1 （D）43m1 4如果

19、边长顺次为 25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为（） 。（A）62（B）63（C）64（D）655设 AB是 O 的 一 条 弦 ， CD 是 O的 直 径 ， 且 与 弦 AB相 交 ， 记DABCABSSM，N2SOAB，则（） 。（A）MN（B）MN（C）MN（D）M、N的大小关系不确定6设实数 a、b满足不等式baabaa)(，则（） 。（A）a0且b0 （B）a0且b0 （C）a0且b0 （D）a0且b0 二、填空题1在12，22，32，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有个。2已知 a是方程0412xx的根，则234531aaaaa的值等于。3设x为正实

20、数，则函数xxxy12的最小值是。4以线段 AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC2ACBC，则 CAB_ 。第二试一、已知 ACECDE90，点B在CE上，CACBCD，经A、C、D三点的圆交 AB于F（如图）求证 F为CDE的内心。二、在坐标平面上， 纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点，试在二次函数5910102xxy的图像上找出满足xy的所有整点（ x，y） ，并证明理由。三、试证：每个大于 6的自然数 n，都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和。1996 年全国初中数学联赛试题1997 年全国初中数学联赛试题1998 年全国初中数学联赛试题1999 年全国初中数学联赛试题2000 年全国初中数学联赛试题第一试（ 4 月 2 日上午 8:30-9 ：30）第二试（ 4 月 2 日上午 10:30-11 ：30）一、（本题满分 20 分）全国初中数学联赛试题全国初中数学联合竞赛试题全国初中数学联合竞赛试题全国初中数学联合竞赛试题全国初中数学联合竞赛初赛试题全国初中数学联合竞赛决赛试题全国初中数学联合竞赛决赛试题全国初中数学联合竞赛决赛全国初中数学联合竞赛决赛