八年级数学上册第二章实数教案北师大版.pdf

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1、名师精编优秀教案第二章实数2.1.1 数怎么又不够用了(一 ) 知识与技能目标：1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性. 2.能判断给出的数是否为有理数；并能说出现由. 过程与方法目标：1.让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手能力和合作精神. 2.通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练他们的思维判断能力. 情感态度与价值观目标：1.激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情. 2.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神 . 3.了解有关无理数发现的知识，鼓励学

2、生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的献身精神. 教学重点1.让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数 . 2.会判断一个数是否为有理数. 教学难点1.把两个边长为1 的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程. 2.判断一个数是否为有理数. 教学方法师生共同讨论法. 教师引导，主要由学生分组讨论得出结果. 教具准备有两个边长为1 的正方形，剪刀. 投影片两张：第一张：做一做(记作 2.1.1 A)；第二张：补充练习(记作 2.1.1 B). 教学过程.创设问题情境,引入新课师同学们 ,我们上了好多年的学,学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢? 生在小学我们学过自然数、

3、小数、分数. 生在初一我们还学过负数. 名师精编优秀教案师对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题. .讲授新课1.问题的提出师请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1 的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？生好 .(学生非常高兴地投入活动中). 师 经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请同学们把自己拼的图展示一下. 同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师. 师现在我们一齐把大家的做

4、法总结一下：下面再请大家共同思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a，则 a应满足什么条件呢？生甲 a 是正方形的边长，所以a 肯定是正数 . 生乙 因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积，所以根据正方形面积公式可知a2=2. 生丙由a2=2 可判断 a 应是 1 点几 . 师 大家说得都有道理， 前面我们已经总结了有理数包括整数和分数，那么 a 是整数吗？ a是分数吗？请大家分组讨论后回答. 生甲我们组的结论是：因为12=1，22=4，32=9，整数的平方越来越大，所以a 应在 1 和 2 之间，故a 不可能是整数 . 生乙因为913131,943232,412121，两个相同因数的乘积都

5、为分数，所以a 不可能是分数. 名师精编优秀教案师经过大家的讨论可知，在等式a2=2 中， a 既不是整数，也不是分数， 所以 a 不是有理数， 但在现实生活中确实存在像a 这样的数， 由此看来，数又不够用了. 2.做一做投影片 2.1.1 A (1)在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？(2)设该正方形的边长为b，则 b 应满足什么条件？(3)b 是有理数吗？师请大家先回忆一下勾股定理的内容. 生 在直角三角形中， 若两条直角边长为a， b， 斜边为 c， 则有 a2+b2=c2. 师在这个题中，两条直角边分别为1 和 2，斜边为b，根据勾股定理得 b2=12+22，即 b2

6、=5，则 b 是有理数吗？请举手回答. 生甲因为22=4，32=9，459，所以 b 不可能是整数 . 生乙没有两个相同的分数相乘得5，故 b 不可能是分数. 生丙因为没有一个整数或分数的平方为5，所以 5 不是有理数 . 师大家分析得很准确，像上面讨论的数a，b 都不是有理数，而是另一类数无理数.关于无理数的发现是发现者付出了昂贵的代价的.早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来， 这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1 的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这个发现动摇了毕达哥

7、拉斯学派的信条，据说为此希伯索斯被投进了大海，他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是我们前面谈过的 a2=2 中的 a 不是有理数 . 我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的，我们一方面应积极地学习这些经验， 另一方面我们也不能死搬教条，要大胆质疑， 如不这样科学就会永远停留在某处而不前进，要向古希腊的希伯索斯学习，学习他为捍卫真理而勇于献身的精神. .课堂练习(一)课本 P25随堂练习如图，正三角形ABC 的边长为2，高为 h，h 可能是整数吗？可能是分名师精编优秀教案数吗？解： 由正三角形的性质可知BD=1， 在 RtABD 中，

8、由勾股定理得h2=3.h不可能是整数，也不可能是分数. (二)补充练习投影片 ( 2.1.1 B) 为了加固一个高2 米、宽 1 米的大门， 需要在对角线位置加固一条木板，设木板长为a 米，则由勾股定理得a2=12+22，即 a2=5，a 的值大约是多少？这个值可能是分数吗？解： a 的值大约是2.2，这个值不可能是分数. .课时小结1.通过拼图活动，让学生感受有理数又不够用了，经历无理数产生的实际背景和引入的必要性. 2.能判断一个数是否为有理数. .课后作业(一)课本 P49习题 2.1 解：设长、 宽分别为3、2 的长方形的对角线长为a，得 a2=32+22，a2=13 a 不可能是整数

9、，也不可能是分数. (二)预习内容： P49P51预习提纲：(1)借助计算器，采用估算的方法探索a2=2 中的 a 的大小 . (2)无理数的概念. (3)会判断一个数是有理数或无理数. .活动与探究名师精编优秀教案下图是由 16 个边长为1 的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点， 可得到一些线段， 试分别找出两条长度是有理数的线段和三条长度不是有理数的线段. 解：如图， AB=2，BE=1，AB、BE 是有理数 . AD2=AB2+BD2=22+32=13， AC2 112. AE2=AB2+BE2=22+12=5. AC、AD、AE 既不是整数，也不是分数，所以不是有理数.

10、板书设计2.1.1 数怎么又不够用了(一) 一、问题的提出(讨论 a2=2 中的 a 既不是整数，也不是分数) 二、做一做 (由勾股定理得b2=5，且 b 既不是整数，也不是分数) 三、练习四、小结五、作业2.1.2 数怎么又不够用了(二 ) 知识与技能目标：1.借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想. 2.会判断一个数是有理数还是无理数. 过程与方法目标：1.借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能名师精编优秀教案力，并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力. 2.探索无理数的定义，以及无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还

11、是有理数，训练大家的思维判断能力. 情感态度与价值观目标：1.让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，发展学生的数感和估算能力. 2.充分调动学生的积极性，培养他们的合作精神，提高他们的辨识能力. 教学重点1.无理数概念的探索过程. 2.用计算器进行无理数的估算. 3.了解无理数与有理数的区别，并能正确地进行判断. 教学难点1.无理数概念的建立及估算. 2.用所学定义正确判断所给数的属性. 教学方法老师指导学生探索法教具准备计算器 . 投影片三张：第一张：补充练习(记作 2.1.2 A); 第二张：补充练习(记作 2.1.2 B)；第三张：补充练习(记作 2.1.2 C). 教学过程.创设问题情

12、境，引入新课师 同学们， 我们在上节课了解到有理数又不够用了，并且我们还发现了一些数， 如 a2=2,b2=5 中的 a，b 既不是整数， 也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它的真面目. .讲授新课1.导入师请看图名师精编优秀教案大家判断一下3 个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由. 生因为3 个正方形的面积分别为1，2，4，而面积又等于边长的平方，所以面积大的正方形边长就大. 师 大家能不能判断一下面积为2 的正方形的边长a 的大致范围呢？生因为a2大于 1 且 a2小于 4，所以 a大致为 1 点几 . 师很好 .a 肯定比 1 大而比 2 小，可以表示为1

13、a2.那么 a 究竟是1 点几呢？请大家用计算器进行探索，首先确定十分位，十分位究竟是几呢？如 1.12=1.21，1.22=1.44，1.32=1.69，1.42=1.96，1.52=2.25，而 a2=2，故a 应比 1.4 大且比 1.5 小，可以写成1.4a1.5，所以 a 是 1 点 4 几，即十分位上是4，请大家用同样的方法确定百分位、千分位上的数字. 生因为1.412=1.9881，1.422=2.0164，所以 a 应比 1.41 大且比 1.42小，所以百分位上数字为1. 生 因 为1.4112=1.990921 ， 1.4122=1.993744 ， 1.4132=1.99

14、6569 ，1.4142=1.999396，1.4152=2.002225，所以 a 应比 1.414 大而比 1.415 小，即千分位上的数字为4. 生 因为 1.41422=1.99996164， 1.41432=2.00024449， 所以 a 应比 1.4142大且比 1.4143 小，即万分位上的数字为2. 师 大家非常聪明， 请一位同学把自己的探索过程整理一下，用表格的形式反映出来. 生我的探索过程如下. 边长 a 面积 S1a2 1S4 1.4a1.5 1.96S2.25 1.41a1.42 1.9881S2.0164 1.414a1.415 1.999396S2.002225

15、1.4142a1.4143 1.99996164S2.00024449 师还可以继续下去吗？生可以 . 师请大家继续探索，并判断a 是有限小数吗？生 a=1.41421356，还可以再继续进行，且a 是一个无限不循环小数. 师 请大家用上面的方法估计面积为5 的正方形的边长b 的值 .边长 b会不会算到某一位时，它的平方恰好等于5？请大家分组合作后回答.(约 4分钟 ) 名师精编优秀教案生 b=2.236067978，还可以再继续进行，b 也是一个无限不循环小数. 生边长b不会算到某一位时，它的平方恰好等于5，但我不知道为什么 . 师好 .这位同学很坦诚，不会就要大胆地提出来，而不要冒充会，这

16、样才能把知识学扎实，学透，大家应该向这位同学学习.这个问题我来回答.如果 b 算到某一位时， 它的平方恰好等于5，即 b是一个有限小数，那么它的平方一定是一个有限小数，而不可能是5，所以 b 不可能是有限小数. 2.无理数的定义请大家把下列各数表示成小数. 3，112,458,95,54，并看它们是有限小数还是无限小数，是循环小数还是不循环小数.大家可以每个小组计算一个数，这样可以节省时间. 生 3=3.0，54=0.8，95=5.0，71.0458，818. 1112生 3，54是有限小数，112,458,95是无限循环小数. 师上面这些数都是有理数，所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数

17、表示 .反过来，任何有限小数或无限循环小数都是有理数. 像上面研究过的a2=2,b2=5 中的 a，b 是无限不循环小数. 无限不循环小数叫无理数(irrational number). 除上面的 a，b 外，圆周率 =3.14159265也是一个无限不循环小数，0.5858858885(相邻两个5 之间 8 的个数逐次加1)也是一个无限不循环小数，它们都是无理数. 3.有理数与无理数的主要区别(1)无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数. (2)任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能. 4.例题讲解下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3.14，34，75.0，

18、0.1010010001(相邻两个1 之间 0 的个数逐次加1). 解：有理数有3.14，34，75.0. 无理数有 0.1010010001. .课堂练习名师精编优秀教案(一)随堂练习下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？0.4583，7.3， ，71，18. 解：有理数有0.4583，7.3，71，18. 无理数有 . (二)补充练习投影片 ( 2.1.2 A) 判断题(1)有理数与无理数的差都是有理数. (2)无限小数都是无理数. (3)无理数都是无限小数. (4)两个无理数的和不一定是无理数. 解： (1)错.例1 是无理数 . (2)错.例5.1是有理数 . (3)对.因为无理数就

19、是无限不循环小数，所以是无限小数. (4)对.因为两个符号相反的无理数之和是有理数.例 =0. 投影片 ( 2.1.2 B) 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？0.351，69.4,32， 3.14159， 5.2323332， 123456789101112 (由相继的正整数组成). 解：有理数有0.351，69.4 ,32，3.14159，无理数有 5.2323332， 123456789101112. 投影片 ( 2.1.2 C) 名师精编优秀教案在下列每一个圈里，至少填入三个适当的数. 生有理数集合填0，115， 3. 无理数集合填，23， 0.323323332. .课时小结本

20、节课我们学习了以下内容. 1.用计算器进行无理数的估算. 2.无理数的定义 . 3.判断一个数是无理数或有理数. .课后作业1.P30习题 2.2. 2.预习内容：平方根. .探究与活动设面积为 5的圆的半径为a. (1)a 是有理数吗？说说你的理由. (2)估计 a 的值 (精确到十分位，并利用计算器验证你的估计). (3)如果精确到百分位呢？解： a2=5a2=5 (1)a 不是有理数， 因为 a 既不是整数， 也不是分数，而是无限不循环小数. (2)估计 a2.2. (3)a 2.24. 板书设计名师精编优秀教案2.1.2 数怎么又不够用了一、导入二、新课1.无理数的定义2.举例三、练习

21、四、补充练习五、课时小节六、课后作业2.2.1 平方根 (一) 知识与技能目标：1.了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根. 2.了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根. 3.了解算术平方根的性质. 过程与方法目标：1.加强概念形成过程的教学，提高学生的思维水平. 2.鼓励学生进行探索和交流，培养他们的创新意识和合作精神. 情感态度与价值观目标：1.让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲. 2.训练学生动脑、动口、动手能力. 教学重点了解算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根. 教学难点了

22、解算术平方根的概念、性质. 教学方法导学法 . 名师精编优秀教案教具准备投影片两张：第一张：例题(记作 2.2.1 A)；第二张：补充练习(记作 2.2.1 B). 教学过程.新课导入上节课我们学习了无理数、了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数.比如在 a2=2 中，2 是有理数，而 a 是无理数 .在前面我们学过若x2=a，则 a 叫 x 的平方，反过来x 叫 a 的什么呢？本节课我们就来一起研究这个问题. .讲授新课师在讲新课之前，我们先回忆一下勾股定理，请同学们回答. 生 勾股定理

23、就是在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方. 师下面请大家根据勾股定量，结合图形完成填空. 投影片： (2.2.1A) 根据下图填空x2=_ y2=_ z2=_ w2=_ 师请大家思考后回答. 生 x2=2,y2=3,z2=4,w2=5. 师请大家再分析一下，x，y，z，w 中哪些是有理数？哪些是无理名师精编优秀教案数？生 x，y，w 是无理数， z 是有理数 . 师为什么呢？生因为没有任何整数或分数的平方等于2，3，5，所以 x，y，z 不是有理数，而22=4，所以 z=2. 师这位同学分析得非常正确，那么大家能不能把上图中的x，y，z，w 表示出来呢？请大家仔细看书后回答. 生 x

24、=2,y=3,z=4,w=5. 师若一个正数x 的平方等于a，即 x2=a，则这个正数x 就叫做 a 的算术平方根 .记为“a”读作“根号a”.这就是算术平方根的定义.特别地规定 0 的算术平方根是0，即0=0. 师下面我们根据算术平方根的定义求一些数的算术平方根. 例 1求下列各数的算术平方根：(1)900；(2)1；(3)6449；(4)14. 解： (1)因为 302=900，所以 900 的算术平方根是30，即900=30；(2)因为 12=1，所以 1 的算术平方根是1，即1=1；(3)因为,6449)87(2所以6449的算术平方根是87，即876449；(4)14 的算术平方根是

25、14. 通过上面的例题，大家思考一下， 我们在求算术平方根时是借助于哪一种运算来求的？生是通过平方来求的. 师对 .由此我们可以看出一个正数的平方和求算术平方根是互为逆运算 .而且我们在例题中的步骤采取语言叙述和符号表示互相补充的做法，目的是让大家明白算术平方根的概念，以及从计算中进一步体会一个正数的平方和求算术平方根是互为逆运算.在以后的步骤中可以简化. 例 2自由下落的物体的高度h(米)与下落时间t(秒)的关系为h=4.9t2.有一铁球从19.6 米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？解：将 h=19.6 代入公式h=4.9t2得名师精编优秀教案t2=4,所以 t=4=2(秒) 即

26、铁球到达地面需要2 秒. 师下面大家再观察一下刚才咱们求出的算术平方根有什么特点. 生甲算术平方根是整数或分数，即为有理数. 生乙不对，那14是不是有理数？若是则是，分数还是整数？生丙因为没有任何一个整数或分数的平方等于14，所以14不是有理数，而是无理数. 师大家的分析都有道理，我提示一下从符号方面考虑. 生甲噢，算术平方根是正数，如14,5,3,2，2. 生乙不对，还有零呢.正数的算术平方根是正数，零的算术平方根为零 . 师非常正确，那负数的算术平方根是否为负数呢？若( 2)2=4.则4=2 对吗？或者4=2 对吗？生甲 不对 .因为算术平方根的定义是一个正数的x 的平方等于a，这个正数

27、x 就叫做 a 的算术平方根，所以算术平方根不可能是负数. 师由此看来，定义中的a 和 x 都为正数，即算术平方根是非负数，负数没有算术平方根.用式子表示为a(a0)为非负数， 这是算术平方根的性质 . .课堂练习(一)P32随堂练习1、2 题. (二)补充练习 . 投影片： (2.2.1 B) 名师精编优秀教案一、填空题1.若一个数的算术平方根是5，则这个数是 _. 2.94的算术平方根是_. 3.正数 _的平方为971 ,25144的算术平方根为_. 4.( 1.44)2的算术平方根为_. 5.81的算术平方根为_，04.0=_. 二、求下列各数的算术平方根，并用符号表示出来：(1)(7.

28、4)2；(2)(3.9)2；(3)2.25；(4)241. 答案：一、 1.5 2.323.512344.1.44 5.3 0.2. 二、(1); 5.125.2)3( ; 9.39 .3)9 .3()2( ;2.74.7222(4)23412. .课时小结本节课学习了算术平方根的概念，理解了求一个正数的平方和求算术平方根是互为逆运算，求一个非零数的算术平方根，以及算术平方根的性质，即算术平方根是非负数. .课后作业P33习题 1、3. .活动与探究1.一个正方形的面积变为原来的n倍时， 它的边长变为原来的多少倍？2.一个正方形的面积为原来的100倍时， 它的边长变为原来的多少倍？解：设原来的

29、正方形边长为a，面积为S1，后来的正方形面积为S2. 1.S1=a2，S2=na2(na)2名师精编优秀教案后来的边长(na)为原来边长的n倍. 2.S1=a2，S2=100a2=(10a)2后来的边长10a 为原来边长的10 倍 . 板书设计一、算术平方根的定义算术平方根的性质二、举例三、练习四、作业2.2.2 平方根 (二) 知识与技能目标：1.了解平方根的概念、开平方的概念. 2.明确算术平方根与平方根的区别与联系. 3.进一步明确平方与开方是互为逆运算. 过程与方法目标：1.加强概念形成过程的教学，让学生不仅掌握概念，而且知晓它的理论数据 . 2.提倡学生进行自学，并能与同学互相交流与

30、合作，变学会知识为会学知识 . 3.培养学生的求同和求异思维，能从相似的事物中观察到PX 们的共同点和不同点 . 情感态度与价值观目标：通过学生在学习中互相帮助、相互合作， 并能对不同概念进行区分，培养大家的团队精神，以及认真仔细的学习态度，为学生将来走上社会而做准备，使他们能在工作中保持严谨的态度，正确处理好人际关系，成为各方面的佼佼者 . 教学重点1.了解平方根、开平方的概念. 2.了解开方与乘方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根. 3.了解平方根与算术平方根的区别与联系. 教学难点1.平方根与算术平方根的区别与联系. 名师精编优秀教案2.负数没有平方根，

31、即负数不能进行开平方运算的原因. 教学方法讨论比较法 . 即主要靠大家讨论得出结论，同时对相似的概念进行比较.这样不仅能正确区分这些概念，还能使学生学得更扎实. 教具准备投影片两张：第一张：平方根与算术平方根的联系与区别(记作 2.2.2 A)；第二张：补充练习(记作 2.2.2 B). 教学过程.创设问题情境，引入新课上节课我们学习了算术平方根的概念，性质.知道若一个正数x 的平方等于 a， 即 x2=a.则 x 叫 a 的算术平方根， 记作 x=a，而且a也是非负数，比如正数22=4，则 2 叫 4 的算术平方根，4 叫 2 的平方，但是(2)2=4，则2 叫 4 的什么根呢？下面我们就来

32、讨论这个问题. .讲授新课1.平方根、开平方的概念师请大家先思考两个问题. (1)9 的算术平方根是3，也就是说，3 的平方是9，还有其他的数，它的平方也是9 吗？(2)平方等于254的数有几个？平方等于0.64 的数呢？生 3 的平方也是9. 52的平方是254，52的平方也是254，即平方等于254的数有两个 . 生平方等于9 的数有两个，平方等于254的数有两个，由此可知平方等于 0.64 的数也有两个. 师根据上一节课的内容，我们知道了是9 的算术平方根，52是254的算术平方根，那么3，52叫 9、254的什么根呢？请大家认真看书后回答 . 生 3，52分别叫 9、254的平方根 .

33、 师那是不是说3 叫 9 的算术平方根，3 也叫 9 的算术平方根，即9 的算术平方根有一个是3，另一个是3 呢？名师精编优秀教案生不对 .根据平方根的定义，一般地，如果一个数x 的平方等于a，即 x2=a，那么这个x 就叫 a 的平方根 (square root)，也叫二次方根，3 和 3的平方都等于9，由定义可知3 和 3 都是 9 的平方根，即9 的平方根有两个 3 和 3， 9 的算术平方根只有一个是3. 师由平方根和算术平方根的定义，大家能否找出它们有什么相同和不同之处呢？请分小组讨论后选代表回答. 生平方根的定义中是有一个数x 的平方等于a， 则 x 叫 a 的平方根，x 没有肯定

34、是正数还是负数或零；而算术平方根的定义中是有一个正数x 的平方等于a，则 x 叫 a 的算术平方根，这里的x 只能是正数 .由此看来都有x2=a，这是它们的相同之处，而x 的要求不同，这是它们的不同之处. 师这位同学分析判断能力特棒，下面我再详细作一总结. 投影片： (2.2.2 A) 平方根与算术平方根的联系与区别联系：(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种. (2)存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有. (3)0 的平方根，算术平方根都是0. 区别：(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a 的平方根”； “非负数 a 的非负平方根叫

35、a 的算术平方根”. (2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个. (3)表示法不同： 正数 a 的平方根表示为a，正数 a 的算术平方根表示为a. (4)取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个 . 师什么叫开平方呢？生求一个数a 的平方根的运算， 叫开平方 (extraction of square root )，其中 a 叫被开方数 . 师我们共学了几种运算呢，这几种运算之间有怎样的联系呢？请大家讨论后回答. 生我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与减互为逆运算，乘与除互为逆运算，乘方与开方互为逆运算. 师大家非常聪明

36、且爱动脑子，回答问题正确率极高，很值得表扬，希望你们能继续发扬下去. 名师精编优秀教案2.平方根的性质师请大家思考以下问题. (1)一个正数有几个平方根. (2)0 有几个平方根? (3)负数呢？生第一个问题在前面已作过讨论，一个正数 9 有两个平方根3 和3；因为只有零的平方为零，所以0 有一个平方根是零. 因为任何数的平方都不是负数，所以负数没有平方根，例如3 没有平方根 . 师 太精彩了 .一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；0 有一个平方根是0，负数没有平方根. 3.讲解例题例求下列各数的平方根. (1)64；(2)12149；(3)0.0004； (4)(25)2；(5)11.

37、解： (1)因为 (8)2=64，所以 64 的平方根是8，即64=8；(2)因为 (117)2=12149，所以12149的平方根是117，即12149=117；(3) 因 为 ( 0.02)2=0.0004 ， 所 以0.0004 的 平 方 根 是 0.02， 即 00 04.0=0.02；(4)因为 (25)2=(25)2，所以 ( 25)2的平方根是25，即2)25(=25；(5)11 的平方根是11. 师请大家口述上题中各数的算术平方根. 生 64 的算术平方根为8；12149的算术平方根为117；0.0004 的算术平方根为0.02；(25)2的算术平方根为25；11 的算术平方

38、根为11. 4.想一想(1)(64)2等于多少？ (12149)2等于多少？名师精编优秀教案(2)(2.7)2等于多少？(3)对于正数a， (a)2等于多少？解： (1)( 64)2=64；(12149)2=12149；(2)( 2.7)2=7.2；(3)( a)2=a(a0) .课堂练习(一)随堂练习1.求下列各数的平方根1.44，0，8，49100，441， 196，104解： 因为 (1.2)2=1.44， 所以 1.44 的平方根是1.2， 即44.1= 1.2；因为 02=0，所以 0 的平方根是0. 即0=0；因为 (8)2=8.所以 8 的平方根是8；因为49100)710(2，

39、所以49100的平方根是710，即71049100；因为 (21)2=441，所以 441 的平方根是21，即441=21；因为 (14)2=196，所以 196 的平方根是14，即196=14；因为 104=4101，(2101)=4101，所以4101的平方根是2101，即410=4101=2101=1001. 2.填空名师精编优秀教案(1)25 的平方根是 _；(2)2)5(=_；(3)(5)2=_. 解： (1)5；(2)5；(3)5. (二)补充练习投影片： (2.2.2 B) 1.判断下列各数是否有平方根？并说明理由. (1)(3)2； (2)0；(3)0.01；(4)52；(5)

40、a2；(6)a22a+2 2.求下列各数的平方根. (1)121；(2)0.01；(3)297；(4)(13)2；(5)(4)3. 1.分析：一个数有没有平方根，就看它是不是负数，是负数就没有平方根；不是负数就有平方根. 解： (1)(3)2=9 0 (3)2有平方根(2)0 的平方根是它本身0 有平方根(3) 0.010 0.01 没有平方根(4) 52=250 52没有平方根(5)当 a=0 时， a2=0，有平方根当 a0 时， a20，没有平方根. (6)a22a+2=( a1)2+1，无论 a取何有理数，(a1)2+10 a22a+2 有平方根 . 说明： (1)负数没有平方根(2)

41、第(4)小题容易犯错误，52=25 0. 2.分析：根据平方与开平方互为逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根，其中292597，(13)2=169， (4)3=64，把带分数化为假分数，含有乘方运算先求出它的幂. 解： (1)(11)2=121 121 的平方根是11 即121=11；(2)( 0.1)2=0.01 名师精编优秀教案0.01 的平方根是0.1 即01.0=0.1；(3)292597，(35)2=925297的平方根是35即972=35；(4)( 13)2=169，( 13)2=169 (13)2的平方根是 13 即2)13(= 13；(5) (4)3=64，( 8)2=6

42、4 (4)3的平方根是 8 即3)4(=8. .课时小结本节课学了如下内容. 1.平方根的概念 . 2.平方根的性质 . 3.平方根与算术平方根的区别与联系. 4.求某些非负数的算术平方根和平方根. .课后作业习题 2.4. .活动与探究1.对于任意数a，2a一定等于a 吗？解：不一定当 a=2 时，4222a=2 当 a=21时，21412a当 a=0 时，02a=0 当 a=2 时，4)2(22a=2 名师精编优秀教案当 a21时，41)21(22a=21. 综上所述，当a0 时，2a=a当 a0 时，2a=a2.a中的被开方数a 在什么情况下有意义，(a)2等于什么？解：因为任意数的平方

43、都是非负数，也就是非负数才有平方根，所以被开方数 a 必须是正数或零，即非负数时有意义. 当 a=1 时， (1)2=12=1 当 a=4 时， (4)2=22=4 当 a=41时，41)21()41(22当 a=91时，91)31()91(22当 a=0 时， (0)2=0. 所以 (a)2=a(a0) 板书设计2.2.2 平方根 (二 ) 一、平方根的定义；平方根的性质；平方根与算术；平方根的区别与联系. 二、例题讲解三、练习四、小结五、作业名师精编优秀教案 2.3 立方根知识与技能目标：1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根. 2.能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方

44、互为逆运算. 3.了解立方根的性质. 4.区分立方根与平方根的不同. 过程与方法目标：1.在学了平方根的基础上，要求学生能用类比的方法学习立方根的有关知识，领会类比思想. 2.发展学生的求同求异思维，使他们能在复杂环境中明辨是非. 情感态度与价值观目标：当今社会是科学飞速发展、信息千变万化的时代，每一个人都不可能把一生中要接触的知识全部学会，因此让他们会学知识比学会知识更重要，这就要从小培养良好的学习习惯，能自己解决的问题就自己解决，其中类比的学习方法就是一种重要的学习方法，本节课重点训练学生的类比思想的养成. 教学重点立方根的概念. 教学难点1.正确理解立方根的概念. 2.会求一个数的立方根

45、. 3.区分立方根与平方根的不同之处. 教学方法类比学习法 . 教具准备投影片两张：第一张：平方根与立方根的联系与区别(记作 2.3 A)；第二张：补充练习(记作 2.3 B). 教学过程.新课导入上节课我们学习了平方根的定义，若x2=a，则 x 叫 a 的平方根，即x=a. 若正方体的棱长为a，体积为8，根据正方体体积的公式得a3=8，那 a叫8 的什么呢？本节课请大家根据上节课的内容自己来类推出结论，若名师精编优秀教案x3=a，则 x 叫 a 的什么呢？.新课讲解1.师请大家先回忆平方根的定义. 生若一个数x 的平方等于a，即 x2=a，则 x 叫 a 的平方根 . 师 在平方根定义的基础

46、上，若 x3=a，则 x 叫 a 的什么呢？请大家自己猜想然后讨论得出结果. 生因为x2=a，x 叫 a 的平方根，所以当x 的立方等于a 时， x 叫 a的立方根 . 师当 x4=a 时， x 叫 a 的什么根呢？生当 x 的 4 次方等于 a 时， x 叫 a 的 4 次方根 . 师大家应为这位同学的精彩回答而鼓掌.下面大家能不能再根据平方根的写法来类推立方根的记法呢？生能 .若 x 的平方等于a，则 x叫 a 的平方根，记作x=2a，读作x 等于正、负二次根号a，简称为x 等于正，负根号a.若 x 的立方等于a，则 x 叫 a 的立方根，记作x=3a，读作 x 等于正、负三次根号a，简称

47、 x等于正、负根号a. 师请大家对这位同学的回答展开讨论，小组总结后选代表发言. 生甲 我认为这位同学回答得不对.如果 x2=a，则 x=a，x3=a 时，x=a也成立的话，那如何区分平方根与立方根呢？生乙 因为乘方与开方是互为逆运算，求立方根可通过逆运算立方来求，如 x3=8，因为 23=8，所以 x=2，只有一个根而不是2，所以立方根的个数不正确 . 师大家的分析非常有道理，请认真看书第13、14 页可知，若一个数 x 的立方等于a，即 x3=a，那么这个数x 就叫做 a 的立方根 (cube root；也叫三次方根 )如 2 是 8 的立方根，记为x=3a，读作 x 等于三次根号a. 开

48、立方的定义师大家先回忆开平方的定义，再类推开立方的定义. 生 求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方， 则求一个数a 的立方根的运算，叫做开立方，其中a 叫做被开方数. (2)立方根的性质师 2 的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是8？生 2 的立方等于8，(2)3=8，所以没有其他的数的立方等于8. 师 3 的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是27？名师精编优秀教案生 3 的立方等于27， 33=27，所以没有其他的数的立方等于27. 师 0 的立方等于多少？0 有几个立方根？生 0 的立方等于0，0 有 1 个立方根是0. 师从刚才的讨论中，大家总结一下正数有几个立方根？0

49、 有几个立方根？负数有几个立方根？生正数有一个立方根，0 有一个立方根是0，负数有一个立方根. 师 对.正数有一个正的立方根、负数有一个负的立方根，0 的立方根有一个，是0. (3)平方根与立方根的区别与联系. 师我们已经学习了平方根与立方根的定义，并会求某些数的平方根和立方根，下面请大家说说它们的联系与区别. 生从定义来看，若一个数x 的平方等于a，即 x2=a，则 x 叫 a 的平方根；若一个数x 的立方等于a，即 x3=a，则 x 叫 a 的立方根，都是一个数x 的乘方等于a，但一个是平方，另一个是立方. 生 一个正数的平方根有两个，一个负数没有平方根，零的平方根有一个是零； 一个正数的

50、立方根有一个，并且是正数， 一个负数有一个负的立方根，零的立方根有一个是零. 生它们的表示方法和读法不同，一个正数a 的平方根表示为a，立方根表示为3a. 师很好 .大家现在已经具备了一定的分析判断能力，这对大家以后的学习和工作非常有帮助，继续发扬下去， 你们都将前途无量，下面我再系统地总结一下. 投影片： (2.3 A) 名师精编优秀教案平方根与立方根的联系与区别. 联系：(1)0 的平方根、立方根都有一个是0. (2)平方根、立方根都是开方的结果. 区别：(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a 的平方根”； “如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a 的立方根 .”(2)个