矩阵的初等变换与初等矩阵ppt课件.ppt

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1、线性代数下页结束返回有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。一、初等变换一、初等变换二、初等矩阵二、初等矩阵三、求逆矩阵的初等行变换法三、求逆矩阵的初等行变换法初等矩阵的作用、初等矩阵的可逆性初等矩阵的作用、初等矩阵的可逆性下页第第5 5节节 矩阵的初等变换与初等矩阵矩阵的初等变换与初等矩阵线性代数下页结束返回有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。5.1 5.1 初等变换初等变换 交换第交换

2、第i行与第行与第j行记为行记为rirj . . 1 5 -1 -1 1 -2 1 3 1 -9 3 7 3 8 -1 1 1 -2 1 3 1 -9 3 7r2r4 1 5 -1 -1 3 8 -1 1 定义定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行交换矩阵的某两行(列列)； (2)以数以数k 0乘矩阵的某一行乘矩阵的某一行(列列)； (3)把矩阵的某一行把矩阵的某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上.例如例如下页线性代数下页结束返回有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向

3、，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。-1 1 3-1 交换第交换第i列与第列与第j列记为列记为cicj . . 1 5 -1 -1 1 -2 1 3 1 -9 3 7 3 8 -1 1c1c3 5-2-9 8-1 3 7 1 1 1 1 3例如例如下页5.1 5.1 初等变换初等变换 定义定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行交换矩阵的某两行(列列)； (2)以数以数k 0乘矩阵的某一行乘矩阵的某一行(列列)； (3)把矩阵的某一行把矩阵的某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(

4、列列)上上.线性代数下页结束返回有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。 用数用数k乘以第乘以第i行记为行记为kri . . 1 5 -1 -1 1 -2 1 3 1 -9 3 7 3 8 -1 14r2 4 4-812 1-1 5-1 1 3-9 7 3-1 8 1例如例如下页5.1 5.1 初等变换初等变换 定义定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行交换矩阵的某两行(列列)； (2)以数以数k 0乘矩阵的某一行乘矩

5、阵的某一行(列列)； (3)把矩阵的某一行把矩阵的某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上.线性代数下页结束返回有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。 用数用数k乘以第乘以第i列记为列记为kci . . 1 5 -1 -1 1 -2 1 3 1 -9 3 7 3 8 -1 14c3-4 412-4 1 5-1 1 -2 3 1 -9 7 3 8 1例如例如下页5.1 5.1 初等变换初等变换 定义定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换对矩阵施以下列三种变换之一，称为

6、初等变换. (1)交换矩阵的某两行交换矩阵的某两行(列列)； (2)以数以数k 0乘矩阵的某一行乘矩阵的某一行(列列)； (3)把矩阵的某一行把矩阵的某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上.线性代数下页结束返回有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。 第第i行的行的k倍加到第倍加到第j行记为行记为rj+ +kri . . 1 5 -1 -1 1 -2 1 3 1 -9 3 7 3 8 -1 1r3-3r1 1 5 -1 -1 1 -2 1 3 1 -9 3 7 0 -7 2

7、4例如例如下页5.1 5.1 初等变换初等变换 定义定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行交换矩阵的某两行(列列)； (2)以数以数k 0乘矩阵的某一行乘矩阵的某一行(列列)； (3)把矩阵的某一行把矩阵的某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上.线性代数下页结束返回有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。 第第i列的列的k倍加到第倍加到第j列记为列记为cj+ +kci . . 1 5 -1 -1 1

8、-2 1 3 1 -9 3 7 3 8 -1 1c3+c1 0 2 4 2 1 5-1 1 -2 3 1 -9 7 3 8 1例如例如下页5.1 5.1 初等变换初等变换 定义定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行交换矩阵的某两行(列列)； (2)以数以数k 0乘矩阵的某一行乘矩阵的某一行(列列)； (3)把矩阵的某一行把矩阵的某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上.线性代数下页结束返回有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既

9、开放又相互信任的合作环境。定理定理3 任意一个任意一个m n矩阵都可以经过一系列的初等变换矩阵都可以经过一系列的初等变换化成下述形式化成下述形式00000000010000100001它称为矩阵它称为矩阵A的的标准形标准形（1的个数可以是零）的个数可以是零）. 下页线性代数下页结束返回有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。下页2101 000041-1 6r2r12 1 011 0 0 -10 0 4 6r2-2r 10 1 031 0 0 -10 0 4 61/4c30040101 003

10、0 60060101 00004c4+c 1c4-3c 2例如：例如：0000101 00001c4-6c3线性代数下页结束返回有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。 定义定义2 对单位矩阵对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵（或初等方阵）初等矩阵（或初等方阵）. 初等矩阵有下列三种：初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k)、E(j,i(k) . =E(2, 4) 例如，下面是几个例如，下面是几个4阶初等矩阵：阶初等矩阵：1000010

11、000100001E=0001100000100100r2r4=E(2, 4) 1000010000100001E =0001100000100100c2c4下页5.2 5.2 初等矩阵初等矩阵线性代数下页结束返回有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。=E(3(4) 1000010000100001E=00401000010000014 r3=E(3(4) 1000010000100001E=00401000100000014 c3下页 定义定义2 对单位矩阵对单位矩阵E施以一次初等变换得到

12、的矩阵称为施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵（或初等方阵）初等矩阵（或初等方阵）. 初等矩阵有下列三种：初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k)、E(j,i(k) . 5.2 5.2 初等矩阵初等矩阵例如，下面是几个例如，下面是几个4阶初等矩阵：阶初等矩阵：线性代数下页结束返回有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。=E(2,4(k) 1000010000100001E =010k100000100001r2+kr4=ET(2,4(k)1000010000100001E=10

13、000 001 000 1010kc2+kc4下页 定义定义2 对单位矩阵对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵（或初等方阵）初等矩阵（或初等方阵）. 初等矩阵有下列三种：初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k)、E(j,i(k) . 5.2 5.2 初等矩阵初等矩阵例如，下面是几个例如，下面是几个4阶初等矩阵：阶初等矩阵：线性代数下页结束返回有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。 初等矩阵都是可逆的，且它们的逆矩阵仍是初等矩阵初等矩阵都

14、是可逆的，且它们的逆矩阵仍是初等矩阵.初等矩阵的可逆性初等矩阵的可逆性E(j,i(k)- -1= =E(j,i(- -k) . . E(i(k)- -1= =E(i(k - -1)；E(i, j)- -1= =E(i, j)； 这是因为，初等矩阵的行列式及逆矩阵分别为这是因为，初等矩阵的行列式及逆矩阵分别为:下页|E(j,i(k)|=1=1 . . |E(i(k)|= = k (k0) ；|E(i, j)|= =- - 1；线性代数下页结束返回有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。E(1,

15、2)A= =与交换与交换A的第一行的第一行(列列)与第二行与第二行(列列)所得结果相同所得结果相同.AE(1, 2)= = 例如例如，设设=343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA343332312423222114131211100001010aaaaaaaaaaaa21a22a23a24a14131211aaaa34333231aaaa1000010000010010343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa12a22a32a312111aaa332313aaa342414aaa下页 定理定理1 设设A是一个是一个m n矩阵矩

16、阵，对对A施行一次初等行变换相当于施行一次初等行变换相当于用相应的用相应的m阶初等矩阵乘矩阵阶初等矩阵乘矩阵A；对对A施行一次初等列变换相当于施行一次初等列变换相当于用矩阵用矩阵A乘乘相应的相应的n 阶初等矩阵的转置矩阵阶初等矩阵的转置矩阵.线性代数下页结束返回有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。=与第三行与第三行(列列)的的2倍加到第一行倍加到第一行(列列)所得结果相同所得结果相同.=例如例如，设设=343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA3433323

17、12423222114131211100010201aaaaaaaaaaaa31112aa+34333231aaaa1000010200100001343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa13112aa+23212aa+33312aa+322212aaa332313aaa342414aaaE(1,3(2)A= AET(1,3(2)= 32122aa+33132aa+34142aa+24232221aaaa下页 定理定理1 设设A是一个是一个m n矩阵矩阵，对对A施行一次初等行变换相当于施行一次初等行变换相当于用相应的用相应的m阶初等矩阵乘矩阵阶初等矩阵乘矩阵A；

18、对对A施行一次初等列变换相当于施行一次初等列变换相当于用矩阵用矩阵A乘乘相应的相应的n 阶初等矩阵的转置矩阵阶初等矩阵的转置矩阵.线性代数下页结束返回有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。练练 习：习：010123001100456010?001789100=20112012010123001100456010?001789100=下页线性代数下页结束返回有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环

19、境。练练 习：习：010123001100456010001789100=20112012010123001100456010001789100=下页654321987456123789线性代数下页结束返回有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。5.3 5.3 求逆矩阵的初等变换方法求逆矩阵的初等变换方法定理定理2 若若n阶矩阵阶矩阵A可逆，则可以通过可逆，则可以通过行行初等变换初等变换将将A化为单位矩阵化为单位矩阵. . 证证： 因为因为A可逆可逆,即即|A|0，所以，所以A的第一列不全为的

20、第一列不全为0,不妨设不妨设a11 0. .将将A的第一行元素乘以的第一行元素乘以1/a11 ,再将变换后的第一行的再将变换后的第一行的(-ai1)倍加到第倍加到第i行，行，i=2,3,n,使第一列其他元素全化为零，得如下形式矩阵使第一列其他元素全化为零，得如下形式矩阵B1:1110,0BA=由定理由定理1 1知，知， 121,mBFF F A=其中其中Fi是对应初等矩阵是对应初等矩阵. .22100100BA= 一直进行下去，最终把一直进行下去，最终把A化成了化成了单位矩阵单位矩阵E. . 同理可得同理可得B2: 下页 即即B2的第二行第二列元素化为的第二行第二列元素化为1, 第二列的其它元

21、素全化为零第二列的其它元素全化为零.线性代数下页结束返回有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。 推论推论 方阵方阵A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是A可以表示为有限个初等可以表示为有限个初等矩阵的乘积矩阵的乘积. .下页 证证 （必要性必要性）假设）假设A可逆，由定理可逆，由定理2，A经有限次初等行变换经有限次初等行变换可化为单位阵可化为单位阵E , 即存在初等矩阵即存在初等矩阵 sF,F,F21使使 AFFFE12s= 11111111121121121sssssAFF FEFFF

22、FEFFFF- - - - - - - - - - - -= = = =而而 1111211,-ssFFFF是初等矩阵是初等矩阵. . （充分性充分性）如果）如果A可表示为有限个初等矩阵的乘积，因为可表示为有限个初等矩阵的乘积，因为初等矩阵都是可逆的，而可逆矩阵的乘积仍然可逆的，所以初等矩阵都是可逆的，而可逆矩阵的乘积仍然可逆的，所以A是可逆矩阵是可逆矩阵. . 线性代数下页结束返回有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。就是说，当通过初等行变换将矩阵就是说，当通过初等行变换将矩阵A变成变成E

23、时，经过同样的变换把时，经过同样的变换把E变成变成了了A-1. .于是有于是有利用初等行变换求逆矩阵的方法利用初等行变换求逆矩阵的方法( (要求：熟练掌握要求：熟练掌握) ) 构造一个构造一个 n2n 矩阵矩阵( (A| |E) )，对矩阵，对矩阵( (A| |E) )作初等行变换，当作初等行变换，当左部左部A变成单位矩阵变成单位矩阵E时，右部单位矩阵时，右部单位矩阵E则变成则变成A-1-1. .即即 1A EE A- 行初等变换下页EAPPPPmm=-121121(|)mmP PP P A E- -121121(|)mmmmP PP PPPEPAP- - -= = =即若即若, ,则则112

24、1,mmP PP PA-=而由而由1(|)E A- -= =1121-= APPPPmm, ,即即1121,mmP PP PEA-=1211(|)mmAP PP PEP- -= =线性代数下页结束返回有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。例例1( (法法2)2)求矩阵求矩阵A= 的逆矩阵的逆矩阵.12-30 1210-512-30 1210-510 00 1000 1解解： 1 0 1 1 0 0 0 1 -2 -2 1 0 0 2 -2 3 0 1r2-2r1r3+3r1 1 0 1 1

25、0 0 0 1 -2 -2 1 0 0 0 2 7 -2 1r3-2r2 1 0 0 -2.5 1-0.5 0 1 0 5 -1 1 0 0 2 7 -2 1r2+r3r1-0.5r3 1 0 0 -2.5 1-0.5 0 1 0 5 -1 1 0 0 1 3.5 -1 0.5，-2.5 5 3.5 1-1-1-0.5 1 0.5A-1= .(AE )=r30.5下页1A EE A- 行初等变换线性代数下页结束返回有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。. ,343122321 1- - =

26、=AA求求设设解：解：例例2 2 - - - - - - -103620012520001321 = =100343010122001321EA213123rrrr- - - 下页1A EE A- 行初等变换线性代数下页结束返回有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。 - - - - - - - - -111100012520011201 - - - - - - -111100563020231001.111253232311 - - - - -= =- -A10013235010322001111- - - - - - - 132325rrrr- - - 1232rrrr+ +- -0.5r2-r3下页1A EE A- 行初等变换