二项分布数学期望与方差专题复习word有详解重点中学用.pdf

《二项分布数学期望与方差专题复习word有详解重点中学用.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二项分布数学期望与方差专题复习word有详解重点中学用.pdf（13页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第十讲 二项分布及应用随机变量的均值与方差知识要点1. 事件的相互独立性( 概率的乘法公式) 设A、B为两个事件，如果P(AB) P(A)P(B) ，则称事件A与事件B相互独立2. 互斥事件概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(AB) P(A) P(B) 3. 对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则P(A) 1P(B) 4. 条件概率的加法公式：若B、C是两个互斥事件，则P(BC|A) P(B|A) P(C|A) 5. 独立重复试验：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，即若用Ai(i1,2 ，n) 表示第i次试验结果，则P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)

2、P(A3) P(An) 注：判断某事件发生是否是独立重复试验，关键有两点(1) 在同样的条件下重复，相互独立进行；(2) 试验结果要么发生，要么不发生6. 二项分布：在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(Xk) Cknpk(1p)nk(k0,1,2 ， ，n) ，此时称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p) ，并称p为成功概率注：判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点(1) 是否为n次独立重复试验(2) 随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数7. 离散型随机变量的均值与方差及

3、其性质定义：若离散型随机变量X的分布列为P( xi) pi，i1,2 ，n. (1) 均值：称E(X) x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望(2) 方差：D(X) ni 1 (xiE(X)2pi为随机变量X的方差，其算术平方根DX为随机变量X的标准差(3) 均值与方差的性质：(1)E(aXb) aE(X) b；(2)D(aXb) a2D(X) (a，b为常数 ) 8. 两点分布与二项分布的均值、方差变量X服从两点分布：E(X) p，D(X) p(1 p) ；XB(n，p) ： E(X) np ，D(X) np(1 p) 典例精析例 1.【2015 高考四川， 理 17】

4、 某市 A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生， 2 名女生，B 中学推荐了3 名男生， 4 名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3 人，女生中随机抽取3 人组成代表队（1）求 A中学至少有1 名学生入选代表队的概率. （2）某场比赛前，从代表队的6 名队员中随机抽取4 人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望 . 例 2如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9 、0.8 、0.8 ，则系统正常工作的

5、概率为 ( ) A0.960 B 0.864 C0.720 D0.576 例 3. (2013山东高考) 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23，假设各局比赛结果相互独立(1) 分别求甲队以30,3 1,3 2 胜利的概率(2) 若比赛结果为30 或 31，则胜利方得3 分，对方得0 分；若比赛结果为32，则胜利方得2 分，对方得1 分求乙队得分X的分布列及数学期望例 4. 为贯彻“激情工作，快乐生活”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛

6、采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5 次选答题的机会，选手累计答对3 题或答错3 题即终止其初赛的比赛，答对3 题者直接进入决赛，答错3 题者则被淘汰，已知选手甲答题的正确率为23. (1) 求选手甲答题次数不超过4 次可进入决赛的概率；(2) 设选手甲在初赛中答题的个数，试写出 的分布列，并求 的数学期望例 5. (2014福建高考改编) 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000 位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2 个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额(1) 若袋中所装的4 个球中有1 个所标的面值为50 元，其余3

7、 个均为 10 元求：顾客所获的奖励额为60 元的概率；顾客所获的奖励额的分布列及数学期望(2) 商场对奖励总额的预算是60 000 元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡下面给出两种方案：方案 1：4 个球中所标面值分别为10 元， 10 元， 50 元， 50 元；方案 2：4 个球中所标面值分别为20 元， 20 元， 40 元， 40 元如果你作为商场经理，更倾向选择哪种方案？例 6(13 分) 如图所示，是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量 ( 单位：吨 ) 的频率分布直方图 (1) 求直方图中x的值；(2) 若将频率视为概率，从这个城市

8、随机抽取3 位居民 ( 看作有放回的抽样 )， 求月均用水量在3 至 4 吨的居民数X的分布列、数学期望与方差例 7(12 分) 某网站用“ 10 分制”调查一社区人们的幸福度现从调查人群中随机抽取16 名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数( 以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶) ： (1)指出这组数据的众数和中位数；(2) 若幸福度不低于9，则称该人的幸福度为“极幸福”求从这16 人中随机选取3 人，至多有1 人是“极幸福”的概率；(3) 以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区( 人数很多 ) 任选 3 人，记 表示抽到“极幸福”的人数，求 的分布列及数学

9、期望例 8. 【2015 高考湖南，理18】某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、 6 个白球的甲箱和装有5 个红球、 5 个白球的乙箱中，各随机摸出1 个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3 次抽奖机会， 记该顾客在3 次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望. 例 9. （2016 河北张家口市三模 21） （本小题满分12 分） 设函数21xfxexax ( ) 若0a，求fx的单调区间；()若当0 x时，0fx，求a的取

10、值范围参考答案例 1.【2015 高考四川， 理 17】 某市 A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐3 名男生， 2 名女生，B 中学推荐了3 名男生， 4 名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3 人，女生中随机抽取3 人组成代表队（1）求 A 中学至少有1 名学生入选代表队的概率. （2）某场比赛前，从代表队的6 名队员中随机抽取4 人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 得分布列和数学期望 . 【答案】（1）A中学至少1 名学生入选的概率为99100p. （2） X的分布列为：X 的期望为()2E X. 【解析】（1）由题意

11、，参加集训的男女生各有6 名. 参赛学生全从B 中抽取（等价于A 中没有学生入选代表队）的概率为333433661100C CC C. 因此， A 中学至少1 名学生入选的概率为1991100100. （2）根据题意，X的可能取值为1，2，3. 1333461(1)5C CP XC，2233463(2)5C CP XC，3133461(3)5C CP XC，所以 X的分布列为：因此， X的期望为131()1232555E X. 例 2如图 1081，用 K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统当K 正常工作且 A1、A2至少有一个正常工作时， 系统正常工作 已知 K、A1、A2正常工作的概率

12、依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为(B)A0.960 B0.864 C0.720 D0.576 【答案】B 12AA、至少有一个正常工作的概率为21 (1 0.8)0.96P，则系统正常工作的概率为0.9 0.960.864KPP例 3.(2013山东高考 )甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23，假设各局比赛结果相互独立(1)分别求甲队以 30,31,32 胜利的概率(2)若比赛结果为 30 或 31，则胜利方得 3 分，对方得 0 分；若比赛结果为32，则胜利方得 2 分，对

13、方得 1 分求乙队得分 X 的分布列及数学期望【尝试解答】(1)记“甲队以 3 0 胜利”为事件 A1，“甲队以 3 1 胜利”为事件 A2，“甲队以 3 2 胜利”为事件 A3，由题意，各局比赛结果相互独立，故 P(A1)233827，P(A2)C2323212323827，P(A3)C24232123212427. 所以甲队以 3 0 胜利，以 3 1 胜利的概率都为827，以 3 2 胜利的概率为427. (2)设“乙队以 3 2 胜利”为事件 A4，由题意，各局比赛结果相互独立，所以 P(A4)C241232232 112427. 由题意，随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3，

14、根据事件的互斥性得P(X0)P(A1A2)P(A1)P(A2)1627.又 P(X1)P(A3)427， P(X2)P(A4)427，P(X3)1P(X0)P(X1)P(X2)327，故 X 的分布列为X 0123 P 1627427427327所以 EX0162714272427332779. 例 4.为贯彻“激情工作，快乐生活”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5 次选答题的机会，选手累计答对3 题或答错 3 题即终止其初赛的比赛，答对 3 题者直接进入决赛，答错3 题者则被淘汰，已

15、知选手甲答题的正确率为23. (1)求选手甲答题次数不超过4 次可进入决赛的概率；(2)设选手甲在初赛中答题的个数 ，试写出 的分布列，并求 的数学期望【尝试解答】(1)选手甲答 3 道题进入决赛的概率为233827，选手甲答 4 道题进入决赛的概率为C232321323827，选手甲答题次数不超过 4 次可进入决赛的概率P8278271627；(2)依题意， 的可取取值为 3、4、5，则有 P( 3)23313313，P( 4)C232321323C2313223131027，P( 5)C2423213223C2423213213827，因此，有345 P 131027827 E 31341

16、027582710727. 规律方法 2求离散型随机变量的均值与方差的方法：(1)先求随机变量的分布列，然后利用均值与方差的定义求解(2)若随机变量 XB(n，p)，则可直接使用公式E(X)np，D(X)np(1p)求解例 5.(2014福建高考改编 )为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000 位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2 个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额(1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元，其余 3 个均为 10 元求：顾客所获的奖励额为60 元的概率；顾客所获的奖励额的分布列及数学期望(2)

17、商场对奖励总额的预算是60 000元， 为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡下面给出两种方案：方案 1：4 个球中所标面值分别为10 元，10 元，50 元，50 元；方案 2：4 个球中所标面值分别为20 元，20 元，40 元，40 元如果你作为商场经理，更倾向选择哪种方案？【解答】(1)设顾客所获的奖励额为X. 依题意，得 P(X60)C11C13C2412，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12. 依题意，得 X 的所有可能取值为20,60.P(X20)C23C2412，P(X60)12，即 X 的分布列为X 2060 P 1212所以顾客所获的奖

18、励额的数学期望为E(X)2012601240(元)(2)对于方案 1：设每位顾客获得的奖励额为X1元，则随机变量X1的分布列为X12060100 P 162316数学期望E(X1)201660231001660，方差 D(X1)20602623(6060)210060261 6003. 对于方案 2：设顾客获得的奖励额为X2元，则 X2的分布列为X2406080 P 162316数学期望E(X2)40166023801660，方差 D(X2)40602623(6060)28060264003. 根据预算，每个顾客的平均奖励额为60 元，且 E(X1)E(X2)60，D(X1)D(X2)因此，根

19、据商场的设想，应选择方案2. 例 6.如图 1094 所示，是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨 )的频率分布直方图图 1094 (1)求直方图中 x 的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3 位居民 (看作有放回的抽样 )，求月均用水量在 3 至 4 吨的居民数 X 的分布列、数学期望与方差【解】(1)依题意及频率分布直方图知，0020.1x0.370.391，解得 x0.12. (2)由题意知， XB(3,0.1)因此 P(X0)C030.930.729，P(X1)C130.10.920.243，P(X2)C230.120.90.027，P(X3)C330.130

20、.001. 故随机变量 X 的分布列为X 0123 P 0.7290.2430.0270.001 X 的数学期望为 E(X)30.10.3. X 的方差为 D(X)30.1(10.1)0.27. 例 7某网站用“ 10 分制”调查一社区人们的幸福度现从调查人群中随机抽取16 名，以下茎叶图 1093 记录了他们的幸福度分数 (以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶 )：图 1093 (1)指出这组数据的众数和中位数；(2)若幸福度不低于9，则称该人的幸福度为“极幸福”求从这16 人中随机选取3人，至多有 1 人是“极幸福”的概率；(3)以这 16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，

21、若从该社区 (人数很多 )任选 3人，记 表示抽到“极幸福”的人数，求 的分布列及数学期望【解】(1)众数： 8,6；中位数： 8.75 (2)由茎叶图可知，幸福度为“极幸福 ”的人有 4 人设 Ai表示所取 3 人中有 i 个人是 “极幸福 ”，至多有 1 人是“极幸福 ”记为事件 A，则 P(A)P(A0)P(A1)C312C316C14C212C316121140(3)从 16 人的样本数据中任意选取1 人，抽到“极幸福 ”的人的概率为41614，故依题意可知，从该社区中任选1 人，抽到 “极幸福 ”的人的概率 P14 的可能取值为 0,1,2,3 P( 0)3432764；P( 1)C

22、13143422764P( 2)C2314234964；P( 3)143164所以 的分布列为0123 P 27642764964164E 0276412764296431640.75 另解由题可知 B 3，14，所以 E 3140.75. 例 8. 【2015 高考湖南，理18】某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有 4 个红球、 6 个白球的甲箱和装有5 个红球、 5 个白球的乙箱中，各随机摸出1 个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. （1）求顾客抽奖1 次能获奖的概率；（2）若某顾客有3 次

23、抽奖机会， 记该顾客在3 次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望. 【答案】（1）107； （2）详见解析 . 【解析】试题分析： （1）记事件1A从甲箱中摸出的1 个球是红球 ，2A从乙箱中摸出的1 个球是红球1B顾客抽奖1 次获一等奖 ，2B顾客抽奖1 次获二等奖，C顾客抽奖1 次能获奖，则可知1A与2A相互独立，12A A与12A A互斥，1B与2B互斥， 且1B12A A，2B12A A12A A，12CBB，再 利 用 概 率 的 加 法 公 式 即 可 求 解 ；（ 2 ） 分 析 题 意 可 知1(3,)5XB， 分 别 求 得00331464(0)( ) ( )55

24、125P XC，11231448(1)( ) ( )55125P XC，22131412(2)( ) ( )55125P XC，3303141(3)( ) ( )55125P XC，即可知X的概率分布及其期望. 试题解析：（1）记事件1A从甲箱中摸出的1 个球是红球 ，2A从乙箱中摸出的1 个球是红球1B顾客抽奖1 次获一等奖 ，2B顾客抽奖1 次获二等奖 ，C顾客抽奖1 次能获奖，由题意，1A与2A相互独立，12A A与12A A互斥，1B与2B互斥， 且1B12A A，2B12A A12A A，12CBB，142()105P A，251()102P A，11212211()()() ()5

25、25P BP A AP A P A，2121212121212()()()()()(1()(1()()P BP A AA AP A AP A AP AP AP AP A21211(1)(1)52522，故所求概率为1212117( )()()()5210P CP BBP BP B；（2）顾【考点定位】1.概率的加法公式；2.离散型随机变量的概率分布与期望. 【名师点睛】本题主要考查了离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实际应用，这一直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知

26、识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以关注 . 例 9.【2015 高考四川，理21】已知函数22( )2()ln22f xxaxxaxaa，其中0a. （1）设( )g x是( )f x的导函数，评论( )g x的单调性；（2）证明：存在(0,1)a，使得( )0f x在区间(1,+)内恒成立，且( )0f x在(1,+)内有唯一解 . 【答案】（1）当104a时，( )g x在区间114114(0,),(,)22aa上单调递增，在区间114114(,)22aa上单调递减；当14a时，( )g x在区间(0,)上单调递增 .（2）详见解析 . 【解析】（1）由已知，函数( )f x的定义域为(

27、0,)，( )( )222ln2(1)ag xfxxaxx，所以222112()2()2224( )2xaag xxxx. 当104a时，( )g x在区间114114(0,),(,)22aa上单调递增，在区间114114(,)22aa上单调递减；当14a时，( )g x在区间(0,)上单调递增 . （2）由( )222ln2(1)0afxxaxx，解得11ln1xxax. 令2211111ln1ln1 ln1ln( )2()ln2()2()1111xxxxxxxxxxxxxxxxx. 则211(2)2(1) 10, ( )2()011e eeeee，. 故存在0(1, )xe，使得0()0

28、x. 令000101ln, ( )1ln(1)1xxau xxx xx，. 由1( )10u xx知，函数( )u x在区间(1,)上单调递增 . 所以001110()(1)( )20111111u xuu eeaxee. 即0(0,1)a. 【考点定位】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想. 【考点定位】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学

29、思想. 【名师点睛】本题作为压轴题，难度系数应在0.3 以下 .导数与微积分作为大学重要内容，在中学要求学生掌握其基础知识，在高考题中也必有体现.一般地，只要掌握了课本知识，是完全可以解决第（1）题的，所以对难度最大的最后一个题，任何人都不能完全放弃，这里还有不少的分是志在必得的.解决函数题需要的一个重要数学思想是数形结合，联系图形大胆猜想. 在本题中， 结合待证结论， 可以想象出( )f x的大致图象，要使得( )0f x在区间(1,+)内恒成立，且( )0f x在(1,+)内有唯一解，则这个解0 x应为极小值点，且极小值为0，当0(1,)xx时，( )f x的图象递减；当0(,)xx时，( )f x的图象单调递增，顺着这个思想，便可找到解决方法.