中考数学压轴题专项训练解析.pdf

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1、学习必备欢迎下载（二）题型解析类型 1 直线型几何综合题例 1 如图 1，在ABC中，5AB，3BC，4AC，动点E（与点 A、C 不重合）在 AC 边上，EFAB交 BC 于点 F（1）当ECF的面积与四边形EABF的面积相等时，求CE的长；（2）当ECF的周长与四边形EABF的周长相等时，求CE的长；（3）试问在AB上是否存在点P，使得EFP为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出EF的长分析：（ 1）中面积相等可以转化为“ECF与 ACB 的 面积比为 1：2”，因为 ECF ACB，从而要求CE长，只要借助于相似比与面积比的关系即可得解.因为相似三角形对应边成比例，从

2、而第 (2)题可利用比例线段来找线段间关系，再根据周长相等来建立方程.第（ 3）题中假设存在符合条件的三角形，根据相似三角形中对应边成比例可建立方程. 解：（1）因为ECF 的面积与四边形EABF 的面积相等 ,所以 S ECF:S ACB1:2 ，又因为 EF AB ，所以ECF ACB.所以21)(2CACESSACBECF. 因为 CA4，所以 CE22. （2）设 CE 的长为 x，因为ECF ACB ， 所以CBCFCACE. 所以 CF=x43. 根据周长相等可得：EFxxxEFx)433(5)4(43.解得724x. （3） EFP 为等腰直角三角形，有两种情况：如图 2，假设P

3、EF 90， EPEF. 由 AB5，BC3，AC4，得 C90，所以 Rt ACB 斜边 AB 上高 CD 512.设 EPEF x，由ECF ACB ，得CDEPCDABEF，即5125125xx.解得3760 x，即 EF3760. 图1DPPFCABE图 2 学习必备欢迎下载当 EFP 90， EF FP 时，同理可得EF3760. 如图 3，假设EPF 90， PEPF 时，点 P 到 EF 的距离为EF21. 设 EFx，由ECF ACB，得CDEFCDABEF21，即51225125xx.解得49120 x，即 EF49120. 综上所述，在AB 上存在点 P，使EFP 为等腰直

4、角三角形，此时EF3760或 EF49120. 特别提示：因为等腰直角三角形中哪条边为斜边没有指明，所以需要就可能的情形进行讨论. 跟踪练习1 （2007 山东烟台）如图 4，等腰梯形ABCD 中， AD BC，点 E 是线段 AD 上的一个动点(E 与 A、D 不重合 )，G、F、H 分别是 BE、BC 、CE 的中点(1) 试探索四边形EGFH 的形状，并说明理由(2) 当点 E 运动到什么位置时，四边形EGFH 是菱形 ?并加以证明(3) 若(2)中的菱形 EGFH 是正方形，请探索线段EF 与线段 BC 的关系，并证明你的结论参考答案： 1、（ 1）四边形 EGFH 是平行四边形 .只

5、要说明 GF/EH ， GF = EH 即可 . （2）点 E 是 AD 的中点时，四边形EGFH 是菱形 .利用全等可得BE=CE ，从而得 EG = EH. 根据 EGFH 是正方形，可得 EG =EH ， BEC = 90 .因为 G、 H 分别是 BE、 CE 的中点，所以 EB = EC. 因为 F 是 BC 的中点，类型 2 . 圆的综合题例 2（2007 广东茂名）如图 5，点 A、B、C、D 是直径为 AB 的O 上四个点， C 是劣弧BD的中点， AC 交 BD 于点 E，AE 2， EC1（1）求证：DECADC. GFHEDBOAC图 3 图 4 _ ? 2_ P _ D

6、_ F_ C_ A_ B_ E学习必备欢迎下载（2）试探究四边形ABCD 是否是梯形？若是，请你给予证明并求出它的面积；若不是，请说明理由（3）延长 AB 到 H，使 BH OB求证： CH 是O 的切线分析：（ 1）只要证DACCDB即可，（ 2）要判断是梯形，只要说明DC AB 即可，注意到已知条件中数量关系较多，考虑从边相等的角度来说明：先求DC，再说明OBCD 是菱形（ 3）要证明“ CH 是O 的切线”，只要证明OCH=090即可. 解：（ 1）因为 C 是劣弧BD的中点，所以DACCDB因为DCE= ACD ，所以DECADC（2）四边形 ABCD 是梯形 . 证明：连接OD，由得

7、DCECACDC.因为1.2 13CEACAEEC，所以3DC由已知3BCDC.因为AB是O 的直径，所以90ACB，所以222223312ABACCB所以23AB. 所以3ODOBBCDC. 所以四边形OBCD 是菱形所以DCABDCAB，所以四边形ABCD 是梯形过 C 作 CF 垂直 AB 于点 F，连接 OC，则3OBBCOC，所以60OBC所以CF=BC sin600=1.5. 所以113932332224ABCDSCFABDC梯形（3）证明：连接OC 交 BD 于点 G，由（ 2）得四边形OBCD 是菱形，所以OCBD且OGGC又已知OBBH ，所以BH 平行且等于CD. 所以四边

8、形BHCD 是平行四边形 .所以BGCH所以90OCHOGB. 所以 CH 是O 的切线特别提示：在推理时，有时可能需要借助于计算来帮助证明，比如本题中证明DC AB. 跟踪练习 2. （2007 四川绵阳）如图，AB 是O 的直径，BAC = 60，P 是 OB 上一点，过P 作 AB 的垂线与 AC 的延长线交于点Q，过点 C 的切线 CD 交 PQ 于 D，连结 OC（1）求证：CDQ 是等腰三角形；（2）如果CDQ COB ，求 BP:PO 的值参考答案： 2（1）由已知得 ACB = 90，ABC = 30， Q = 30， BCO = ABC = 30CD 是O 的切线， CO 是

9、半径， CD CO， DCQ =30， DCQ = Q，故CDQ 是等腰三角形图 5 学习必备欢迎下载（2）设O 的半径为 1，则 AB = 2 ，OC = 1 ，AC = AB 2 = 1 ，BC =3 CDQ COB ， CQ = BC =3于是AQ = AC + CQ = 1 +3，进而AP = AQ 2 =（1 +3） 2， BP = AB AP = （33） 2，PO = AP AO = （31） 2， BP:PO =3类型 3. 含统计（或概率）的代数（或几何）综合题例 3（2007 江西）在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图形，活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式

10、中的一个等式：ABDCABEDCEAEDEAD小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张 请结合图形解答下列两个问题：（1）当抽得 和时，用 ，作为条件能判定BEC是等腰三角形吗？说说你的理由；（2）请你用树形图或表格表示抽取两张纸片上的等式所有可能出现的结果（用序号表示），并求以已经抽取的两张纸片上的等式为条件，使BEC不能构成等腰三角形的概率分析：（ 1）只要说明BE=CE 即可，从而考虑证明ABEDCE.（2）如果ABEDCE不一定成立，那么BEC未必是等腰三角形.再根据概率定义即可得解. 解：（ 1）能理由：由ABDC，ABEDCE，AEBDEC，得ABE

11、DCEBECE.BEC是等腰三角形（2）树形图：先抽取的纸片序号开始123456O后抽取的纸片序号A D E B C 学习必备欢迎下载所有可能出现的结果（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）. 抽取的两张纸片上的等式有12 种等可能性结果，其中不能构成等腰三角形的有4 种（ ），（ ），（ ），（ ），所以使BEC不能构成等腰三角形的概率为13特别提示：不能得到“ABEDCE”有两种情形，一是“边边角”不能得全等，二是只能得到相似. 跟踪练习3.（2007 辽宁沈阳）如图所给的A、B、C 三个几何体中，按箭头所示的方向为它们的正面，设A、B、C 三个几何体的主

12、视图分别是A1、B1、C1；左视图分别是A2、B2、C2；俯视图分别是A3、B3、C3（1）请你分别写出A1、A2、A3 、B1、B2、B3、C1、C2、C3 图形的名称；（2）小刚先将这9 个视图分别画在大小、形状完全相同的9 张卡片上，并将画有A1、A2、A3 的三张卡片放在甲口袋中，画有B1、B2、B3 的三张卡片放在乙口袋中，画有C1、C2、C3 的三张卡片放在丙口袋中，然后由小亮随机从这三个口袋中分别抽取一张卡片 通过补全下面的树状图，求出小亮随机抽取的三张卡片上的图形名称都相同的概率； 小亮和小刚做游戏，游戏规则规定：在小亮随机抽取的三张卡片中只有两张卡片上的图形名称相同时，小刚获

13、胜；三张卡片上的图形名称完全不同时，小亮获胜这个游戏对双方公平吗？为什么？解：（ 1）第 23 题图学习必备欢迎下载（2）树状图：参考答案： 3（1）由已知可得A1 、A2 是矩形， A3 是圆； B1、B2、B3 都是矩形；C1 是三角形， C2、C3 是矩形（2）补全树状图如下：由树状图可知，共有27 种等可能结果，其中三张卡片上的图形名称都相同的结果有12 种，三张卡片上的图形名称都相同的概率是122749游戏对双方不公平由可知，P（小刚获胜）49。三张卡片上的图形名称完全不同的概率是19，即 P（小亮获胜）19，这个游戏对双方不公平类型 4. 图形中的函数 (方程）这类题通常需要利用方

14、程与函数的思想来处理，具体的说，往往通过线段成比例或者面积公式等来建立关系式，再通过解学习必备欢迎下载方程或者利用函数性质来得到解决. 例 4（2007 山西临汾）如图，已知正方形ABCD与正方形EFGH的边长分别是42和2 2，它们的中心12OO，都在直线l上，ADl，EG在直线l上，l与DC相交于点M，722ME，当正方形EFGH沿直线l以每秒1个单位的速度向左平移时，正方形ABCD也绕1O以每秒45顺时针方向开始旋转，在运动变化过程中，它们的形状和大小都不改变（1）在开始运动前，12O O；（2）当两个正方形按照各自的运动方式同时运动 3 秒时，正方形ABCD停止旋转，这时AE，12O

15、O；（3）当正方形ABCD停止旋转后， 正方形EFGH继续向左平移的时间为x秒，两正方形重叠部分的面积为y， 求y与x之间的函数表达式分析 :（1）22211ADMO,2222EHEO,所以92121EOMEMOOO（2）运动 3 秒时，224ME,此时 A 点落在EO1上，,41AO所以 AE=EOAOOO2121=0,（3）重叠部分是正方形，只要用 x 表示出其边长即可，注意到不同情况下，边长的表示不一样，从而需要讨论. 解：（ 1）9（ 2）0，6（3）当正方形ABCD停止运动后，正方形EFGH继续向左平移时，与正方形ABCD重叠部分的形状也是正方形重叠部分的面积y与x之间的函数关系应分

16、四种情况：如图 1，当04x时，EAx，y与x之间的函数关系式为22xy如图 2，当 4 x 8 时，y与x之间的函数关系式为y=8 如图3，当8x12时，12CGx，y与x之 间 的 函 数A B C D E F G H l O2O1M A B C D E F G H l O2O1A B C D E F G H l O2O1A B C D E F G H l O2O1图 1 图 2 图 3 学习必备欢迎下载关系式为22121127222xyxx当12x时，y与x之间的函数关系式为0y特别提示：（ 1）本题也是变换型试题，计算与证明时要抓住变换中不变的元素（比如角相等，边相等，图形全等，等）来

17、进行处理，如果直角比较多，还可从相似、三角函数、勾股定理角度来建立数量关系.（2）对于图形变化中分段函数的问题，可以从图形特征角度来分别讨论，以力求解答完备. 跟踪练习4（2007 河北）如图，在等腰梯形ABCD 中， AD BC ，AB=DC=50 ，AD=75 ，BC=135 点 P 从点 B 出发沿折线段 BA-AD-DC以每秒 5 个单位长的速度向点C 匀速运动；点Q 从点 C 出发沿线段CB 方向以每秒3 个单位长的速度匀速运动，过点Q 向上作射线QK BC，交折线段CD-DA-AB于点 E点 P、Q同 时 开 始 运动，当点P 与点 C 重合时停止运动，点Q 也随之停止设点P、Q

18、运动的时间是 t 秒（ t0）（1）当点 P 到达终点 C 时，求 t 的值，并指出此时BQ 的长；（2）当点 P 运动到 AD 上时， t 为何值能使P Q DC ？（3）设射线 QK 扫过梯形 ABCD 的面积为 S，分别求出点E 运动到 CD、DA 上时， S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（4） PQE 能否成为直角三角形？若能，写出t 的取值范围；若不能，请说明理由参考答案：4：（ 1）t =35（秒）时，点P 到达终点 C BQ 的长为 135105=30 （2）若 PQ DC，又 AD BC ，则四边形 PQCD 为平行四边形，从而PD=QC ，由 QC=3t

19、，BA+AP=5t ，得 50755t=3t ，解得 t=1258当 t=1258时，有 PQ DC（3）当点 E 在 CD 上运动时 S=S QCE =12QE QC=6t2 ；当点 E 在 DA 上运动时，S= S 梯形 QCDE =12(ED QC)DH =40330321tt=120 t 600 （4） PQE 能成为直角三角形当PQE 为直角三角形时，t 的取值范围是0t 25 且 t 学习必备欢迎下载1558或 t=35 跟踪练习 5（2007 江苏扬州） 如图，矩形ABCD中，3AD厘米，ABa厘米（3a）动点MN，同时从B点出发，分别沿BA，BC运动，速度是1厘米秒 过M作直线

20、垂直于AB， 分别交AN，CD于PQ， 当点N到达终点C时，点M也随之停止运动设运动时间为t秒（1）若4a厘米，1t秒，则PM_厘米；（2）若5a厘米，求时间t，使PNBPAD，并求出它们的相似比；（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由参考答案： 5、（ 1）34PM，（ 2）2t，使PNBPAD，相似比为3: 2（3） AMP ABN 可得 PM=atat)(，2)(2)(3)(3(tttaatTaa

21、tat，化简 ,得66ata，3a 6. （4）梯形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等即可，()3tatta，把66ata代入，解得2 3a（舍负值）类型 5. 抛物线中的图形例 5 （2007 河南） 如图，对称轴为直线72x的抛物线经过点A（6，0）和 B（0，4）（1）求抛物线解析式及顶点坐标；72xB(0,4A(6,E F xyO D Q C P N B M A D Q C P N B M A 学习必备欢迎下载（2）设点 E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以 OA 为对角线的平行四边形求平行四边形 OEAF 的面积 S 与x之间的函数关系式，并写出自变

22、量x的取值范围；当平行四边形OEAF 的面积为 24 时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？是否存在点E，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由分析：（ 1）利用待定系数法可以求出抛物线解析式，（2）利用平行四边形OEAF的面积公式来建立函数关系式.判断OEAF 是否为菱形，关键是看能否由已知条件得到邻边相等，即需要将面积关系转化为线段关系，假设存在符合条件的E，考虑先满足条件“使得 OEAF 为正方形”，再看能否满足另外条件“在抛物线上” . 解 ：（ 1 ） 由 抛物 线 的 对 称 轴 是72x， 可 设 解析式 为27()2ya xk 把 A

23、 、 B 两 点 坐标 代 入 上 式 ， 得225,.36ak故抛物线解析式为22725()326yx，顶点为725(,).26（2）因为点( , )E x y在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合22725()326yx，所以 y0, y 表示点 E 到 OA 的距离因为OA 是OEAF的对角线，所以25724621222xyyOASSAOE. 因为抛物线22725()326yx与 x 轴焦点的横坐标分别为：x1=1 ，x2=6. 又点 E 在第四象限，点E 的纵坐标小于0，所以点 E 的横坐标1x6. 2172264()2522OAESSOAyyx的取值范围是1x6根据题意，当S = 24

24、 时，即274()25242x解得123,4.xx故所求的点E 有两个，分别为E1（3，4），E2（4， 4）点 E1（3， 4）满足 OE = AE ，所以OEAF是菱形；点E2（4，4）不满足 OE = AE ，所以OEAF不是菱形当 OA EF，且 OA = EF 时，OEAF是正方形，此时点E 的坐标只能是（3， 3）而坐标为（ 3， 3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使OEAF为正方形特别提示：需要同时满足几个条件时，不妨先满足其中部分，再看是否满足其它条件. 学习必备欢迎下载跟踪练习 6（2007 辽宁沈阳）已知抛物线yax2bxc 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴

25、交于点 C，其中点 B 在 x 轴的正半轴上， 点 C 在 y 轴的正半轴上， 线段 OB、OC 的长（OBOC ）是方程 x210 x160 的两个根，且抛物线的对称轴是直线x 2（1）求 A、B、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）连接 AC、BC ，若点 E 是线段 AB 上的一个动点（与点 A、点 B 不重合），过点E 作 EF AC 交 BC 于点 F，连接 CE，设 AE 的长为 m， CEF 的面积为S，求 S 与 m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（4）在（ 3）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判

26、断此时 BCE的形状；若不存在，请说明理由参考答案：6、（1）点 B（2，0），点 C（0，8），点 A（ 6，0），（ 2）抛物线的表达式为y23x283x8 ，（ 3）由EFACBEAB，因为 AC=2268=10 ，BE=8-m ，AB=8. 所以 EF405m4. 作 FG AB，垂足为G，则sin FEG=sin CAB=54108.所以在Rt EGF 中，FGEF sinFEG=45405m4=8-m ，所以 SBFEBCESS=8821m-mm 8821=12m24m， m 的取值范围是0m8 （4） 存在因为 S12m24m， 又 a= 210，当 m=ab2=2124=4 时，a4bac42最大S=8.因为 m=4，所以点 E 的坐标为（ 2，0），BCE 为等腰三角形第 26