中考压轴题分类专题三《抛物线中的等腰三角形》.pdf

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1、学习必备欢迎下载中考压轴题分类专题三抛物线中的等腰三角形基本题型：已知AB，抛物线02acbxaxy，点P在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP为等腰三角形，求点P坐标。分两大类进行讨论：（1）AB为底时（即PAPB） ：点P在AB的垂直平分线上。利用中点公式求出AB的中点M；利用两点的斜率公式求出ABk，因为两直线垂直斜率乘积为1，进而求出AB的垂直平分线的斜率k；利用中点M与斜率k求出AB的垂直平分线的解析式；将AB的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。（2）AB为腰时，分两类讨论：以A为顶角时（即APAB） ：点P在以A为

2、圆心以AB为半径的圆上。以B为顶角时（即BPBA） ：点P在以B为圆心以AB为半径的圆上。利用圆的一般方程列出A(或B)的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。所需知识点：一、 两点之间距离公式：已知两点2211y,xQ,y,xP，则由勾股定理可得：221221yyxxPQ。二、 圆的方程：点y,xP在 M 上， M 中的圆心M 为b,a，半径为R。则RbyaxPM22，得到方程：222Rbyax。P 在的图象上，即为M 的方程。三、 中点公式：已知两点2211y,xQ,y,xP，则线段PQ 的中点 M 为222121yy,xx。四、 任意两点的斜率公式：已

3、知两点2211y,xQ,y,xP，则直线PQ 的斜率：2121xxyykPQ。_ Q_ G_ P_ O学习必备欢迎下载图 9BCOyxA典型例题：例一（ 06 深圳）如图9，抛物线2812 (0)yaxaxa a与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足ACB为直角 ,且恰使OCAOBC. (1)(3 分)求线段OC的长 . (2)(3 分)求该抛物线的函数关系式(3)(4 分)在x轴上是否存在点P，使BCP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由 . 学习必备欢迎下载例二（ 09 深圳） ：已知，Rt ABC的斜边长为5，斜边

4、上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直接坐标系中，使其斜边 AB 与x轴重合（其中OAOB） ，直角顶点C 落在y轴正半轴上（如图11） 。（1）求线段OA、 OB 的长和过点A、B、C 的抛物线的解析式。 （4 分）（2）如图 12,点 D 的坐标为（ 2，0） ，点,P m n是该抛物线上的一个动点（其中0,0mn） ，连接 DP 交 BC 于点E。当BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E 的坐标。（3 分）又连接 CD 、CP（如图 13） ，CDP是否有最大面积？若有，求出CDP的最大面积和此时点P 的坐标；若没有，请说明理由。 （3 分）图 11 图 12 图 13 学习必备欢迎下

5、载例三（龙岩市中考题）：如图，抛物线254yaxax经过ABC的三个顶点，已知BCx轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且ACBC（1）求抛物线的对称轴；（2）求抛物线的解析式；（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。0yxBCA学习必备欢迎下载同步训练：1、 （08 年临沂市中考题）如图，已知抛物线与x轴交于( 1,0),(3,0)AB两点，与y轴交于点(0,3)C（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得PDC是等腰三角形？若存在，求出所有符

6、合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。（3）若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M 的坐标。0 xyABCD学习必备欢迎下载2、如图，已知抛物线349432xxy与 x轴交于 A、B 两点（ A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C。（1）求 A、B、C 三点的坐标；（2）求直线BC 的函数解析式；（3）点 P 是直线 BC 上的动点，若 POB 为等腰三角形，请写出此时点P 的坐标。（可直接写出结果）A B O C x y 学习必备欢迎下载3、在直角坐标系中，把点 A（ 1，a） （a 为常数） 向右平移4 个单位得到点A，经过点 A、A的抛物线2

7、yaxbxc与y轴的交点的纵坐标为2（1）求这条抛物线的解析式；（2）设该抛物线的顶点为点P，点 B 的坐标为)1m，（，且3m，若 ABP 是等腰三角形，求点B 的坐标。x yO图 7 学习必备欢迎下载4、 （08 年梅 州 市 中 考 题 ）如图 11 所示，在梯形ABCD 中，已知 ABCD， ADDB，AD=DC=CB，AB=4以AB 所在直线为x轴，过 D 且垂直于AB 的直线为y轴建立平面直角坐标系（1）求 DAB 的度数及A、 D、C 三点的坐标；（2）求过 A、D、C 三点的抛物线的解析式及其对称轴L（3）若 P 是抛物线的对称轴L 上的点， 那么使PDB 为等腰三角形的点P有

8、几个 ?（不必求点P 的坐标，只需说明理由）学习必备欢迎下载5、 （20XX 年重庆市）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上，OC 在 x 轴的正半轴上， OA=2，OC=3过原点O 作 AOC 的平分线交AB 于点 D，连接 DC，过点 D 作 DE DC，交 OA 于点E（1）求过点E、D、C 的抛物线的解析式；（2）将 EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC 交于点 G如果DF 与（ 1）中的抛物线交于另一点M，点 M 的横坐标为65，那么 EF =2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不

9、成立，请说明理由；（3）对于（ 2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ 与 AB 的交点P 与点 C、 G构成的 PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由y x D B C A E O 学习必备欢迎下载6、 （20XX年河南省）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B（ 4，0） 、 C（ 8，0） 、 D（ 8，8）.抛物线 y=ax2+bx 过 A、C 两点 . (1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点 P 从点 A 出发沿线段AB 向终点 B 运动，同时点Q 从点 C 出发，沿线段CD向终点

10、D 运动速度均为每秒1 个单位长度，运动时间为t 秒 .过点 P 作 PE AB 交 AC 于点 E过点 E 作 EF AD 于点 F，交抛物线于点G.当 t 为何值时，线段EG 最长 ? 连接 EQ在点 P、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的t 值. 学习必备欢迎下载7（20XX 年江苏省）、如图，已知射线DE 与x轴和y轴分别交于点(3 0)D，和点(0 4)E，动点C从点(5 0)M，出发，以 1 个单位长度 /秒的速度沿x轴向左作匀速运动，与此同时，动点P 从点 D 出发，也以1 个单位长度 /秒的速度沿射线 DE 的方向作匀速运动设运动时间为t秒（1）请用含t的代数式分别表示出点C 与点 P 的坐标；（2）以点 C 为圆心、12t个单位长度为半径的C与x轴交于 A、B 两点（点A 在点 B 的左侧），连接 PA、PB当C与射线 DE 有公共点时，求t的取值范围；当PAB为等腰三角形时，求t的值O x y E P D AB MC