中考数学之尺规作图整理.pdf
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1、中考数学 - 尺规作图(复习)一、理解“尺规作图”的含义1.在几何中,我们把只限定用直尺(无刻度)和圆规来画图的方法,称为尺规作图其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段;圆规用来作圆和圆弧由此可知,尺规作图与一般的画图不同,一般画图可以动用一切画图工具, 包括三角尺、 量角器等, 在操作过程中可以度量,但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的2.基本作图:(1)用尺规作一条线段等于已知线段;(2)用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图,可以作两条线段或两个角的和或差. 二、熟练掌握尺规作图题的规范语言1.用直尺作图的几何语言:过点、点作直线;或作直线;或作射线;连结两点;或连结;
2、延长到点;或延长(反向延长)到点,使;或延长交于点;2.用圆规作图的几何语言:在上截取;以点为圆心,的长为半径作圆(或弧);以点为圆心,的长为半径作弧,交于点;分别以点、点为圆心,以、的长为半径作弧,两弧相交于点、. 三、了解尺规作图题的一般步骤尺规作图题的步骤:1.已知:当作图是文字语言叙述时,要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件;2.求作:能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件;3.作法:能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时,一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图,可先画出草图,使它同所要作的图大致相同,然后借助草图寻找作法. 在目前,我们只要能够写出已知
3、,求作,作法三步(另外还有第四步证明)就可以了,而且在许多中考作图题中,又往往只要求保留作图痕迹,不需要写出作法,可见在解作图题时,保留作图痕迹很重要. 四、基本作图最基本 ,最常用的尺规作图,通常称 基本作图 。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。五种基本作图:1、作一条线段等于已知线段;2、作一个角等于已知角;3、作已知线段的垂直平分线;4、作已知角的角平分线;5、过一点作已知直线的垂线;1. 作一条线段等于已知线段。已知:如图,线段a . 求作:线段AB ,使 AB = a . 作法:(1)作射线 AP ;(2)在射线 AP上截取 AB=a . 则线段 AB就是所求作的图形。2. 作
4、已知线段的中点。已知:如图,线段MN. 求作:点O ,使 MO=NO(即 O是 MN的中点) . 作法:()分别以M 、N为圆心,大于的相同线段为半径画弧,两弧相交于P ,Q;()连接PQ交 MN 于 O 则点 O就是所求作的的中点。(试问: PQ与有何关系?)3. 作已知角的角平分线。已知:如图,AOB ,求作:射线OP, 使 AOP BOP (即 OP平分 AOB )。作法:(1)以 O为圆心,任意长度为半径画弧,分别交 OA ,OB于 M , N ;(2)分别以M 、为圆心,大于的相同线段为半径画弧,两弧交AOB 内于;(3)作射线 OP 。则射线 OP就是 AOB的角平分线。五、典型题
5、型1. 已知线段a、b,画一条线段,使其等于ba2分析所要画的线段等于ba2,实质上就是bba画法 :1画线段aAB2在 AB 的延长线上截取bBC2线段 AC 就是所画的线段说明1尺规作图要保留画图痕迹,画图时画出的所有点和线不可随意擦去2其它作图都可以通过画基本作图来完成,写画法时,只需用一句话来概括叙述基本作图2.如下图,已知线段a 和 b,求作一条线段AD 使它的长度等于2ab错解如图( 1) ,( 1)作射线AM; (2)在射线AM 上截取 AB=BC=a,CD=b,则线段AD 即为所求错解分析主要是作图语言不严密,当在射线上两次截取时,要写清是否顺次,而在求线段差时,要交待截取的方
6、向图( 1)图( 2)正解如图( 2) ,( 1)作射线AM; (2)在射线AM 上,顺次截取AB=BC=a;( 3)在线段CA 上截取 CD=b,则线段AD 就是所求作的线段3. 求作一个角等于已知角MON (如图 1) 图( 1)图( 2)错解如图( 2) ,(1)作射线11MO; ( 2)在图( 1) ,以 O 为圆心作弧,交OM 于点 A,交 ON 于点 B;(3)以1O为圆心作弧,交11MO于 C; (4)以 C 为圆心作弧,交于点D; (5)作射线DO1则DCO1即为所求的角错解分析作图过程中出现了不准确的作图语言,在作出一条弧时,应表达为: 以某点为圆心, 以其长为半径作弧正解如
7、图( 2) ,(1)作射线11MO; ( 2)在图( 1)上,以O 为圆心,任意长为半径作弧,交OM 于点 A,交 ON 于点 B; (3)以1O为圆心, OA 的长为半径作弧,交11MO于点 C;(4)以 C 为圆心,以AB 的长为半径作弧,交前弧于点D; (5)过点 D 作射线DO1则DCO1就是所要求作的角4. 如下图,已知及线段 a,求作等腰三角形,使它的底角为,底边为a分析先假设等腰三角形已经作好,根据等腰三角形的性质,知两底角 B=C=,底边 BC=a,故可以先作 B=,或先作底边BC=a作法如下图(1) MBN=; (2)在射线BM 上截取 BC=a; ( 3)以 C 为顶点作
8、PCB= ,射线 CP 交 BN 于点 AABC 就是所要求作的等腰三角形说明画复杂的图形时, 如一时找不到作法,一般是先画出一个符合条件的草图,再根据这个草图进行分析,逐步寻找画图步骤5. 如图( 1) ,已知直线AB 及直线 AB 外一点 C,过点 C 作 CDAB(写出作法,画出图形)分析根据两直线平行的性质,同位角相等或内错角相等,故作一个角ECD =EFB 即可作法如图( 2) 图( 1)图( 2)(1)过点 C 作直线 EF,交 AB 于点 F;(2)以点 F 为圆心,以任意长为半径作弧,交FB 于点 P,交 EF 于点 Q;(3)以点 C 为圆心,以FP 为半径作弧,交CE 于
9、M 点;(4)以点 M 为圆心,以PQ 为半径作弧,交前弧于点D;(5)过点 D 作直线 CD,CD 就是所求的直线说明作图题都应给出证明,但按照教科书的要求,一般不用写出,但要知道作图的原由6. 如下图, ABC 中, a=5cm,b=3cm,c=3.5cm, B=36, C=44,请你从中选择适当的数据,画出与ABC 全等的三角形(把你能画的三角形全部画出来,不写画法但要在所画的三角形中标出用到的数据)分析本题实质上是利用原题中的5 个数据, 列出所有与 ABC 全等的各种情况, 依据是 SSS、SAS、AAS 、ASA 解与 ABC 全等的三角形如下图所示7. 正在修建的中山北路有一形状
10、如下图所示的三角形空地需要绿化拟从点 A 出发, 将 ABC 分成面积相等的三个三角形,以便种上三种不同的花草,请你帮助规划出图案(保留作图痕迹,不写作法)( 2003 年,桂林)分析这是尺规作图在生活中的具体应用要把ABC 分成面积相等的三个三角形,且都是从A 点出发,说明这三个三角形的高是相等的,因而只需这三个三角形的底边也相等,所以只要作出BC 边的三等分点即可作法如下图,找三等分点的依据是平行线等分线段定理8. 已知 AOB,求作 AOB 的平分线OC错解如图( 1)作法(1)以 O 为圆心,任意长为半径作弧,分别交OA、OB 于 D、E 两点;( 2)分别以D、E 为圆心,以大于21
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