二次函数的存在性问题(相似).pdf

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1、立身以立学为先，立学以读书为本二次函数的存在性问题（相似）已知抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与 x 轴的另一交点为B。(1)求抛物线的解析式；(2)若点 C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O、 C、D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；(3)连接 OA、AB，如图， 在 x 轴下方的抛物线上是否存在点P，使得OBP 与OAB 相似？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由。AABBOOxxyy图图立身以立学为先，立学以读书为本07 江苏苏州 设抛物线22yaxbx与 x 轴交于两个不同的点A( 一 1，0)、B(m，0)，与 y 轴交于点C.且

2、ACB=90 (1)求 m 的值和抛物线的解析式；(2)已知点 D(1，n )在抛物线上，过点A 的直线1yx交抛物线于另一点 E若点 P 在 x 轴上，以点P、B、D 为顶点的三角形与AEB 相似，求点P 的坐标(3)在(2)的条件下，BDP 的外接圆半径等于_解： (1)令 x=0，得 y=2 C(0，一 2) ACB=90 ，COAB, AOC COB, OA OB=OC2； OB=22241OCOAm=4立身以立学为先，立学以读书为本x y F - 2 - 4 - 6 A C E P D B 5 2 1 2 4 6 G 08 年湖南省湘潭已知抛物线2yaxbxc 经过点 A（5，0）

3、、B（ 6，- 6）和原点 . （1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点 B 的直线 ykxb 与抛物线相交于点C（2，m） ，请求出OBC 的面积 S的值 . （3）过点 C 作平行于x 轴的直线交y 轴于点 D，在抛物线对称轴右侧位于直线 DC 下方的抛物线上，任取一点P，过点 P 作直线 PF 平行于 y轴交 x 轴于点 F，交直线DC 于点 E. 直线 PF 与直线 DC 及两坐标轴围成矩形OFED （如图），是否存在点P，使得OCD 与CPE 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 解： （ 1）由题意得：255036600abcabcc解得150abc故抛物线的函数

4、关系式为25yxx（2）C在抛物线上，2252,6mmC点坐标为（ 2，6） ，B、 C 在直线ykxb上6266kbkb解得3,12kb直线 BC 的解析式为312yx设 BC 与 x 轴交于点 G，则 G 的坐标为（ 4，0）114 6462422OBCS（3）存在 P，使得OCDCPE设 P(, )m n，90ODCE故2,6CEmEPn若要OCDCPE，则要ODDCCEEP或ODDCEPCE即6226mn或6262nm解得203mn或123nm又(, )m n在抛物线上，22035mnnmm或21235nmnmm解得12211023,6509mmnn或121226,66mmnn故 P

5、点坐标为10 50()39，和(6, 6) 10 分（只写出一个点的坐标记9 分）立身以立学为先，立学以读书为本08 江苏苏州 如图，抛物线(1)(5)ya xx与x轴的交点为MN，直线ykxb与x轴交于( 2 0)P，与y轴交于C若AB，两点在直线ykxb上，且2AOBO，AOBOD为线段MN的中点，OH为RtOPC斜边上的高（1）OH的长度等于；k，b（2）是否存在实数a，使得抛物线(1)(5)ya xx上有一点E，满足以DNE，为顶点的三角形与AOB相似？若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点（简要说明理由） ；并进一步

6、探索对符合条件的每一个E点，直线NE与直线AB的交点G是否总满足10 2PB PG，写出探索过程解： （ 1）1OH；33k，2 33b（2）设存在实数a，使抛物线(1)(5)ya xx上有一点E，满足以DNE，为顶点的三角形与等腰直角AOB相似以DNE，为顶点的三角形为等腰直角三角形，且这样的三角形最多只有两类，一类是以DN为直角边的等腰直角三角形，另一类是以DN为斜边的等腰直角三角形若DN为等腰直角三角形的直角边，则EDDN由抛物线(1)(5)ya xx得：( 10)M，(5 0)N，(2 0)D，3EDDNE的坐标为(2 3)，把(2 3)E，代入抛物线解析式，得13a抛物线解析式为1(

7、1)(5)3yxx即2145333yxx若DN为等腰直角三角形的斜边，则DEEN，DEENE的坐标为(3.51.5)，把(3.51.5)E，代入抛物线解析式，得29a抛物线解析式为2(1)(5)9yxx，即22810999yxx当13a时，在抛物线2145333yxx上存在一点(2 3)E，满足条件，如果此抛物线上还有满足条件的E点，不妨设为E点，那么只有可能DE N是以DN为斜边的等腰直角三角形，由此得(3.51.5)E，显然E不在抛物线2145333yxx上，故抛物线2145333yxx上没有符合条件的其他的E点当29a时，同理可得抛物线22810999yxx上没有符合条件的其他的E点当E

8、的坐标为(2 3)，对应的抛物线解析式为2145333yxx时，EDN和ABO都 是 等 腰 直 角 三 角 形 ，45GNPPBO 又N P GB P O，NPGBPOPGPNPOPB，2714PB PGPO PN，总满足10 2PB PG当E的坐标为(3.51.5)，对应的抛物线解析式为22810999yxx时，同理可证得：2714PB PGPO PN，总满足10 2PB PGD x y N O M P A C B 2H 立身以立学为先，立学以读书为本08 年内蒙锡林郭勒盟如图，抛物线的顶点为A（2，1） ，且经过原点O，与 x 轴的另一个交点为B（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求

9、点M，使 MOB 的面积是 AOB 面积的 3 倍；（3）连结 OA，AB，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点N，使 OBN 与 OAB 相似？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，说明理由解： （ 1）由题意可设抛物线的解析式为1)2(2xay抛物线过原点01)20(2a41a抛物线的解析式为1)2(412xy即xxy241. （2） AOB 与 MOB 同底不等高又 SMOB=3 SAOB MOB 的高是 AOB 高的 3 倍即点 M 的纵坐标是3xx241301242xx解得61x，22x)36(1，M) 32(2，M（3）由抛物线的对称性可知：AO=ABABOAOB若 OBN 与 OAB

10、 相似必须有BNOBOABON显然)12( ，A直线 ON 的解析式为xy21（ 10 分）由xxx24121，得01x，62x)36( ，N过 N 作 NEx 轴，垂足为E. 在 RtBEN 中， BE=2，NE=3，133222NB又 OB=4 NB OB BON BNO OBN 与 OAB 不相似同理说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N 点. 所以在抛物线上不存在N 点，使得 OBN 与 OAB 相似y x O A B y x O A B E N AA立身以立学为先，立学以读书为本09 湖北鄂州 如图所示，将矩形 OABC 沿 AE 折叠，使点 O 恰好落在 BC 上 F 处，

11、 以 CF 为边作正方形CFGH，延长 BC 至 M，使 CM CEEO，再以CM、CO 为边作矩形CMNO. (1)试比较 EO、EC 的大小，并说明理由(2)令CMNOCFGHSSm四边形四边形，请问 m 是否为定值？若是，请求出m 的值；若不是，请说明理由(3)在(2)的条件下，若CO1，CE31，Q 为 AE 上一点且QF32，抛物线 ymx2+bx+c 经过 C、Q 两点，请求出此抛物线的解析式. (4)在(3)的条件下，若抛物线ymx2+bx+c 与线段 AB 交于点 P，试问在直线BC 上是否存在点K，使得以P、B、K 为顶点的三角形与 AEF 相似 ?若存在，请求直线KP 与

12、y 轴的交点T 的坐标 ? 若不存在，请说明理由。1）EOEC，理由如下：由折叠知， EO=EF，在 RtEFC 中， EF 为斜边， EFEC， 故 EOEC 2 分（2） m 为定值S四边形CFGH=CF2=EF2EC2=EO2EC2=(EO+EC)(EO EC)=CO (EOEC) S四边形CMNO=CM CO=|CEEO|CO=(EO EC) CO 1CMNOCFGHSSm四边形四边形4 分（3） CO=1，3231QFCE，EF=EO=QF32311cosFEC=21 FEC=60，3060260180EAOOEAFEA， EFQ 为等边三角形，32EQ5 分作 QIEO 于 I，E

13、I=3121EQ，IQ=3323EQIO=313132Q 点坐标为)31,33(6 分抛物线y=mx2+bx+c 过点 C(0，1)， Q)31,33(，m=1 可求得3b，c=1 抛物线解析式为132xxy7 分（4）由（ 3） ，3323EOAO当332x时，3113323)332(2y AB P 点坐标为)31,332(8 分BP=32311AO 方法 1：若 PBK 与 AEF 相似，而 AEF AEO，则分情况如下：立身以立学为先，立学以读书为本3323232BK时，932BKK 点坐标为)1 ,934(或)1 ,938(3232332BK时，332BKK 点坐标为)1 ,334(或

14、)1 ,0( 10 分故直线 KP 与 y 轴交点 T 的坐标为)1 ,0()31,0()37,0()35,0(或或或12 分方法 2：若 BPK 与 AEF 相似， 由（3）得： BPK=30 或 60，过 P 作 PRy 轴于 R，则 RTP=60或 30当 RTP=30时，23332RT当 RTP=60时，323332RT)1 ,0()31,0()35,0()37, 0(4321TTTT，12 分09 湖南长沙 如图，二次函数2yaxbxc（0a）的图象与x轴交于AB、两点，与y轴相交于点C连结ACBCAC、， 、两点的坐标分别为( 3 0)A，、(03)C，且当4x和2x时二次函数的函

15、数值y相等（1）求实数abc， ，的值；（2）若点MN、同时从B点出发， 均以每秒1 个单位长度的速度分别沿BABC、边运动， 其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动当运动时间为t秒时，连结MN，将BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；（ 3）在（ 2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以BNQ，为项点的三角形与ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由y O x C N B P M A 立身以立学为先，立学以读书为本09 辽宁十二市 已知：在平面直角坐标系中，抛物线32xaxy（0a）交x轴于A、 B 两点，交y轴于点 C

16、，且对称轴为直线2x（1）求该抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）若点 P（0，t）是y轴上的一个动点，请进行如下探究：探究一：如图1，设 PAD 的面积为S，令 Wt S，当 0t4 时，W 是否有最大值？如果有，求出W 的最大值和此时t 的值；如果没有，说明理由；探究二：如图2，是否存在以P、A、D 为顶点的三角形与RtAOC 相似？如果存在，求点P 的坐标；如果不存在，请说明理由（参考资料：抛物线)0(2acbxaxy对称轴是直线x2ba）解： （ 1）抛物线23yaxx（0a）的对称轴为直线2x122a，14a，2134yxx( 2 4)D，（2）探究一：当04t时，W有最大值抛物线

17、2134yxx交x轴于AB、两点，交y轴于点C，( 6 0)A，(2 0)B，(0 3)C，63OAOC， 4 分当04t时，作DMy轴于M，则24DMOM，(0)Pt，4OPtMPOMOPt，PADAOPDMPOADMSSSS梯形111()222DMOA OMOA OPDM MP111(26)462(4)222tt122t 6 分2(122 )2(3)18Wttt 7 分当3t时，W有最大值，18W最大值 8 分探究二：存在分三种情况：当190PDA时，作DEx轴于E，则2490OEDEDEA，624AEOAOEDE45DAEADE，24 2ADDE，11904545PDEPDAADEDMy

18、轴，OAy轴，DMOA，90MDEDEA，11904545MDPMDEPDE12PMDM，122 2PDDM此时13 24OCOAPDAD，又因为190AOCPDA，y x O C B A D 图 2 y x O C B A D 图 1 y x O C B A D M P1 E P2 y x O C B A D M P 立身以立学为先，立学以读书为本1RtRtADPAOC，11422OPOMPM，1(0 2)P，当190PDA时，存在点1P，使1RtRtADPAOC，此时1P点的坐标为（0，2） 10 分（结论1分，过程1 分）当290P AD时，则245P AO，26 2cos45OAP A

19、，26 226P AOA4 23ADOC，2P AADOCOA2P AD与AOC不相似，此时点2P不存在 12 分（结论1分，过程1 分）当390APD时，以AD为直径作1O，则1O的半径222ADr，圆心1O到y轴的距离4ddr，1O与y轴相离不存在点3P，使390APD综上所述，只存在一点(0 2)P，使RtADP与RtAOC相似 14 分（结论1分，过程1 分）（其它方法可参照此答案给分）09 青海 矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图13 所示，AC、两点的坐标分别为(6 0)A，(03)C，直线34yx与BC边相交于D点（1）求点D的坐标；（2）若抛物线294yaxx经过点A，试确

20、定此抛物线的表达式；（3）设（ 2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为对称轴上一动点，以POM、为顶点的三角形与OCD相似，求符合条件的点P的坐标解： （ 1）点D的坐标为(43)， （2 分）（2）抛物线的表达式为23984yxx （4 分）（3）抛物线的对称轴与x轴的交点1P符合条件OACB，1POMCDO190OPMDCO，1RtRtPOMCDO （6 分）抛物线的对称轴3x，点1P的坐标为1(3 0)P， （7 分）过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点2P对称轴平行于y轴，2P MODOC290POMDCO，21RtRtPM ODOC点2P也符合条件，2OP MODC121390POCOP PODCO，21RtRtP PODCO （9 分）124PPCD点2P在第一象限，点2P的坐标为2P(3 4)，符合条件的点P有两个，分别是1(3 0)P，2P(3 4)，（ 11 分）y O 3C D B 6 A x 34yxy O 3C D B 6 x 34yxA M P1P2