中考数学第二轮复习专题讲解几何探索题.pdf

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1、学习必备欢迎下载二几何探索题巡视探索类问题是近几年中考命题的重点，不少省市还作为压轴的大题。笔者研究了各地中考试卷，对命题特点、解题方法做了一些探讨。本文以中考题为例说明之，供同学们学习时参考。一、实验型探索题例 1. 等腰三角形是我们熟悉的图形之一，下面介绍一种等分等腰三角形面积的方法：如图1，在 ABC中， ABAC ，把底边BC分成 m等份，连接顶点A和底边 BC各等分点的线段，即可把这个三角形的面积m等分。图 1 问题提出：任意给定一个正n 边形，你能把它的面积m等分吗？探究与发现： 为了解决这个问题，我们先从简单问题入手怎样从正三角形的中心（正多边形的各对称轴的交点，又称为正多边形的

2、中心）引线段，才能将这个正三角形的面积m等分？如果要把正三角形的面积4 等分，我们可以先连接正三角形的中心和各顶点（如图2(1) ） ，这些线段将这个三角形分成了3 个全等的等腰三角形） ； 再把所得到的每个等腰三角形的底边4 等分，连接中心和各边等分点（如图 2(2) ，这些线段把这个三角形分成了12 个面积相等的小三角形）；最后依次把相邻的3 个小三角形拼合在一起（如图2(3) ） ，这样就能把这个正三角形的面积4 等分了。图 2 （ 1）实验与验证：仿照上述方法，利用刻度尺在图3中画出一种将正三角形的面积5 等分的示意图。图 3 （ 2）猜想与证明：怎样从正三角形的中心引线段，才能将这个

3、正三角形的面积m等分？叙述你的分法并说明理由。（ 3）拓展与延伸：怎样从正方形（如图4）的中心引线段，才能将这个正方形的面积m等分（叙述分法即可，不要求说明理由）？图 4 学习必备欢迎下载（ 4）问题解决：怎样从正n 边形（如图5）的中心引线段，才能使这个正n 边形的面积m等分？（叙述分法，不要求说明理由）图 5 分析： 这类问题的特点是先给出一个解决问题的范例，然后要求解答一个类似的问题，最后将结论或方法推广到一般情况。这类问题文字较多，首先应弄清楚哪些是范例，哪些是要求解答的问题，然后详细阅读范例，从中领会解决问题的方法，并能运用这个方法解决问题。解： （1）先连接正三角形的中心和各顶点，

4、再把正三角形各边分别5 等分，连接中心和各分点，然后将每3个相邻的小三角形拼在一起，就可将正三角形的面积5 等分了（图略） 。（ 2）先连接正三角形的中心和各顶点，再把正三角形各边分别m等分，连接中心和各个分点，然后把每3个相邻的小三角形拼合在一起，即可把这个正三角形的面积m等分了。理由：每个小三角形的底和高都相等，因此它们的面积都相等，每 3 个拼合在一起的图形面积当然也都相等，即把正三角形的面积m等分。（ 3）先连接正方形的中心和各顶点，然后将正方形各边m等分，连接中心和各分点，再依次将相邻的4 个小三角形拼合在一起，这就把这个正方形的面积m等分了。（ 4）连接正n 边形的中心和各顶点，然

5、后将这个正n 边形各边m等分，再依次将n 个相邻的小三角形拼在一起，这就将这个正n 边形的面积m等分了。二、操作型探索题例 2. 已知线段AC 8，BD 6。（ 1）已知线段AC BD于 O（O不与 A、B、C 、 D四点重合），设图 6（1） 、图 6（2）和图 6（3）中的四边形ABCD的面积分别为S1、S2、S3，则 S1_，S2_，S3_；图 6 （ 2）如图 6（ 4） ，对于线段AC与线段 BD垂直相交（垂足O不与点 A、B、C、D重合）的任意情形，请你就四边形 ABCD 面积的大小提出猜想，并证明你的结论；（ 3）当线段 BD与 AC （或 CA）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接

6、点A、B、C、D所围成的封闭图形的面积是多少。分析：题（ 1）实际上是将BD沿 AC由下向上移动，计算BC在不同位置时四边形ABCD 的面积，再观察计算结果。题（ 2）是 AC沿 BD左右移动，计算四边形ABCD的面积，再观察计算结果。题（3）是在更一般的情况下探索规律。这种由浅入深的探索方式是中考探索类问题的特点。解： （1）24 24 24 （ 2）对于线段AC与线段 BD垂直相交（垂足O不与点 A、C、B、D重合）的任意情形，四边形ABCD 的面积为定值 24。证明如下：显然，SACOBSACODBCADAC，1212学习必备欢迎下载SACOBACODABCD四边形1212121224A

7、C OBODACBD()（ 3）所围成的封闭图形的面积仍为24。三、观察猜想型探索题例 3. （山西省）如图7，正方形ABCD 的边 CD在正方形EFGC 的边 CE上，连接BE 、DG 。图 7 （ 1）观察并猜想BE与 DG之间的大小关系，并证明你的结论；（ 2）图 7 中是否存在通过旋转能够互相重合的三角形？若存在，请说明旋转过程；若不存在，说明理由。分析：证明题是直接给出结论，要求寻找结论成立的理由，而这一类探索题是题目没有给出结论，要求自己下结论，并证明结论成立。这就要求有较强的观察猜想能力。解： （1）BE DG ，证明如下：在 RtBCE和 RtDCG 中， BC CD ，CE

8、CG ， BCE DCG 。故 BE DG 。（ 2）将 RtBCE绕点 C顺时针旋转90，可与RtDCG 重合。四、图形计数型探索题例 4. 如图 8，在图（ 1）中，互不重叠的三角形有4 个，在图（ 2）中，互不重叠的三角形有7 个，在图（ 3）中，互不重叠的三角形有10 个，则在图（n）中互不重叠的三角形有_个（用含n 的代数式表示） 。图 8 分析：这类图形计数型探索题有线段计数、射线计数、角计数等。解这类题首先要通过几个具体图形寻找规律，然后写出公式，或称一般表达式。解题的关键是找规律。解：图（ 1） ：1134；图（ 2） ：1 237；图（ 3） ：13310。所以图（ n）中有

9、 13n 个互不重叠的三角形，应填3n1。五、其他类型探索题例 5. 如图 9，已知 AC 、AB是 O的弦， AB AC 。(1) (2) 图 9 （ 1）在图 9（ 1）中，判断能否在AB上确定一点E，使得 AC2AE AB ，并说明理由；学习必备欢迎下载（ 2）在图 9（ 2）中，在条件（1）的结论下，延长EC到 P。连接 PB ，如果 PBPE ，试判断PB和 O的位置关系，并说明理由。分析：一般的探索题是由特殊到一般，探求结论的普遍性，而这道题是两个小题互相独立，只是基本图形相同。题（ 1）是作出满足线段关系式的图形，题（2）是判断图形中的一些线段的相互关系。解： （1）作法有多种，这里举一例。如图10，在 O上取点 D，使ADAC，连接 CD交 AB于点 E，则有AC2AE AB 。连接 BC ，显然 ACE ABC ，则 AB ：AC AC ：AE ，故 AC2AE AB。图 10 图 11 （2）如图 11，过点 B 作 O的直径 BF，连接 CF、BC 。可以证明PBC FBC 90，即 PB BF。所以 PB是O的切线。