高三数学一轮复习ppt课件——立体几何.ppt

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1、知识结构知识结构 一一.平面的基本性质平面的基本性质二二.空间两直线的位置关系空间两直线的位置关系三三.直线和平面平行的判定和性质直线和平面平行的判定和性质四四.直线和平面垂直的判定和性质直线和平面垂直的判定和性质五五.两个平面平行的判定和性质两个平面平行的判定和性质六六.两个平面垂直的判定和性质两个平面垂直的判定和性质七七.空间向量空间向量练习练习1 正方体正方体ABCDA1B1C1D1，E是是BB1上的点。画出平面上的点。画出平面AEC1和平面和平面ABCD的交线。的交线。 一、平面的基本性质一、平面的基本性质 如果一条直线上的如果一条直线上的两点两点在一个平面内，那么这条直在一个平面内，

2、那么这条直线上线上所有的点所有的点都在这个平面内都在这个平面内 公理公理1l直线用来判定一条直线是否在平面用来判定一条直线是否在平面内内, ,或直线上的点是否在平面内。或直线上的点是否在平面内。ABlD1B1A1C1CADBEF作作用用,ABAl Bl 如果两个平面有如果两个平面有一个一个公共点，那么它们还有其他公共公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线一条过这个公共点的直线 PlPl且公理公理21、用来判定两平面是否相交；、用来判定两平面是否相交；2、画两个相交平面的交线；、画两个相交平面的交线；即即: 3、证明多点共线、证

3、明多点共线.,AABBAB直线为交线.练习练习2： 已知已知ABC在平面在平面外，外，AB、AC、BC的延长线分别与平面的延长线分别与平面交交于点于点M、N、P三三点，求证：点，求证：M、N、P三点共线。三点共线。PlBACMNP作用作用，ABCDE,F,G,HABBCCDDAEHFGPB,D,P.:点平面，分别是，上的点，若与交于点 ，（这样的四边形叫做空间四边形练习3）求证：三点共线 GHABCDE PF,A B CA B C三点不共线三点确定一平面1 1、确定平面、确定平面2 2、证明点、线共面、证明点、线共面。ACB公理公理3 3：经过经过不在同一条直线上不在同一条直线上的三点，有且只

4、有一个平面。的三点，有且只有一个平面。作作用用推论推论1.1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。LABC1l2l推论推论2.2.两条相交直线唯一确定一个平面。两条相交直线唯一确定一个平面。2l1l推论推论3.3.两条平行直线唯一确定一个平面。两条平行直线唯一确定一个平面。a3ACPa1a2BLl3ACBl1l2例例2:2:已知三条直线已知三条直线l l1 1 , l , l2 2 , l, l3 3 两两相交，且不过同两两相交，且不过同一点，求证：直线一点，求证：直线l l1 1 , l , l2 2, l, l3 3 在同一平面内。在同一平面内。例例

5、3:3:直线直线L L与过点与过点P P的三条直线的三条直线a a1 1 , a, a2 2 , a, a3 3 分别交于分别交于 A A，B B，C C三点（三点（A A，B B，C C异于点异于点P P），求证：这四），求证：这四 条直线共面。条直线共面。二、空间两直线的位置关系二、空间两直线的位置关系平行平行相交相交异面异面共面共面（两直线没有公共点）（两直线没有公共点）（两直线只有一个公共点）（两直线只有一个公共点）（两直线没有公共点）（两直线没有公共点） 不同在任何一个平面不同在任何一个平面内的两条直线叫做内的两条直线叫做异面直线异面直线。（也就是既不相交又不平行的两条直线）（也就是

6、既不相交又不平行的两条直线）1、异面直线、异面直线如图：如图：已知已知E,F分别是所在棱的中点分别是所在棱的中点D1B1A1C1CADBOD1B1A1C1CADBEFEFAE和和BF是异面直线吗是异面直线吗?AE和和CF是异面直线吗是异面直线吗?2.异面直线的画法异面直线的画法:通常用一个或两个平面来衬托异面直线通常用一个或两个平面来衬托异面直线不同在任不同在任何一个平面何一个平面的特点的特点abmn1l2la如图所示如图所示, , a、b 是两条是两条异面直线异面直线, ,在空间中在空间中任选任选一点一点O，过过O点分别作点分别作 a、b的平行线的平行线 a和和 b,则则a和和 b所成的锐所

7、成的锐角角, （或直角），称为（或直角），称为异面直线异面直线a a，b b所成的角所成的角, ,也叫也叫异异面直线面直线a，b 的夹角的夹角。ababO 若两条异面直线所成角为若两条异面直线所成角为90，则称它们互相垂直。，则称它们互相垂直。异面直线异面直线a与与b垂直也记作垂直也记作ab异面直线所成角异面直线所成角的取值范围：的取值范围： 0 90 （ ，平平移移3.异面直线成的角异面直线成的角:O4.求异面直线所成的角求异面直线所成的角:求两条异面直线所成角的步骤求两条异面直线所成角的步骤: :1. .选点选点, ,引平行线找到所求的角引平行线找到所求的角; ;2.2.把该角放入三角形把

8、该角放入三角形; ;3.3.根据边角关系计算根据边角关系计算, ,求角求角. .例例1.正方体正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E,F分别是分别是BB1,CC1的中点，求的中点，求AE,BF所成的角所成的角FD1B1A1C1CADBE在解答过程中要突出在解答过程中要突出“做、做、证、指、求证、指、求”这几步。这几步。例例2 2：已知正方体的棱长为已知正方体的棱长为a , M a , M 为为 AB AB 的中点的中点, N, N为为 BBBB1 1的中点，求的中点，求 A A1 1M M 与与 C C1 1 N N 所成角的余弦值。所成角的余弦值。解：解：如图，取如图，取A A1 1B

9、B1 1的中点的中点E, 连连BE, 有有BE A A1 1M M 取取CC1的中点的中点G，连，连BG. 有有BG C C1 1N N 则则EBG即为所求角。即为所求角。BG=BE= a， F C1 = a由余弦定理，由余弦定理， cosEBG=2/5取取EB1的中点的中点F，连，连NF，有，有BENF 则则FNC1为所求角。为所求角。想一想：想一想：还有其它定角的方法吗？还有其它定角的方法吗？2526在在EBG中中A1D1C1B1ABCDMNEG例例3.在空间四边形在空间四边形ABCD中，中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a,M,N分别是分别是BC,AD的中点，求的中点，求异面直线异

10、面直线AM,CN所成角。所成角。EABDCMN例例4.A是是BCD所在平面外一点，所在平面外一点，AD=BC,E,F分别是分别是AB,CD的中点。的中点。（1）若）若EF= AD,求异面直线求异面直线AD和和BC所成的角所成的角。（2）若）若EF= AD,求异面直线求异面直线AD和和BC所成的角。所成的角。2232ABDCEFG例例5.长方体长方体ABCD-A1B1C1D1中，中，AB=2, BC=1，AA1 =1,求异面直线求异面直线D1B与与AC所成角的余弦值所成角的余弦值.D1B1A1C1CADBGOE探究探究:HGCADBEFGHEF(B)(C)DAAB,CD,EF,GH这四条线段所在

11、的直线是异这四条线段所在的直线是异面直线的有几对面直线的有几对?相交直线有几对相交直线有几对?平行直平行直线有几对线有几对?若若ab，bc,公理公理4 平行于同一直线的两直线互相平行平行于同一直线的两直线互相平行则则ac5.平行关系的传递性平行关系的传递性例例1：在正方体：在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线中，直线 AB与与C1D1 ，AD1与与 BC1 1 是什么位置关系？为什么？是什么位置关系？为什么？C1ABCDA1B1D1例例2 已知已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，空间四边形，E，F，G，H分别是分别是AB，BC，CD，DA的中点，

12、连结的中点，连结EF，FG，GH，HE，求证，求证EFGH是一个平行四边形。是一个平行四边形。AB DEFGHC解题思想：解题思想：把所要解的把所要解的立体几何立体几何问题问题转化转化为为平面几何平面几何的问题的问题是是解立体几何时解立体几何时最主要、最最主要、最常用常用的一种方法的一种方法。6.等角定理等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。角相等或互补。D1B1A1C1CADB 右图平行六面体中与右图平行六面体中与BAD相等相等的角是哪些角的角是哪些角,为什么为什么?与与BAD互补的角是哪些互补的角是哪些,为什么为什

13、么?填空：填空：1、空间两条不重合的直线的位置关系有、空间两条不重合的直线的位置关系有_、 _、 _三种。三种。2、没有公共点的两条直线可能是、没有公共点的两条直线可能是_直线，也有可能是直线，也有可能是 _直线。直线。3、和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系、和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系 有有_。4 、过已知直线上一点可以作、过已知直线上一点可以作_条直线与已知直线垂直。条直线与已知直线垂直。5 、过已知直线外一点可以作、过已知直线外一点可以作_条直线与已知直线垂直。条直线与已知直线垂直。平行平行相交相交异面异面平行平行异面异面无数无数无数无数相交、异面相

14、交、异面1、分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。、分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。( )2、空间两条不相交的直线一定是异面直线。、空间两条不相交的直线一定是异面直线。 ( )3、垂直于同一条直线的两条直线必平行。、垂直于同一条直线的两条直线必平行。 ( )4、若一条直线垂直于两条平行直线中的一条，则它一定、若一条直线垂直于两条平行直线中的一条，则它一定与另一条直线垂直。与另一条直线垂直。 ( ) 判断对错：判断对错：思考题思考题：1、a与与b是异面直线，且是异面直线，且ca，则，则c与与b一定（一定（ ）。）。 （A）异面）异面 （B）相交）相交 （C）平行）平行 （D）不平行

15、）不平行2、正方体一条对角线与正方体的棱可组成的异面直线的对数、正方体一条对角线与正方体的棱可组成的异面直线的对数 是（是（ ）对。）对。 （A）6 （B）3 （C）8 （D）123、一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定（、一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定（ ） 平面。平面。 （A）一个）一个 （B）两个）两个 （C）三个）三个 （D）四个）四个D1B1A1C1CADBD1B1A1C1CADBD1B1A1C1CADB三、直线和平面平行的判定和性质定理三、直线和平面平行的判定和性质定理1.直线和平面的位置关系有哪些？直线和平面的位置关系有哪些？（1）直线在平面内：）直线在平面

16、内：ll（2）直线与平面相交：）直线与平面相交：lP（3）直线与平面平行：）直线与平面平行：PlPll abaab2.直线和平面平行的判定定理：直线和平面平行的判定定理：ab练习练习1 判断下列说法是否正确：判断下列说法是否正确：（2）若直线）若直线 a/b ， a/c ，且，且 ，则，则 bc、（1）若直线）若直线a与平面与平面 内的一条直线平行内的一条直线平行 ，则，则 a 与平面与平面 平行平行 （3）若两条平行直线中的一条与）若两条平行直线中的一条与 平面平面 平行，则平行，则 另一条也与平面另一条也与平面 平行平行a如果平面如果平面外外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么一条直线和

17、这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行这条直线和这个平面平行.(“.(“线线平行，线面平行线线平行，线面平行”）D1B1A1C1CADBG（2）若）若G为为DD1中点，试判断中点，试判断BD1与平面与平面AGC位置关系位置关系.例题例题.在正方体在正方体 中，（中，（1）若）若E、F 分别为分别为A1D1、AB的中点，求证：的中点，求证：EF/平面平面BB1D1D；1111ABCDABCDEFD1B1A1C1CADBOO证明直线与平面平行的方法是什么证明直线与平面平行的方法是什么?思考思考1.在平面内寻找一条直线在平面内寻找一条直线 2.证明这条直线与已知直线平行证明这条直线与已知

18、直线平行.3.直线和平面平行的性质定理：直线和平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面经过这条直线的平面与已知平面相交相交, ,那么这条直线与交线平行那么这条直线与交线平行. . abaaabb(线面平行，线线平行线面平行，线线平行）lbac练习练习:,.l aa如图:al求证如果一条直线与平面内的如果一条直线与平面内的两条相交两条相交直线直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。2.直线和平面垂直的判定定理：直线和平面垂直的判定定理：MablababMllalb线不在多，重在相交！线不在多，重在

19、相交！ 如果一条直线与一个平面内如果一条直线与一个平面内任何一条任何一条直线都垂直线都垂直，我们就说这条直线与这个平面相互垂直。直，我们就说这条直线与这个平面相互垂直。1.直线和平面垂直的定义：直线和平面垂直的定义：四四.直线和平面垂直的判定和性质直线和平面垂直的判定和性质lablabllalb 判判断断对对错错 ？3.直线和平面垂直的性质定理：直线和平面垂直的性质定理：性质性质1 1如果一条直线垂直于一个平面如果一条直线垂直于一个平面, ,那么这条直那么这条直线垂直于平面的任意一条直线线垂直于平面的任意一条直线. .性质性质2 2如果两条平行线中的一条与平面垂如果两条平行线中的一条与平面垂直

20、直, ,那么另一条也与这个平面垂直那么另一条也与这个平面垂直. .ababba1.ABCDABACDBDCBCAD 例 空间四边形，求证：E线线垂直线线垂直 线面垂直线面垂直线线垂直线线垂直常用方法常用方法ABCD例例2.在正方体在正方体AC1中，取中，取DD1的中点的中点E，AC和和BD交于交于O点。点。求证：求证：OB1面面EACBAA1DCC1B1D1OE4.三垂线定理：三垂线定理：正射影正射影自一点自一点P向平面向平面 引垂引垂线线,垂足垂足Q叫做点叫做点P在平在平面面 上的正射影上的正射影.(简称简称射影射影)PQ如果图形如果图形F上的所有点在一平上的所有点在一平面内的射影构成图形面

21、内的射影构成图形F1,则则F1叫叫做图形做图形F在这个平面内的射影在这个平面内的射影.FF1O三垂线定理三垂线定理在平面内的一条直线在平面内的一条直线,如果它和如果它和这个平面的一条斜线的射影垂这个平面的一条斜线的射影垂直直,那么它也和这条斜线垂直那么它也和这条斜线垂直 .,POaaPAOAaOAaPA三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理OaPA在平面内的一条直线在平面内的一条直线,如果它和如果它和这个平面的一条斜线垂直这个平面的一条斜线垂直, 那么那么它也和这条斜线的射影垂直它也和这条斜线的射影垂直 .,POaaOAOAaPAPDCBA练练习习1.如图如图 为矩形为矩形,由三垂线定理可得到哪

22、些线是垂直由三垂线定理可得到哪些线是垂直的的?ABCDPDABCD面ABCDOEFG2.四面体四面体ABCD中，中，AB DC AD BC，求证：，求证：AC BDPABCD3.直角三角形ABC中，角C为直角，AC=2，BC= ，PC 平面BCD，PC=3。求点P到直线AB的距离。2 3五五.两个平面平行的判定和性质两个平面平行的判定和性质1.空间两个平面的位置关系空间两个平面的位置关系两个平面平行两个平面平行两个平面相交两个平面相交2. 两个平面平行的判定定理两个平面平行的判定定理abO如果一个平面的两条相交直线都如果一个平面的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个与另一个平面平行，那么

23、这两个平面平行。平面平行。,ababOab 3. 两个平面平行的性质定理两个平面平行的性质定理abaabb 1.如果两个平行平面和第三个如果两个平行平面和第三个平面都相交平面都相交,那么交线互相平行那么交线互相平行2.如果两个平面平行如果两个平面平行,那么其中那么其中一个平面内的任何一条直线都一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面。平行于另一个平面。 aaa 六六.两个平面垂直的判定和性质两个平面垂直的判定和性质1. 两个平面垂直的定义两个平面垂直的定义(1) (1) 二面角二面角平面内的一条直线把平面分为两部平面内的一条直线把平面分为两部分分,其中的每一部分叫做半平面其中的每一部分叫做半

24、平面.从从一条直线出发的两个半平面所组成一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角的图形叫做二面角.这条直线叫做二这条直线叫做二面角的棱面角的棱,每个半平面叫做二面角的每个半平面叫做二面角的面面.l如图如图,二面角及表示方法二面角及表示方法. lAB ABCD二面角二面角CAB D二面角二面角 AB l 二面角二面角(2) (2) 二面角的平面角二面角的平面角二面角的大小用它的平面角来度量二面角的大小用它的平面角来度量注意：注意：二面角的平面角必须满足：二面角的平面角必须满足：3 3）角的边都要垂直于二面角的棱）角的边都要垂直于二面角的棱1 1）角的顶点在棱上）角的顶点在棱上2 2）角的两

25、边分别在两个面内）角的两边分别在两个面内4 4）二面角的范围是）二面角的范围是000180以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。l平面角是平面角是直角直角的二面角叫做的二面角叫做直二面角直二面角(3) (3) 两个平面垂直的定义两个平面垂直的定义: :如果两个平面所成的二面角是直二面角如果两个平面所成的二面角是直二面角,那么就称这两个平那么就称这两个平面互相垂直面互相垂直.10lABl1.利用定义利用定义.lOABA(4) (

26、4) 二面角的平面角的作法二面角的平面角的作法3.3.作棱的垂面作棱的垂面. .2.利用三垂线定理及其逆定理利用三垂线定理及其逆定理.PlAPBABCDE练习：作出下列各图中的二面角的平面角：练习：作出下列各图中的二面角的平面角：BACD二面角二面角BB1CAOEO二面角二面角A-BC-D二面角二面角C-AD-EADCE四棱锥中四棱锥中FD1B1A1C1CADBOABPC取取AB 的中点为的中点为E，连连PE，OEO为为 AC 中点中点， ABC=90OEBC且且 OE BC212221在RtPOE中， OE ，PO 22tanPEO22所求的二面角所求的二面角P-AB-CP-AB-C 的正切

27、值为的正切值为例例1如图，三棱锥如图，三棱锥P-ABC的顶点的顶点P在底面在底面ABC上的射影上的射影是底面是底面RtABC斜边斜边AC的中点的中点O，若，若PB=AB=1，BC= ，求二面角，求二面角P-AB-C的正切值的正切值。2PEO为二面角为二面角P-AB-C 的平面角的平面角23在在RtPBE中中，BE ，PB=1，PE21由三垂线定理知由三垂线定理知 PEABE解：解：EOP OEAB ，做做证证指指求求答答3. 两个平面垂直的性质定理两个平面垂直的性质定理mlmlllm 如果两个平面垂直如果两个平面垂直,那么在一个平面内那么在一个平面内垂直于它们交线的垂直于它们交线的直线垂直于另

28、一个直线垂直于另一个平面平面2. 两个平面垂直的判定定理两个平面垂直的判定定理lll 如果一个平面经过另一个平面的一如果一个平面经过另一个平面的一条垂线条垂线,那么这两个平面互相垂直那么这两个平面互相垂直.七七.空间向量空间向量.1.空间向量及运算空间向量及运算.1.在空间在空间,我们把具有大小和方向的量叫做我们把具有大小和方向的量叫做向量向量.2.空间向量也用有向线段表示空间向量也用有向线段表示,并且同向且等长的并且同向且等长的 有向线段有向线段表示同一个向量表示同一个向量.4.平行于同一个平面的向量叫做平行于同一个平面的向量叫做共面向量共面向量.3.在空间在空间,如果表示向量的有向线段所在

29、的直线互相平如果表示向量的有向线段所在的直线互相平行或重合行或重合,则这些向量叫做则这些向量叫做共线向量或平行向量共线向量或平行向量.5.共线向量定理共线向量定理:对空间任意两个向量对空间任意两个向量 和和 , 的的充要条件是存在实数充要条件是存在实数 ,使使 .b0b abab=aabp xaybpxayb 6.共面向量定理共面向量定理:如果两个向量如果两个向量 和和 不共线不共线, 则向量则向量 与向量与向量 , 共面的充要条件是存在实数共面的充要条件是存在实数 ,使使 .bap ab, x ypxayb abc7. 空间一点空间一点P与不共线的三点与不共线的三点A、B、C共面的充要条件是

30、共面的充要条件是:对任意一点对任意一点O，有，有: ( ) OPxOAyOBzOC 1xyzABCPO8. 空间向量基本定理空间向量基本定理:如果三个向量如果三个向量 不共线不共线, ,a b c 那么对空间任一向量那么对空间任一向量 ,存存在一个唯一的有序数在一个唯一的有序数组组 ,使使 p , ,x y zpxaybzc , ,a b c 叫空间向量的一个基底叫空间向量的一个基底, ,a b c 都叫做基向量都叫做基向量.p xaybzcpxaybzc 9.空间向量的数量积空间向量的数量积cos,a ba ba b (1)0aba b (2)cos,a ba ba b 22aa aa (3

31、)a ba b (4)性质性质2.空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算.1.设设 为两两垂直的单位向量为两两垂直的单位向量,如果如果 , , ,i j k OPaib jck 则则 叫做向量的坐标叫做向量的坐标,也叫做点也叫做点 的坐标的坐标., ,a b cPPOxyzijkabc, ,a b c, ,OPa b c 111222,ax y zbxy z设2.ab121212,xxyy zzab121212,xxyy zza b 12121 2x xy yz zcos, a b a ba b 12121 2222222111222x xy yz zxyzxyzab ab12121 2x xy

32、 yz z121212,xxyy zz22aa222111xyz则则111222,Ax y zBxy z设3.AB 则 AB 空间向量在解题中的作用空间向量在解题中的作用(1) 证明线线平行证明线线平行,线面平行线面平行,线线垂直线线垂直,线面垂直线面垂直.(2) 求线线角求线线角,线面角线面角,面面角面面角.121212,xxyy zz222121212xxyyzz八八.直线与平面成的角直线与平面成的角.1.平面的斜线和平面成的角平面的斜线和平面成的角OAB1C212coscoscos平面的斜线和它在平面内的射影成的角平面的斜线和它在平面内的射影成的角,是这条斜线和这是这条斜线和这个平面内任

33、一条直线所成的角中最小的角个平面内任一条直线所成的角中最小的角.定义定义: 一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角,叫做斜线和平面所成的角叫做斜线和平面所成的角.如果直线和平面垂直那么就说直线和平面所成的角是直角如果直线和平面垂直那么就说直线和平面所成的角是直角.如果直线和平面平行或在平面内如果直线和平面平行或在平面内,就说直线和平面所成的角就说直线和平面所成的角是是00的角的角.1由此得由此得1.直线直线AB与直二面角与直二面角 的两个半平面分别交于的两个半平面分别交于A、B两点两点,且且A,B ,画出直线画出直线AB与与 和和 所成的角所成的角,并讨论并讨论 的取值范围的取值范围.练习练习:l llABCD1212A B C D2 2已知三棱柱已知三棱柱 的侧棱的侧棱与底面边长都相等，与底面边长都相等， 在底面在底面 内的射影为内的射影为 的中心，则的中心，则 与与底面底面 所成角的正弦值等于（所成角的正弦值等于（ ）111ABCA B C1AABCABC1ABABC13233323ABC1A1B1COB九九. 空间距离空间距离1.点到平面的距离点到平面的距离2.点到直线的距离点到直线的距离3.异面直线间的距离异面直线间的距离PO当垂足不易确定时当垂足不易确定时,常用等体常用等体积法求点到平面的距离积法求点到平面的距离完完